Transcript DC-scheme

多目的最適化のための
分散協力型スキーム
○
廣安 知之（同志社大学）
三木光範 （同志社大学）
奥田 環 （同志社大学大学院）
渡邉真也 （同志社大学大学院）
多目的最適化問題
Multi-objective Optimization Problems(MOPs):
– 複数の目的関数
パレート最適解
– トレードオフ
設計変数 (Design variables)
X = { x1, x2, … , xn }
目的関数 (Objective function)
パレートフロント
可能領域
F = { f1(x), f2(x), … , fm(x) }
制約条件 (Constrains)
Gi(x) < 0 ( i = 1, 2, … , k )
パレート最適解：
他の任意の解と比較して総合的に劣らない解
多目的遺伝的アルゴリズム
Multi-Objective Genetic Algorithms(MOGAs):
>> 多目的最適化にGAを適用
代表的な多目的最適化手法:
–
–
–
–
–
VEGA : Schaffer (1985)
MOGA : Fonseca (1993)
SPEA2 : Zitzler (2001)
NPGA2 : Erickson, Mayer, Horn (2001)
NSGA-II
: Deb (2001)
得られた解集合:
非劣解集合(non-dominated solutions)
非劣解集合 (non-dominated solutions)
良い非劣解集合の条件:
– 精度
– 均一な分散
– 広がり
SPEA2,NSGA-II
>> 精度，分散を考慮するアルゴリズム
>> 広がりを持つ非劣解集合を目標としたモデルの提案
分散協力型スキーム(DC-scheme)
多目的最適化のための分散協力型スキーム:
DC-scheme :
Distributed Cooperation scheme for Multi-Objective Optimization
>> 多目的GAと単一目的GAを
組み合わせた枠組み
多目的GA(MOGA)
＋
単一目的GA(SOGA)
分散スキーム (k+1個体群)
MOGA個体群 (1):
MOGAによるパレート最適解の探索
SOGA個体群 (k):
単一目的GAによる各目的関数での最適解の探索
協調探索：解交換（移住）
• MOGA個体群とSOGA個体群間で最良解を交換(移住)
• 最良解：目的関数値(fi(x))が最も良い個体
協調探索：動的な個体数の調整
• 移住時に移住する最良個体を比較
• 最良個体 MOGA個体群(Mi)，SOGA個体群(Si)
Mi > Si: MOGA個体群の数個体をSOGA個体群に移動
Mi < Si: SOGA個体群の数個体をMOGA個体群に移動
パレートアーカイブ
探索個体とは別に得られた非劣解を保存
DC-scheme：
- 各個体群にパレートアーカイブを導入
- 毎世代，アーカイブの内容を更新
探索個体
パレート
アーカイブ
特徴
• 分散スキーム (k+1個体群)
→ 単一目的GAの導入によるより幅広く分布する非劣解
集合の探索を目的
• 協調探索
– 最良解の交換
→ 情報の共有による探索能力の向上
– 動的な個体数の調整
→ 個体群間の探索状況の格差を削減
• パレートアーカイブ
→
一度得た非劣解集合の保持し，探索の後退を防止
アルゴリズム
目的関数: k個
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
初期化
k+1個体群に総個体数を分割
MOGA個体群:
>> パレート最適解の探索
SOGA個体群:
>> 各目的関数での最適解の探索
パレートアーカイブの更新
個体群間での移住
移住解の比較，個体の調整
終了判定
数値実験
1. 協調探索の有効性
DC-scheme と SO/MOGA の比較
>> SO/MOGA
単一目的GA(SOGA)での解探索
得られた最良解を用いてMOGAで解探索
2. DC-schemeの有効性
with DC-scheme と without DC-scheme の比較
・with DC-scheme: DC-scheme
・without DC-scheme: 多目的GA単独モデル
対象問題: KP750-2
0/1 Knapsack Problem (750 items, 2 knapsacks)
-離散最適化問題
750
Objectives:
max f i ( x)   pi , j  x j i 1,2,3
j 1
750
Constraints:
w
j 1
i, j
 x j  ci
x  ( x1 , x2 , x750 )　x j  0,1
pi, j  profit of item j according to knapsack i
wi, j  weight of item j according to knapsack i
ci  capacity of knapsack i
対象問題: KUR
KUR (2 目的関数, 100 設計変数)
- 連続関数
- 多峰性
min
min
f1 ( x)  i 1 (10exp(0.2 xi  xi 1 ))
100

f 2 ( x)  | xi |0.8 5 sin(xi )3
2

xi [5,5] , i  1,, n n  100
2
対象問題: ZDT4
ZDT4 ( 2 目的関数, 10 設計変数 )
- 連続関数
- 多峰性
min
f1 ( x)  x1
min

x1 

f 2 ( x)  g ( x)  1 

g
(
x
)


10
g ( x)  91  xi  10 cos(4xi )
2
i 2
x1  [0,1]
xi  [5,5]
評価手法
得られた非劣解集合
>> 簡単には比較できない
複数の非劣解を
総合的（精度・均一に分散・広がり）に評価する手法：
• Coverage of two sets (Zitzlerら)
• Lines of intersection (Knowlesら)
評価手法: Coverage
Coverage of two sets: C
C ( A, B) :
A: front1
B: front2
| {b  B | a  A : a  b} |
|B|
C(A,B) = 1/5 = 0.2
C(B,A) = 2/4 = 0.5
評価手法: Li
Lines of intersection: Li
A: front1
B: front2
Li(A) = 4/10 = 0.4
Li(B) = 6/10 = 0.6
GAパラメータ(1)
GA operator
– Crossover: 2点交叉
– Mutation: ビット反転
Parameters
KP750-2
KUR
ZDT4
遺伝子長
750
2000
200
総個体数
250
100
100
交叉率
1.0
突然変異率
終了条件
試行数
1/L (L:遺伝子長)
5 x 105
10 x 106
2.5 x 104
10, 30
GAパラメータ(2)
MOGA
パレートアーカイブサイズ
SOGA
SPEA2, NSGA-II
個体数と同じ
Distributed GA
サブ母集団サイズ
10
移住率
0.4
移住間隔
1
DC-scheme
移住率
移住間隔
調節サイズ
1/個体数
25, 50, 100
10
数値実験1
DC-schemeにおける協調探索の有効性の検証
>> DC-schemeとSO/MOGAの比較
SO/MOGA
単一目的GA(SOGA)での解探索
得られた最良解を用いてMOGAで解探索
>> 2種類のSO/MOGAモデルを用いる
評価計算回数
KUR
ZDT4
SOGA
3.0 x 104
4.0 x 104
5.0 x 102
1.0 x 103
MOGA
4.0 x 104
2.0 x 104
1.5 x 103
5.0 x 102
数値実験結果: KUR
10試行
数値実験結果: KUR
>> DC-schemeを用いた場合に，有効な結果を得た
数値実験結果: ZDT4
10試行
数値実験結果: ZDT4
>> DC-schemeを用いた場合に，有効な結果を得た
数値実験2
DC-schemeの有効性の検証
>> with DC-schemeと without DC-scheme の比較
・with DC-scheme:
DC-scheme(MOGA＋SOGA)
・without DC-scheme:
MOGA単独モデル
数値実験結果: KP750-2
30試行
数値実験結果: KP750-2
With DC-scheme：
• 広範囲に分布する非劣解集合
• 精度は劣っている
Without DC-scheme：
• 精度は良い
• 非劣フロントが偏っている
数値実験結果: KUR
30試行
数値実験結果: KUR，ZDT4
>> DC-schemeを用いた場合に，有効な結果を得た
おわりに
目的: 幅広く分布する非劣解集合を得る
>> 提案スキーム：分散協力型スキーム（DC-scheme）
数値実験1：協調探索の有効性
– 精度が良く，幅広く分布する非劣解集合を得られた
– SOGA，およびMOGAへの評価計算の分配が不必要
数値実験2：DC-schemeの有効性
– With DC-schemeでは幅広く分布する非劣解集合を得られた
– 精度においても幾つかの問題では良好な結果を得た
>> DC-schemeは幅広く分布する非劣解集合を
得るための有効な手法
SO/MOGAs
>> 単一目的GA(SOGA)での探索後，多目的GA(MOGA)で
探索を行うモデル
1. SOGAで各目的毎に最適解を探索
2. 得られた最適解を含む，探索個体群で，MOGAを用いて
探索
※総評か計算回数は同じ．
数値実験結果: ZDT4
数値実験結果: ZDT4
Performance Metrics
RNI: Ratio of Non-dominated Individuals
derived from 2 types of non-dominated solutions
Set A: front1
Set A: 3/5 = 0.6
Set B: 2/5 = 0.4
Set B: front2
評価手法
Size of the dominated space: S
S ( A)　:　A  ( x1 , x2 , xl )  X
2目的関数，最大化問題の場合:
原点(0,0)と( f1(xi), f2(xi) )によって定義
原点の定義
原点を元にパレート最適解が支配する領域: V
KP750-2
ZDT4
ZDT6
ZDT6 ( 2 目的関数, 10 設計変数 )
- 連続関数
min
f1 ( x)  1  exp(4x1 ) sin 6 (6x1 )
min
  f 2 
f 2 ( x)  g ( x)  1   1  
 g 


0.25
  N xi 
g ( x)  1  9 i  2 
 N 1 


xi [0,1] , i  1,, n n  10