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ディジタル信号処理
デザイン情報学科 メディア情報設計
河原英紀
2002.6.20
ディジタル信号処理
1
本日の予定
レポートから
課題の解答
離散的Fourier変換
性質
窓関数
高速Fourier変換
(Fast Fourier Transform)
2002.6.20
ディジタル信号処理
2
離散的Fourier変換
Discrete Fourier Transform (DFT)
(後で出てくるFFTは、DFTを高速化したもの。
計算している内容はDFTと同じ)
DFTは、周期的な離散信号のFourier変換
0 以外の整数
2002.6.20
ディジタル信号処理
3
複素指数関数を用いた表現
標本点と同じ個数の
複素指数関数の和で表すことができる
2002.6.20
ディジタル信号処理
4
複素指数関数の係数を求める
直交性を利用して計算する
2002.6.20
ディジタル信号処理
5
離散的複素指数関数の直交性
課題:等比級数の部分和の公式を利用して
上記の関係が成立することを確かめよ。
2002.6.20
ディジタル信号処理
6
直交性の確認(課題1)
N1
部分和の公式
N
1
r
r 1 r 1 r
n 0
n
N
1 r
1 r
2002.6.20
ディジタル信号処理
[r 1]
7
直交性の確認(課題1)
部分和の公式
re
j
2 (k r)
N
と置くと→
(k r) mN
の場合→
2002.6.20
N1
N
1 r
r 1 r
n 0
n
r e
N
[r 1]
2 (k r ) N
j
N
e j 2 (k r) 1
N1
N
1 r
r 1 r
n 0
n
ディジタル信号処理
11
=
0
1 r
8
直交性の確認(課題1)
部分和の公式
re
j
2 (k r)
N
と置くと→
(k r) mN
の場合→
N1
N
1 r
r 1 r
n 0
n
r e
N
2 (k r ) N
j
N
e j 2 (k r) 1
N 1
N1
r
n
n 0
2002.6.20
[r 1]
ディジタル信号処理
1 = N
n
n 0
9
離散的複素指数関数の直交性
課題:等比級数の部分和の公式を利用して
上記の関係が成立することを確かめよ。
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ディジタル信号処理
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複素指数関数の係数を求める
2002.6.20
ディジタル信号処理
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離散的Fourier変換と逆変換
離散的
Fourier変換
(DFT)
離散的
Fourier逆変換
(IDFT)
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ディジタル信号処理
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数値例(課題)
x[n],n 0,1,2,3,4,5 1,1,1,0,0,0
N 6
x[n],n 0,1,2,3 1,0,1,0
N 4
について、DFTを求めよ。
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ディジタル信号処理
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課題2(その1)
離散的
Fourier変換
(DFT)
N 6
W6 e
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j
2
6
1 j 3
cos j sin
3
3
2
ディジタル信号処理
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課題2(その1)
x[n],n 0,1,2,3,4,5 1,1,1,0,0,0
N 6
前ページの回転子を以下に代入する
0
1k
2k
˜
X(k) W6 W6 W 6
2002.6.20
ディジタル信号処理
15
課題2(その1)
0
0
0
˜
X(0) W 6 W 6 W 6 3
0
1
2
˜
X (1) W W W
6
6
6
1 j 3 1 j 3
1
1 3
2
2
0
2
4
˜
X (2) W 6 W 6 W 6
1 j 3 1 j 3
1
0
2
2
2002.6.20
ディジタル信号処理
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課題2(その1)
X˜ (3) W 60 W 63 W 66
11 1 1
0
4
8
˜
X (4) W W W
6
6
6
W W W X˜ (2) 0
0
6
4
6
2
6
0
5
10
˜
X (5) W 6 W 6 W 6
*
˜
W W W X (1) 1 j 3
0
6
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5
6
4
6
ディジタル信号処理
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課題2(その2)
x[n],n 0,1,2,3 1,0,1,0
N 4
以下の回転子を定義式に代入する
N 4
j
W4 e
2002.6.20
2
4
cos j sin j
2
2
ディジタル信号処理
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課題2(その2)
0
0
˜
X (0) W 4 W 4 11 2
0
2
˜
X(1) W W 11 0
4
4
0
4
˜
X (2) W 4 W 4 11 2
0
6
2
˜
X(3) W W 1 W 0
4
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4
4
ディジタル信号処理
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DFTの性質
線形性
ax[n] by[n]
aX(k) bY(k)
対称性
X(N k) X (k)
推移定理
DFT
*
x[n] R
x[n m]
WN
DFT
km
X(k)
回転子
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ディジタル信号処理
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DFTの性質
循環畳込みとDFT
N1
y[n] h[l]x[n l]
l0
Y(k) H(k)X(k)
DFT
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ディジタル信号処理
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窓関数の必要性
x[n] cosn
のDFTはどうなるか?
2k
N
の場合には、複数の成分が非零になる
周期が不一致の場合、不連続が発生
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ディジタル信号処理
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様々な窓関数
Hamming窓
hanning窓
Blackman窓
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2n
w[n] 0.54 0.46cos
N 1
2n
w[n] 0.5 0.5cos
N 1
2n
w[n] 0.42 0.5cos
N 1
4n
0.08cos
N 1
ディジタル信号処理
23
課題
周期をM=N-1として、前のページで定義された
Hamming窓、hanning窓、Blackman窓のDFTを
求めよ。また、以下の信号をhanning窓によって
切り出した信号のDFTを求めよ。
(ヒント:窓のDFTは、絶対値と位相を用いて
表した方が容易に解ける。推移定理を利用して
簡単化すること。)
6n
x[n] cos
M
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ディジタル信号処理
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高速Fourier変換の効果
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ディジタル信号処理
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高速Fourier変換の効果
2002.6.20
ディジタル信号処理
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高速Fourier変換の仕組み
k
X(k) G(k) WN H (k)
X N k G(k) W k H(k)
N
2
G(k)
ここで
j
W e
2
N
(N / 2)1
nk
x[2n]W
N /2
n 0
H(k)
(N / 2)1
x[2n 1]W
nk
N/2
n 0
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ディジタル信号処理
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高速Fourier変換の仕組み
x[0]
x[2]
x[4]
x[6]
x[1]
x[3]
x[5]
x[7]
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X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
G
H
W
W
W
W
ディジタル信号処理
-1
-1
-1
-1
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
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