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ディジタル信号処理
デザイン情報学科 メディア情報設計
河原英紀
2002.7.4
ディジタル信号処理
1
本日の予定
レポートから
課題の解答
フィルタ





2002.7.4
フィルタとは？
FIRフィルタ
IIRフィルタ
FFTを用いた実現
フィルタの設計
ディジタル信号処理
2
レポートから
小テストの解答例のリンクが貼られていません ←
来週までに貼ります
今回は、分かりやすかった
式の展開の理解が大変だった。難しい
FFTがあるのに、何故DFTをまだ使うのか？
課題の解答で推移定理や畳込みをどう使えば良い
か分らなかった
DFT→FFTは、ソーティングアルゴリズムのオーダー
の減少と同じようなものと思った
窓関数でなぜ両端を0に近付けるのかが分かった
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レポートから
FFTの変換の仕組みの後半が分かりにくかった
課題の解答で、n-k=0のとき、k=1になるのは、何
故か？ ← 済みません。式の間違いです。web
では訂正してあります。
課題の解答が分らなかったので、もう一度自分
で解いてみます
課題をもう少し、解き易くしてほしい。
課題が難しすぎて分らない。ヒントがヒントになっ
ていない。
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レポートから
板書を分かりやすく書いて
窓関数については分かったがFFTは、あまり良く
分らなかった
授業では分かった気になるが、いざ計算してみる
と、まったく手が進まない。自分で計算するように
しないといけないと思った
k>N/2を超えた場合に、係数を変えるという説明
が矛盾していると思う
偶関数や奇関数等の説明があり、とても分かり
やすかった
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レポートから
ディジタル信号処理では、なぜ畳込みが重要な
のか良く分らない
プリントの中身の計算をもっと詳しく書いて欲しい。
飛躍が大きくて分らないことがある
PowerPointは、見易くて分かりやすい
全体像を説明してから、細かいところを詳しく説
明して欲しい
コンピュータを使って計算できると言うが、具体的
に何を使えばできるのかが良く分らない。
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レポートから
まだ授業の進みが早い。
前回の講議資料をどこかに置いて欲しい。
ずいぶん講議が良くなったと思う。詳しい説明の
ときに手書きでノートする程度が分かりやすい
以前の授業のように、紙に手書きで講議した方
が分かりやすい
ディジタル信号処理を理解するためにはMatlab
がとても便利だけれど、値段が凄く高い。 →
octave 等のソフトがあります
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課題
DFTの畳込み法則を、定義と推移法則等を用い
て導くこと
実数の信号x[n]とy[n]がある。 x[n]+j y[n]
のDFTであるS(k)を、 x[n]のDFTであるX(k)とy[n]
のDFTであるY(k)を用いて表せ。
実数の信号のDFTの実部は偶関数、虚部は奇
関数となる。このことを利用して、 x[n]+j y[n]の
DFTであるS(k)を用いて、 x[n]のDFTであるX(k)
とy[n]のDFTであるY(k)を表せ。
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解答例：畳込み法則
剰余の省略記法を導入することにより、循環畳込み
を簡単に表すことができる。
N 1
x3[n]  x1[((m))N ]x2[((n  m))N ]
m 0
N 1
 x1[m]x2[((n  m))N ]
m 0
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解答例：畳込み法則
DFTの定義を用いてk番目の成分を書き下す
N 1
X3(k)  W
kn
N
n 0
N 1
x [m]x [((n  m))
1
m 0
2
m 0
N1
N1
n 0
]
積和の順序の入替え
  x1[m] x2[((n  m)) N ]W
N1
N
kn
N
推移定理の適用
  x1[m]WNkm X2(k)  X1(k)X2(k)
m 0
DFTの定義
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解答例：x[n]+j y[n]のDFT
線形性が成立することを利用
x[n]  jy[n] 

X(k)  jY(k)  S(k)
DFT
次の設問のために、実部と虚部を明記する
S(k)  X(k)  jY(k)
 X(k)  jX(k)  j Y(k)  jY(k)
 X(k)  jX(k)  jY(k) Y(k)
 X(k) Y(k)  j X(k)  Y(k)
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解答例:S(k)によるX(k)とY(k)の表現
実数の信号のDFTの実部は偶関数、虚部は奇関数となる。
ここで、前問の結果を利用する。
S(k)  S(k)  2X(k)  jY(k)
S(k)  S(k)  2Y(k)  jX(k)
それぞれの成分を取り出して組合せることにより
以下を得る
1
X(k)  S(k)  S(k)  jS(k)  S(k)
2
1
Y(k)  S(k)  S(k)  jS(k)  S(k)
2
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DFTの性質
Nを周期とする系列
N点のDFT
x[n]
x1[n], x2[n]
ax1[n] bx2[n]
X(n)
x[((n  m)) N ]
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X(k)
X1(k),X2 (k)
aX1(k)  bX2 (k)
Nx[((k)) N ]
km
WN X(k)
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DFTの性質
Nを周期とする系列
N点のDFT
X ((k  l)) N 
WNnl x[n]
 x [m], x [((n  m))
N1
1
2
N
]
X1(k)X2 (k)
m 0
N1
x1[n]x2[n]
1
X1(l)X2 ((k  l))N 

N l0
1
xep[n]  x[n] x[((n))N ] [X(k)]
2
1
xop[n]  x[n] x[((n))N ] X(k)
2
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フィルターとは？
フィルター（濾波器：filter:）
フィルターの用途




必要な周波数成分を取り出す
不必要な周波数成分を抑圧する
信号の中に含まれる成分を分離する
その他の信号処理
 信号を補正する（等化器：equalizer）
 信号の特性を加工する(effecter)
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様々なフィルター
低域通過フィルタ LPF
(Low Pass Filter)
通過域
高域通過フィルタ HPF
(High Pass Filter)
帯域阻止フィルタ BEF
(Band Elimination Filter)
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帯域通過フィルタ BPF
(Band Pass Filter)
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フィルターの実現方法
FIRフィルター


finite impulse response
有限長のインパルス応答の畳込み演算を直
接実現する
IIRフィルター


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infinite impulse response
無限長のインパルス応答をフィードバックのあ
る機構により実現する
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失礼：プリントにミスが
ありました訂正します
FIRフィルター
x[n]
D
D
D
D
D
h[k]
y[n]  h[k]x[n  k]
N1
y[n]
k 0
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通常用いられるFIR
フィルタは、特殊な
インパルス応答を
有する
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直線位相型FIRフィルター
h[k]  h[k]
y[n] 
インパルス応答が偶関数
h[k]x[n  k  M]
M
k M
M
因果律を満たす実現
Y(k)  z H(k)
zM  e jTs M
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伝達関数（推移定理）
遅延による位相回転
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直線位相型FIRフィルター
H(k) 
H() 
h[k]z
M
k M
M
k
伝達関数H(k)の周波数特性を調べる
h[k]e
 jkTs
k M
偶関数の性質を利用
 h[0] h[k]e
M
k1
M
jkTs
 jkTs
e

Eulerの公式より
 h[0] 2h[k]coskTs
実数！
k1
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失礼：プリントにミスが
ありました訂正します
IIRフィルター
y[n]
x[n]
D
D
D
D
D
h[k]
全極型の場合
y[n]  x[n] h[k]y[n  k]
N
k1
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一般的なIIRフィルターの構成
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失礼：プリントにミスが
ありました訂正します
課題：
あるインパルス応答h[k],k=-M,...,Mを用い
て作成したFIRフィルターと、同じ係数を用
いて作成したIIRフィルターがある。（ただし、
IIRフィルタの場合、同じ係数をk=1,..,2M+1
番目の係数として用いるものとする）これら
のフィルターを直列に接続したシステムの
伝達特性を求めよ。
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