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ディジタル信号処理
デザイン情報学科 メディア情報設計
河原英紀
2002.6.27
ディジタル信号処理
1
本日の予定
レポートから
課題の解答
高速Fourier変換
FFT(Fast Fourier Transform)



2002.6.27
なぜFFTは重要か
FFTでどれだけ早くなるか
どうしてFFTで早くなるのか
ディジタル信号処理
2
レポートから
今日の授業は資料に書き込めたので理解しやす
かった
窓関数が良く理解できなかった
窓関数は分かったがDFTの性質が分らない
窓関数はなぜ『窓』というのか？
授業の資料をダウンロードせずに見ることができ
るようにして欲しい
ようやくデモで見たアニメーションの意味が分
かった
2002.6.27
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3
レポートから
以前のテストの解答を忘れないうちに見たい
課題の解答に時間を割いたのが良かった
全くついて行けなくなった。分らないところも分ら
ない
授業のスピードがまだ早い
授業のスピードはちょうど良く、内容もちょうど良
かった
授業の資料を学科事務に置いて欲しい
講義室が寒すぎた
FFTが早い理由が分らない
2002.6.27
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4
レポートから
課題の前に例題で具体的に解いて欲しい
最近は何となく授業の内容が分るようになって来
た
PowerPointの授業は見やすくて分かりやすい。し
かし、ノートが取れないのでプリント配付が理想
←？？プリントは配付していますが？？
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DFTの性質
線形性
ax[n] by[n] 

aX(k)  bY(k)
対称性
X(N  k)  X (k)
推移定理
DFT
*
x[n]  R
x[n m] 

WN
DFT
km
X(k)
回転子
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DFTの性質
循環畳込みとDFT
y[n]  h[l]x[n  l]
N1
l0


Y(k)  H(k)X(k)
DFT
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窓関数の必要性
x[n]  cosn 
のDFTはどうなるか？
2k

N
の場合には、複数の成分が非零になる
周期が不一致の場合、不連続が発生
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様々な窓関数
Hamming窓
hanning窓
Blackman窓
2002.6.27
2n
w[n]  0.54 0.46cos
N 1
2n
w[n]  0.5  0.5cos
N 1
2n
w[n]  0.42  0.5cos
N 1
4n
 0.08cos
N 1
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課題
周期をM=N-1として、前のページで定義された
Hamming窓、hanning窓、Blackman窓のDFTを
求めよ。また、以下の信号をhanning窓によって
切り出した信号のDFTを求めよ。
（ヒント：窓のDFTは、絶対値と位相を用いて
表した方が容易に解ける。推移定理を利用して
簡単化すること。）
6n
x[n]  cos
M
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課題の解答例：Hamming
Hamming窓
2n
w[n]  0.54 0.46cos
N 1
周期M=N-1であるから、n=0からM-1までのw[n]について
DFTを計算する。混乱を避けるため、Mを用いてHamming
窓を表しておく。
2n
w[n]  0.54 0.46cos
M
求めるべきDFTは、次式となる。
M 1
W(k)  w[n]W
kn
M
n 0
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課題の解答例
M 1
W(k)  w[n]WMkn
n 0

2n  kn
  0.54  0.46cos
WM


M
n 0
M 1
2 n
2 n

j
j

M 1
M
M
e

e
kn

 0.54  0.46
W

M

2
n 0


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課題の解答例
2 n
2n
2 kn

j
j

j
 M
M
M 

W (k)   0.54  0.23e
0.23e
e

n 0 
M 1
2 kn
2 n(1 k)
2 n(1 k)

j
j
j

M
M
M


  0.54e
0.23e
 0.23e

n 0 
M 1
失礼！配付プリントに
誤りがありました。
0.54M k  0

 0.23M k  1,1
0
k  1,0,1

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課題の解答例：hanning
hanning窓の場合は、係数が異なるだけで同形であるので、
ただちに次が得られる。
2 n(1 k)
2 n(1k)
  j 2Mkn
j
j

M
M


W (k)   0.5e
 0.25e
 0.25e

n 0 
M 1
失礼！配付プリントに
誤りがありました。
0.5M
k0


 0.25M k  1,1

k  1,0,1
0
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課題の解答例：Blackman
Blackman窓の場合は、まず、Mを用いて次式のように
書き換える
2n
4n
w[n]  0.42  0.5cos
 0.08cos
M
M
第三項をEulerの公式を用いて変形することで、ただちに
以下が得られる
0.42M
0.25M
W (k)  
0.04M

0
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k0
k  1,1
k  2,2
k  2,1,0,1,2
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課題の解答例
6n
x[n]  cos
M
2n
w[n]  0.5  0.5cos
M
これらの積のDFTを求める
M 1
Y(k)   x[n]w[n]W
kn
N
n 0
M 1
6n 
2n  kn
 cos
0.54 0.46cos
WN


M
M
n 0
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課題の解答例
方法１：
展開してCOSの加法定理を用いて整理し、Eulerの公式
を用いて複素指数関数の和とする
方法２：
畳込み法則を用いて、窓関数のDFTと、信号のDFTか
ら求める
N 1
1
x1[n]x2[n] 

 X1(l)X2[((k  l))N ]
N l 0
DFT
Nを法とする剰余の略記法（一般的ではない）
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課題の解答例
j
6 n
M
j
6n e
e
x[n]  cos

M
2
0.5M k  3,3
X(k)  
k  3,3
 0
6 n
M

0.5M
k

0

Whannin g(k)  0.25M k  1,1

k  1,0,1
0
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課題の解答例
畳込み法則に代入すると直ちに次を得る

0.25M
k

3,3

Y(k)  0.125M k  4,2,2,4

k  4,3,2,2,3,4
0
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なぜFFTは重要か？
DFTを高速に求めることができる
畳込みを高速化することができる
信号のFFT： X(k)
インパルス応答のFFT：H(k)
両者の積：Y(k)=X(k)H(k)を求める
Y(k)の逆FFTを求める

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信号の長さをN, インパルス応答の長さをM
とすると、畳込みの計算にはNM回の積和が
含まれる FFTを介することで、NlogMの
オーダーに積和が減少する
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FFTでどれだけ早くなるか
計算時間
Nが素数の場合
Nが2個の
素数の積の場合
N=2000
付近で
DFTは
約140ms
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N
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FFTでどれだけ早くなるか
前のページ
の拡大図
N=2048の
場合には
1.4ms
100倍
早くなる
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DFTの計算
N 1
X(k)  x[n]W
n 0
N=8の例
x[0]
x[1]
x[2]
x[3]
x[4]
x[5]
x[6]
x[7]
この積和の回数を
組織的に削減する
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kn
N
k  0,1, ,N 1
2
j
W e N
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
64回の複素数の積
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DFTの計算
N 1
X(k)  x[n]W


kn
N
k  0,1, ,N 1
n 0
(N / 2)1
x[2n]W
2kn
N
n 0
(N / 2)1
x[2n]W
2kn
N

(N / 2)1
 x[2n 1]W
n 0
(N / 2)1
k
N
n 0
W
n 0
k(2n 1)
N
 x[2n 1]W
DFTの形に類似している
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2kn
N
高速Fourier変換の仕組み
X(k) 
(N / 2)1
x[2n]W
n 0
ここで
右の関係を利用
W
2kn
N
k
N
WN  e
22
j
N
W e
(N / 2)1
x[2n]W
kn
N/2
W
2
j
(N / 2)
e
 WN / 2
(N / 2)1
k
N
n 0
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 x[2n 1]W
2kn
N
n 0
2
j
N
2
N
X(k) 
(N / 2)1
x[2n 1]W
kn
N /2
n 0
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高速Fourier変換の仕組み
X(k) 
(N / 2)1
x[2n]W
n 0
G(k) 
H(k) 
kn
N/2
W
(N / 2)1
(N / 2)1
k
N
x[2n 1]W
kn
N /2
n 0
 x[2n]W
nk
N /2
n 0
(N / 2)1
を用いて整理
nk
x[2n
1]W

N/2
n 0
X(k)  H(k)  W G(k)
k
N
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高速Fourier変換の仕組み
X(k)  H(k)  W G(k)
k
N
(N / 2)k
N
W
ここで
右の関係を利用して
整理
e
e
2  ((N / 2) k)
j
N
 j
j
e
2 k
N
 2 k 
 j 

 

N


e
 W
k
N
k

X(k)

G(k)
W

N H(k)
XN  k G(k) W k H(k) k  0,1, , N 1
N
 2

2

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高速Fourier変換の仕組み
x[0]
x[2]
x[4]
x[6]
x[1]
x[3]
x[5]
x[7]
2002.6.27
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
G
H
W
W
W
-1
-1
-1
-1
W
複素数の積和の回数が36回に減少
ディジタル信号処理
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
28
高速Fourier変換の仕組み
x[0]
x[4]
x[0]
x[4]
x[2]
x[6]
DFT
(N=2)
x[1]
x[5]
x[3]
x[7]
DFT
(N=2)
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DFT
(N=2)
DFT
(N=2)
W
W
W
W
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-1
-1
-1
-1
W
G(0)
G(1)
G(2)
G(3)
-1
H(0)
H(1)
H(2)
H(3)
29
課題
DFTの畳込み法則を、定義と推移法則等を用い
て導くこと
実数の信号x[n]とy[n]がある。 x[n]+j y[n]
のDFTであるS(k)を、 x[n]のDFTであるX(k)とy[n]
のDFTであるY(k)を用いて表せ。
実数の信号のDFTの実部は偶関数、虚部は奇
関数となる。このことを利用して、 x[n]+j y[n]の
DFTであるS(k)を用いて、 x[n]のDFTであるX(k)
とy[n]のDFTであるY(k)を表せ。
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