ボーズ・フェルミ混合超流動原子気体の集団励起
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Transcript ボーズ・フェルミ混合超流動原子気体の集団励起
修士論文発表
２００３年２月１０日
ボーズ・フェルミ混合超流動原子気体の集団励起
栗原研究室 M2
ヴァルタン光
目次：
I. 序
II. モデル
III. 理論
IV. 結果と考察
V. 結論と課題
I. 序
歴史的背景
ボーズ・アインシュタイン凝縮の成功(MIT: 1995)
磁気トラップ；レザー冷却；蒸発冷却
ii. Bogoliubov音波の観測 (MIT:1997)
iii. Feshbach共鳴の成功 (MIT:1998)
aeff 1000aB
iv. 縮退フェルミガス (JILA : 1999)
最近では0.1TFまで達成（超流動の兆？）
v. ボーズ・フェルミ混合系で量子縮退（ライス大：2001）
i.
i.
フェルミオン冷却の難点
パウリ排他律
縮退に近づくにつれ、蒸発冷却が非効率に
ボソンとの混合冷却？
ii.
対生成の為の引力
Li6以外は斥力相互作用
Feshbach 共鳴?
iii. 超流動の観測
混合冷却
二つのhyperfine状態のフェルミオンをトラップ
することにより、Ｓ－波散乱が可能。
縮退付近でパウリ排他率
の効果が著しくなる
BECとの散乱が可能
研究の主題
希薄なボソンとフェルミオン混合系で、
両方共に超流動転移をした時の集団励起について、
経路積分の手法を用いて調べる。
本研究の計算は一様系を想定する：
ボソンとフェルミオンの重なりは
緩やか或いは箱型のトラップである場合のみ大きい。
II. モデル
虚時間経路積分で記述される混合系の
大分配関数から出発:
Ζ gr D D D D
1
exp S B [ , ] S F [ , ] S BF [ , , , ]
複素場 （ボソン成分）
グラスマン場 （フェルミオン成分）
混合系の作用
Bose gas：
S B [ , ]
d
0
2
gB
4
dx x,
B x,
x,
2
2mB
Fermi gas：
2
S F [ , ]
d dx x,
x,
0
2mF
gF
2
2
x , x ,
2
Hyperfine States
&
Bose-Fermi Interaction :
S BF [ , , , ] d
dx g x, x,
2
2
0
Coupling constants ：
g x 2 2ax mR
III. 理論
i. Stratonvich-Hubbard変換
BCS order-parameterに相当する補助場を導入
a ( x, )
ii. フェルミオン場を経路積分
iii. 南部空間での回転 （ゲージ変換）
ギャップが実数に成る様な位相を選ぶ
iv. ゆらぎについて摂動展開
ボソン場
Bogoliubov 近似
補助場
平均 + ゆらぎ
v. 運動量空間へのフーリエ変換
( x, ) nB ( x, )
a ( x, ) 0 ( x, )
vi. ゆらぎの一次
S 1 0
の条件
Bose Field
Hugenholz-Pines Relation
B g B nB g n gn
Pairing Field
BCS Gap equation
0
F x, ; x,
gF
ix. ゆらぎの二次
RPA 分極バブルの計算
実部
Feynman’s techniqueで解析的に
虚部
解析接続の後に数値的に
+ Ward高橋の恒等式
ゲージ不変性により、基本４種類から全てが求まる
f0 (k , n )、 g0 (k , n )、 h0 (k , n )、 k0 (k , n )
ix. ゆらぎの二次
ゆらぎの二次はグリーン関数の逆数だから：
ベクトルを導入:
† A ( k , ) P ( k , ) ( k , ) ( k , )
S
1
2V
( 2)
長波長極限 :
d †G -1 ( k , , T )
k
DetG-1 0 & ck
G -1
2 mk 2 g B nB g A2 nB g 0 ( k ) f 0 ( k )
B
i
g 2 n g ( k ) f ( k )
0
D B 0
2k 2
i
2 mB
g D nB k0 ( k ) k0 ( k )
0
i
g
n
k
(
k
)
k
0
A
B 0 0
0 (k )
2 2
g D nB k
0 (k )
k
0 (k )
- ig A n B 0 k
0
0
h0 ( k ) f 0 ( k ) g1F
0
0
0 (k )
k
0 (k )
20 h0 ( k ) f 0 ( k ) g1F
IV. 結果と考察
ボソンとフェルミオンの結合
によるモード反発
The Dispersion Relation
2
2
2
2
2
1 g B nB v F
g A N 0vF nB 2
1 g B nB v F
2
k
3
4 mB
3
6 mB
2 mB
Bogoliubov mode
vA
Anderson mode
Repulsion between
Bogoliubov velocity
and Anderson velocity
vB
0
k
vA
不安定性の条件:
2
4
a
m
B R
aA2
k F mB mF
Velocity (units of vF )
Instability of superfluid
vB
Exp: Mixture of 6Li & 87Rb
aA (a.u.)
ボゾン超流動の崩壊？
その前に相分離か？
ボゾン・フェルミオン間が引力の場合は？？
Decay rate
音速の虚部（結合による減衰）：
104 vF
A
B
(cB i B )k
(c A i A )k
Imaginary coefficient of k
Temperature
in Mixture of 6Li & 87Rb
For a a 150a0
対破壊、Landau減衰が無い範囲では安定
K BT
0
IV. 結論と課題
結論
ボソン・フェルミオン超流動混合系に於いて：
• 集団励起モードの分散関係
• ボソンとフェルミオンの超流動モードは結合により反発しあう。
• 片方の超流動に不安定性が存在する
• 有限温度で結合による減衰
今後の課題
トラップの効果とフェルミオンの超流動転移温度付近の物理
付録：
A. Stratonvich-Hubbard変換
exp
d
dx
0
2
2
gF
x, x ,
1
D D exp
d
0
x, 2
dx
x, x, x, x, x, x,
g F
BCS order-parameterに相当する補助場を導入
B. Integration over fermionic fields
S eff , , , d
0
dx
x,
gF
2
S B , Tr ln -G
1
第三の項摂動展開
C. 摂動展開
2
2
g
1 2mF
G 1
2
2
g
2mF
D. 南部空間での回転 （ゲージ変換）
ユニタリー変換 :
U e
i
3 x ,
2
Trace of Green’s function invariant
~ 1
G U G 1 U 1
ギャップを振幅と位相に :
x, ae
i p x,
p をギャップが実数に成るように取る
E. 摂動展開
ボソン場
Bogoliubov 近似
補助場
平均 + ゆらぎ
( x, ) nB ( x, )
a ( x, ) 0 ( x, )
G 1 G01
量子ゆらぎを小さいとして,
T r ln G
1
T rlnG
1
0
1
T r G01
j 1 j
を二次まで展開.
j
F.摂動展開ゆらぎの部分
1 K L M
x,
x,
x,
K LM
1
K 3 L M 0 1
where:
mF v 2 x,
K i x ,
g A nB x, x, x, x,
2
i
L , v x, ; M g D nB x, x, x, x,
2
v x,
x, ; x, x,
2mF
2
g g
gA
2
g g
; gD
2
G. フーリエ変換
1
( x, )
V
i k x -
(
k
,
)
e
n
n
k ,n
G0 ( x, ; x, )
1
V
i k x - x - n
G
(
k
,
)
e
0 n
k ,n
Ak , n i n k i n k 0
2
2k 2
k
g n
2m
H. unperturbed Green’s function
0
i n k
G0 k , n
0
i n k
Ak , n
G k , n F k , n
F
k
,
G
k
,
n
n
I. RPA 分極バブル
f0 (k , n )
1
V
F
g0 (k , n )
1
V
G ( p , m G
)
( p k, m n )
h0 ( k , n )
1
V
G ( p , m G
)
( p k, m n )
0 (k , n )
1
V
G ( p , m )F
g1 ( k , n )
1
V
( p k 2 )G ( p , m G
)
( p k, m n )
g2 (k , n )
1
V
( p k 2 ) 2G ( p , m G
)
( p k, m n )
k
p ,m
F
( p, m )
(p
k, m
n )
p ,m
p ,m
p ,m
(p
k, m
n )
p ,m
p ,m
etc.
高次のバブルが低次のバブルで表せる
J. TheWard Identity
Change of Green’s function upon rotation of phase
G ( x, x) e
G
1
( x , x )
i (x)
3
2
e
G ( x, x)e
i (x)
3
2
3G
G
G
( p)
1
G
( p k)
2i (x) 3
( x , x )
e
2i (x) 3
G
1
i
n
3 mF
k
1
( p k 2 ) 0 2i 0 2 G
k2
mF
g 2 ( k ) f 2 ( k ) i n k g1 ( k ) f1 ( k )
G
3
g1 ( k ) f1 ( k ) i n g 0 ( k ) f 0 ( k ) 2
1 (k )
( x , x )
( p k)
k
mF
k
ゲージ不変性から:
G ( x, x) G ( x, x) O( 2 )
We obtain :
k
mF
:
0
k
0 (k )
20k
k
( x , x)
( p)
k0 ( k )
1 (k )
O( 2 )
k
(k )
k 2 nF
2
k1 ( k ) i n k0 ( k ) k0 ( k ) 2 0 h0 ( k ) f 0 ( k ) 2gF0
e
i (x)
0
2
in f 0 ( k ) 0 k0 ( k ) k0 ( k )
K.バブルの実部
Using Feynman’s technique
1
1 [a (1 )b]2 d
ab 0
and at absolute zero
2
N 0
2
v
k
2
F
e f 0 ( k , )
1 2
2 6 0
3
2
N 0
2
v
k
2
F
e g 0 ( k , )
1 2
2 6 0
3
2
1 N 0
2
v
k
2
F
e h0 ( k , )
1 2
gF
2 3 0
3
N 0
2
vF k 2
2
e k0 ( k , )
1 2
4 0 6 0
3
g g
L.解析接続
Analytic continuation :
m 1V G ( p, )F
(p
k,
p ,m
n )
( 21 )4 mGR ( p, ) mFR ( p k , ) tanh 2kBT tanh 2(kBT )
m 0
GR FR
m
GA FR
GA FA
解析接続
i n
Retarded Polarization Bubbles:
N 0
m f 0 ( k , , T )
sinh2kBT
2 v F k
N 0
m g 0 ( k , , T )
sinh2kBT
2 v F k
2
0
where:
for which :
2 E 2 2 2E ( E ) cosh E coshE 1
2 k BT
2 k BT
E
dE 2
2
0
E 0 2 E 2 2 2E ( E ) cosh E coshE 1
2
2 k BT
2 k BT
1C
m f0 (k , ) m h0 (k , ) 0 m (k0 (k , ) k0 (k , ))
E 2 2 ; E , E ; C
for
( E ) cosh E coshE 1
2 k BT
2 k BT
E
dE 2
2
1
0
E 0 ( E ) cosh E coshE
2
2 k BT
2 k BT
1C
2k 2
2 mF
2 ( g 2g
) nB
1 ,
1 , 0 :
2k BT
0
N 0 20
m f 0 ( k , , T )
8 k BT vF k
N 0 20
m g 0 ( k , , T )
8 k BT vF k
vF k
1;
; 2 ( g 2g
) nB
M.バブルの虚部
dE
0
1C 2
sech2 2 kEBT
E 2 20
2E
dE
0
1C 2
2
20 sech2 2 kEBT
E 2 20
N. Spectral Weight
Bogoliubov mode
1
103~ 4
10
AA, B ( k , , T )
1
v F k
0
m G A, B ( k , , T )
m (c A, B i A, B )k
0
1
v F k
0
103~ 4
10
0
Anderson mode
N. Phase separation
相分離の条件（normal）:
aA2
aB mR2
k F mB mF
(Stoof et al.: PRA 2000)