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Proper Interval Graphsの ランダム生成と列挙 ○斎藤 山中 清見 上原 寿樹(JAIST) 克久(電気通信大) 礼(JAIST)(祝・結婚) 隆平(JAIST) 問題（１） 連結なProper Interval Graphのランダム生成 入力：自然数 n 出力：n頂点の連結なProper Interval Graph 例 n=5 一様ランダムに生成 同型性を考慮 問題（２） 連結なProper Interval Graphの列挙 入力：自然数 n 出力：n頂点の連結なProper Interval Graphを列挙 例 n=5 漏れなく、重複なく 同型性を考慮 すべて出力 提案アルゴリズム 連結なProper Interval Graphのランダム生成 入力：自然数 n 出力：n頂点の連結なProper Interval Graph 一様ガンダムに生成(同型性を考慮) 数え上げを利用 O(n+m)時間 連結なProper Interval Graphの列挙 入力：自然数 n 出力：n頂点の連結なProper Interval Graphを列挙 漏れなく、重複なく（同型性を考慮） 逆探索法を利用 1つあたりO(1)時間 提案アルゴリズム 連結なProper Interval Graphのランダム生成 入力：自然数 n 出力：n頂点の連結なProper Interval Graph 一様ランダムに生成(同型性を考慮) 数え上げを利用 O(n+m)時間 連結なProper Interval Graphの列挙 入力：自然数 n 出力：n頂点の連結なProper Interval Graphを列挙 漏れなく、重複なく（同型性を考慮） 逆探索法を利用 1つあたりO(1)時間 Interval Graphs Interval表現を持つグラフクラス Proper Interval Graphs Unit Interval表現を持つグラフクラス すべてのIntervalの長さが同じ カッコ列を用いた表現 Unit Interval表現のカッコ列表現 Unit Interval表現をカッコ列で表現 Interval表現の各端点を左からスイープ 左端点 → “(” 右端点 → “)” 左端点が現れる順番に 右端点も現れる ((( ))( ()) ) Unit Interval表現 カッコ列表現 カッコ列表現 n頂点のProper Interval Graphのカッコ列表現の特徴 カッコの数：2n “(”の数：n個 “)”の数：n個 non-negative 左からスイープしたとき、どの地点を見ても、左カッコの数は右カッコ の数よりも多いか等しい ( ( ( ) ) ( ( ) ) ) +1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 -1 01 2 3 21 2 3 210 0 カッコ列表現 n頂点のProper Interval Graphのカッコ列表現の特徴 カッコの数：2n “(”の数：n個 “)”の数：n個 non-negative 左からスイープしたとき、どの地点を見ても、左カッコの数は右カッコ の数よりも多いか等しい ( ( ) ) ) ( 0 ？ Interval表現が書けない カッコ列表現 n頂点のProper Interval Graphのカッコ列表現の特徴 カッコの数：2n “(”の数：n個 “)”の数：n個 non-negative 左からスイープしたとき、どの地点を見ても、左カッコの数は右カッコ の数よりも多いか等しい ( ( ) ) ( ) 0 Unit Interval表現 グラフ表現 カッコ列表現 連結なProper Interval Graphのカッコ列表現 左カッコと右カッコの数が等しいのは2箇所 左端と右端のみ 両端を除いたカッコ列がnon-negative (( ( ( ) ) ) ( ( ) ) )) 0 0 カッコ列表現 Lemma 1. (X. Dell, P. Hell, J. Huang, 1996) 連結なProper Interval Graphは1つ、または2つ のカッコ列表現を持つ このグラフは2つのカッコ列表現しかもたない (()(()())) 異なるカッコ列 Proper Interval Graph Unit Interval表現 カッコ列表現 カッコ列表現 Lemma 1. (X. Dell, P. Hell, J. Huang, 1996) 連結なProper Interval Graphは1つ、または2つ のカッコ列表現を持つ このグラフは1つのカッコ列表現しかもたない (()(())()) Proper Interval Graph Unit Interval表現 カッコ列表現 reversible ランダム生成アルゴリズム カッコ列をランダムに生成 Proper Interval Graphの数え上げを利用 一様ランダムにカッコ列を生成することができる ( ( ( ( ) ) ( ) ( ) ) ) C(n' ) 0 0 1 2n' n'1 n' reversibleなカッコ列に 対応するグラフの出現 確率が低い Sn: reversibleでないカッコ列の数 せ い き か く り つ せ い き か 生起確率の正規化 non-negativeなカッコ列 Rn: reversibleなカッコ列の数 Sn Rn C(n) n Rn n / 2 reversibleでないカッコ列 … (()(()())) ((()())()) … … … … … S Rn 確率： n Sn 2Rn … Case 1 reversibleなカッコ列 (()(())()) Case 2 Rn 確率： Sn 2Rn (()(())()) 一様にグラフを出力 カタラン数の一般化 ランダム生成 i 2n i C(n, i) 2n i n Case 1（一様ランダムなカッコ列） 左から順にカッコを一つずつ生成 確率に応じて, “(” と “)” のどちらかを選択 ( ( ( ) )( ( ) () ) ) p = C(2n’ - k, hl) q = C(2n’ - k, hr) k:生成したカッコの数 h:高さ “(” : p pq “)” : q pq 構築時間 •カッコ列：O(n) •グラフ：O(n+m) i 2n i C(n, i) 2n i n ランダム生成 Case 2（ reversibleなカッコ列） 1. 2. 真ん中の高さを決める 左から順にカッコを一つずつ生成 確率に応じて, “(” と “)” のどちらかを選択 ) (( ) ) ) ) p = C(n’ - k, hl) q = C(n’ - k, hr) k:生成したカッコの数 h:高さ h 1 n 1 n 1 (n h) / 2 “(” : p pq “)” : q pq 構築時間 •カッコ列：O(n) •グラフ：O(n+m) まとめ・今後の課題 n頂点のProper Interval Graphのランダム 生成と列挙 ランダム生成：O(n+m)時間 列挙：１つあたりO(1)時間 高々n頂点に拡張できる Interval Graphのランダム生成と列挙