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スケジューリング最適化システム
OptSeq II
補助資料：OptSeq II によるスケジューリング入門
トライアルバージョン
http://www.logopt.com/OptSeq/OptSeq.htm
スケジューリングモデルとは
（OptSeq ２節）
• 作業（activity；活動）：遂行すべき仕事のこと．別名，
オペレーション（operation），ジョブ，仕事(job)，タスク
(task)．作業時間や納期の情報が付加される．
• 先行（時間）制約（precedence (time) constraint）：ある
作業（ジョブ，活動）がある作業（ジョブ，活動）の前
に処理されなければならないことを表す制約．
• 資源（resource）：作業を行うときに必要とされるもの
で，その量に限りがあるもの．機械(machine）はジョ
ブによって占有される資源．その他，人員，材料，お
金なども全部資源．
航空機を早く離陸させよう！(OptSeq 3節）
• PERT: Program Evaluation and Review Technique,第二次
世界大戦のポラリス潜水艦の建造で利用．（ORの古典）
作業1
作業3
作業4
13分
15分
27分
完了時刻最小化
ダミー作業
先行制約
作業
作業2
25分
作業5
22分
点が作業（活動）のグラフ->点上活動図式
作業１：乗客降ろし（１３分）
作業２：荷物降ろし（２５分）
作業３：機内清掃（１５分）
作業４：乗客搭乗（２７分）
作業５：荷物積み込み（２２分）
航空機を早く離陸させよう！（１）
０＋１３＝１３
作業1
作業3
作業4
13分
15分
27分
０分
ダミー作業
（作業開始）
ダミー作業
０＋２５＝２５
作業2
作業5
25分
22分
ダミーの開始作業を追加．最早終了時刻を０とする．
ダミーの開始作業の後続する点の作業終了時刻を更新．
その後，ダミーの開始作業をグラフから除く．
航空機を早く離陸させよう！（２）
１３
２８＝１３＋１５ ５２＝２５＋２７
作業1
作業3
作業4
13分
15分
27分
２５
ダミー作業
４７＝２５＋２２
作業2
作業5
25分
22分
先行する点がない点から順に，後続する点の最早終了時刻を更新．
（大きいものに置き換える！）：作業１，作業２の後続点を更新．
航空機を早く離陸させよう！（３）
１３
２８
作業1
作業3
55=max{28+27，52}
作業4
47=47+0
13分
15分
27分
２５
４７
作業2
作業5
25分
22分
ダミー作業
先行する点がない点から順に，後続する点の最早終了時刻を更新．
（大きいものに置き換える！）：作業３，作業５の後続点の更新
航空機を早く離陸させよう！（４）
１３
２８
作業1
作業3
５５
作業4
55=max{55+0,47}
13分
15分
27分
２５
４７
作業2
作業5
25分
22分
ダミー作業
作業４の後続点の更新；最早終了時刻 55 分後！
最早終了時刻＋後続する点の作業時間＝後続する点の最早終了時刻の枝
（->クリティカルパス：図の赤線）
最適解
解法：閉路をもたないグラフ上での最長路問題->簡単に解ける！
作業1
作業3
作業4
15分
13分
27分
作業5
作業2
25分
22分
０
時間
55
横軸に時間をとって作業を並べた図->ガントチャート（Gantt’s chart）
OptSeqによるモデル記述（１）
作業の記述法
納期も追加可能（省略可）
作業の記述法
activity 作業名 duedate 納期
mode duration 作業時間
作業は複数のモード（mode）をもつことも
できる（後述）；1つのときは作業内に記述可
たとえば，作業時間13分のact1という名前の作業を
追加するには：
activity act1
mode duration 13
OptSeqによるモデル記述（2）
時間制約の記述法
時間制約の記述法
temporal 先行作業 後続作業
たとえば，作業act1の後に，作業act2を行わなければ
ならないことを追加するには：
temporal act1 act2
OptSeqによるモデル記述（3）
目的関数の記述法
目的
最後の作業が完了する時刻を最小化
すべての作業に後続するダミーの作業 sink の
納期を最小化する！
作業の記述法
activity 作業名 duedate 納期
mode duration 作業時間
activity sink duedate 0
OptSeqの実行と結果
制限時間1秒で求解
optseq -time 1 < 入力ファイル名
計算結果（一部）
--- best solution --- 最良解
source ---: 0 0 ダミーの始点の開始時刻が０
sink ---: 55 55 ダミーの終点の開始時刻が５５（完了時刻）
activity[1] ---: 0 0--13 13 作業１は０に開始されて１３に終了
activity[2] ---: 0 0--25 25 作業２は０に開始されて２５に終了
activity[3] ---: 13 13--28 28 作業３は１３に開始されて２８に終了
activity[4] ---: 28 28--55 55 作業４は２８に開始されて５５に終了
activity[5] ---: 25 25--47 47 作業５は２５に開始されて４７に終了
objective value = 55 目的関数値は５５
cpu time = 0.00/3.00(s) 計算時間
iteration = 1/62605 反復回数
PERT（作業員が1人のとき）
資源制約を使ってみよう！ (OptSeq 4節）
資源の記述法
resource 資源名
interval 時刻1 時刻2 capacity 供給量
interval 時刻1 時刻2 capacity 供給量
...
OptSeqによるモデル記述
worker（作業員）
資源を0から無限大（inf）
まで1人使用可能
作業が資源を
使用する量の
記述法
作業actが
資源workerを
1単位使用
resource worker interval 0 inf capacity 1
activity 作業名
資源名 interval 区間 requirement 使用量
interval 区間 requirement 使量量
...
activity act1
mode duration 13
worker interval 0 13 requirement 1
OptSeqの実行結果とガントチャート
計算結果（一部）
source ---: 0 0
sink ---: 102 102
activity[1] ---: 47 47--60 60
activity[2] ---: 0 0--25 25
activity[3] ---: 60 60--75 75
activity[4] ---: 75 75--102 102
activity[5] ---: 25 25--47 47
objective value = 102
cpu time = 0.00/3.00(s)
iteration = 0/64983
並列ショップスケジューリング
ピットイン時間を短縮せよ！ (OptSeq 5節）
gas
3秒
作業１
作業９
11
秒
R
TE
WA
３人のピットクルー
（資源制約）
作業２
2秒
作業５
2秒
4
作業６
作業３
作業７
作業８
2
秒
作業４
秒
4
秒
4秒
4
秒
2秒
作業１０
資源（機械）制約
があると難しい！
OptSeqによるモデル記述
（供給量3の資源を用いる場合）
3人の作業員
資源の定義
resource worker interval 0 inf capacity 3
作業の定義
activity prepare
mode duration 3
worker interval 0 3 requirement 1
．．．
時間制約の
定義
temporal prepare oil
temporal jackup tire1
．．．
最大完了時刻
activity sink duedate 0
の最小化
OptSeqによる計算結果
とガントチャート
source ---: 0 0
sink ---: 14 14
prepare ---: 0 0--3 3
water ---: 0 0--2 2
front ---: 0 0--2 2
jackup ---: 2 2--4 4
tire1 ---: 8 8--12 12
tire2 ---: 4 4--8 8
tire3 ---: 8 8--12 12
tire4 ---: 4 4--8 8
oil ---: 3 3--14 14
jackdown ---: 12 12--14 14
objective value = 14
cpu time = 0.00/3.00(s)
iteration = 0/37644
並列ショップスケジューリング 2
-モードの概念と使用法-（OptSeq 6節）
モード：作業を行うための処理方法
例： 作業 「ジュースを買う」
コンビニモード：
作業時間 20 分，お金資源 120 円，人資源 1人
自販機モード：
作業時間 5 分，お金資源 120 円，人資源 1人
スーパーモード：
作業時間 40 分，お金資源 100 円，人資源 1人，車資源 1 台
モードの記述法 (1)
モードの記述法
mode 処理モード名 duration 処理時間
資源名 interval 区間 requirement 使用量
interval 区間 requirement 使用量
...
作業にモード
を追加
activity 作業名
モード名 モード名
...
モードの記述法 (2)
たとえば，作業時間が1,2,3の3つのモードを追加するには：
mode m1 duration 3
worker interval 0 3 requirement 1
mode m2 duration 2
worker interval 0 2 requirement 2
mode m3 duration 1
worker interval 0 1 requirement 3
activity prepare
m1 m2 m3
３つのモードを作業
prepareに追加
OptSeqによる計算結果
とガントチャート
--- best solution --source ---: 0 0
sink ---: 13 13
prepare m3: 0 0--1 1
water ---: 1 1--3 3
front ---: 11 11--13 13
jackup ---: 1 1--3 3
tire1 ---: 7 7--11 11
tire2 ---: 3 3--7 7
tire3 ---: 7 7--11 11
tire4 ---: 3 3--7 7
oil ---: 1 1--12 12
jackdown ---: 11 11--13 13
objective value = 13
cpu time = 0.00/3.00(s)
iteration = 7/23318
資源制約付きスケジュールング
お家を早く造ろう！（OptSeq 7節）
作業時間＝２日
１日目１人，２日目２人の資源
が必要！
１階
屋根
土台
完成！
１人の作業員休暇
資源量（人）
内装
２人
0
3
時間（日）
最適解
資源量（人）
時間（日）
資源制約付きスケジューリングは一般的なモデル
（ジョブショップ，並列ショップスケジューリングを特殊形として含む．）
OptSeqによるモデル記述 (1)
時刻によって変化する
資源供給量の入力
resource worker
interval 0 2 capacity 2
interval 2 3 capacity 1
interval 3 inf capacity 2
１
０
２
３
OptSeqによるモデル記述(2)
作業の時刻によって
変化する資源使用量
の入力
activity first
mode duration 3
worker interval 0 1 requirement 2
worker interval 1 3 requirement 1
１機械スケジュールング
納期遅れを最小にしよう！（OptSeq 8節）
• 完了時刻最小化（メイクスパン）以外の目的関数の例
–
–
–
–
–
納期遅れ最小化
納期ずれ最小化
納期遅れした作業（ジョブ）数最小化
納期遅れの最大値の最小化
上の指標の重み付きの尺度最小化 ．．．．
会社名
A社
B社
C社
D社
作業時間 1日
2日
3日
4日
納期
9日後
6日後
4日後
5日後
OptSeqによるモデルの記述
作業後との
納期の記述
activity A duedate 5
mode duration 1
writer interval 0 1 requirement 1
activity B duedate 9
mode duration 2
writer interval 0 2 requirement 1
．．．
最適解
--- best solution --source ---: 0 0
sink ---: 10 10
A ---: 4 4--5 5
B ---: 8 8--10 10
C ---: 5 5--8 8
D ---: 0 0--4 4
会社名 A社
B社
C社
D社
作業時 1日
間
2日
3日
4日
納期
9日後
6日後
4日後
5日後
objective value = 3
cpu time = 0.00/3.00(s)
iteration = 0/57376
作業4（D社）
作業1(A社）
作業3（C社）
納期遅れ
作業2（B社）
納期遅れ
時間（日）
０
10
A社納期
C社納期
D社納期
B社納期
航空機をもっと早く離陸させよう!
（OptSeq 9節）
クリティカルパス法 （critical path method，略してCPM）
作業時間を費用をかけることによって短縮できる
作業1：乗客降ろし 13分．10分に短縮可能で，1 万円必要．
作業2：荷物降ろし 25分．20 分に短縮可能で，1万円必要．
作業3：機内清掃 15 分．10分に短縮可能で， 1万円必要．
作業4：新しい乗客の搭乗 27 分．25分に短縮可能で，1万円必要．
作業5： 新しい荷物積み込み 22 分．20分に短縮可能で， 1万円必
要．
再生可能資源と再生不能資源
• 再生可能資源
作業完了後に再び使用可能になる資源
機械や作業員など
• 再生不能資源
一度使うとなくなってしまう資源（計画期間
内での合計に制約を設ける）
お金や原材料など
クリティカルパス法の予算を再生不能資源として扱う！
OptSeqによるモデルの記述(1)
作業 1 （乗客降ろし）に対して，13分の通常モードと，10
分の短縮モードを追加するための入力
mode m[1][1] duration 13
mode m[1][2] duration 10
activity activity[1]
m[1][1] m[1][2]
OptSeqによるモデルの記述(2)
nonrenewable
再生不能資源 消費量 (作業名,処理モード名)
の記述
消費量 (作業名,処理モード名)
... <= 供給量
再生不能資源は4万ドル以下：
nonrenewable
+1 (activity[1],m[1][2]) +1 (activity[2],m[2][2])
+1 (activity[3],m[3][2]) +1 (activity[4],m[4][2])
+1 (activity[5],m[5][2]) <= 4
結果
作業1
4万 円
作業3
作業4
10分
10分
25分
作業5
作業2
20分
2 2分
０
45
作業1
1万 円
作業3
作業4
27分
10分
13分
作業5
作業2
25分
2 2分
０
0万 円
時間
52
作業1
作業3
作業4
15分
13分
時間
27分
作業5
作業2
25分
2 2分
０
時間
55
時間制約（OptSeq 10節）
時間制約（先行制約の一般化）の記述法
temporal 先行作業 後続作業 type 制約タイプ delay 時間ずれ
Completion
Start
A
B
先行作業
後続作業
作業Aの完了後に
作業Bの開始
temporal A B type CS delay 0
制約タイプ（type）
Start
Start
A
B
Start
type SS
Completion
A
B
Completion
A
type SC
Completion
B
type CC
時間ずれ（delay）
Completion
A
Start
B
10
Completion
A
作業Bの開始可能時間帯
Start
B
作業Bの開始可能時間帯
10
delay 10
delay -10
時間制約の応用 1（同時開始）
AとBの同時開始
temporal A B type SS delay 0
temporal B A type SS delay 0
Aの開始+0 ≦ Bの開始
Aの開始=Ｂの開始
Bの開始+0 ≦ Aの開始
時間制約の応用 2（開始時間固定）
Aの開始を50に
固定
temporal source A type SS delay 50
temporal A source type SS delay -50
ダミーの始点（source）の開始+50 ≦ Aの開始
Aの開始-50 ≦ダミーの始点（source）の開始
sourceの開始時刻は0
Aの開始=50
時間制約の応用 3
（最大・最小段取り時間）
Aの完了後最小
10分最大30分で
Bを開始
temporal A B type CS delay 10
temporal B A type SC delay -30
Aの終了+10 ≦ Bの開始
Bの開始-30 ≦Aの終了
Bの開始≦ Aの終了+30
Bの開始はAの終了+[10,30]
作業の途中中断（OptSeq 11節）
作業（モード）の
途中中断の
記述法
break interval 区間 max 最大中断時間
interval 区間 max 最大中断時間
...
作業A（作業時間3）が，0から3の区間でそれぞれ最大1中断可能：
activity A
mode duration 3
break interval 0 3 max 1
開始から2時刻で中断した例
作業の並列処理（OptSeq 12節）
並列作業の記述法
parallel interval 開始小作業番号 終了小作業番号 max 最大並列数
interval 開始小作業番号 終了小作業番号 max 最大並列数
...
1番目と2番目の小作業を2単位並列可能：
activity A
mode duration 4
parallel interval 1 2 max 2
小作業1
並列処理の結果
1番目と2番目の小作業を2単位並列可能：
activity A
mode duration 4
parallel interval 1 2 max 2