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データの分析 東京大学大学院 門田宏 実験手法による現象の理解 (1) 計測 (2) 分析 (3) 発見 (4) 解釈 (5) 応用 (調査、観察、観測、測定、、、、) (統計、時系列解析、、) (データマイニング、、、) (モデリング、、、) (予測、制御、、、) 静的な性質 実験→数値データ k次統計モーメント 平均(一次のモーメント) 分散(二次のモーメント) (x ) k p( x)dx ｋ次統計モーメント p(x):確率、μ:期待値 →統計的仮説検定を行ない、 母集団の推定 (統計的推定) 静的な性質 (時間的要素を考慮しない) 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 σ=1 2つの時系列データ 平均=0 4 3 2 1 静的には同じ性質 0 -1 -2 -3 -4 同じ？ →時間を考慮して数値データを考える必要。 動的な性質 動的な性質 (時系列解析) 相関 (時間的表現) R( ) X (t ) X (t ) 時刻tにおける値x(t)とτだけ離れた時刻t＋τの 値x(t+τ)がどれぐらい似ているのか？ P ( f e スペクトル (周波数的表現) i 2ft データがどのような波の成分を持っているの か？ (ウィーナーヒンチンの定理) フーリエ変換 相関 スペクトル 逆フーリエ変換 R( )d 変動に見られる構造 状態0状態1 状態2状態3 各 要 素 の 占 め る 割 合 複数の要素が相互作用すること によって形成される場合 雪崩の自己組織化臨界現象 時間経過に伴う形成過程 →変動自体に何らかの構造を持つ。 変動はシステムのダイナミクスを反映する大切な量。 →時系列全体の構造の解明。 t 時系列解析 全体の構造を捉える フラクタル 大きなスケールでも 小さなスケールでも 同じような構造が見える性質 ↓ 幾何学的にデータ全体の 構造を調べる。 カオス Log PSD フラクタル構造 X (ht ) h H X (t ) Log Frequency 周波数とパワースペクトル (波の周期とその波の大きさの2乗)を 両対数表示すると直線になる。 データの一部を取り出し、 拡大すると元のデータと同じ性質を持つ。 P∝1/f α α≒直線の傾き P∝1/f α 例えばα=0.8、ラグτ=1秒の場合、 自己相関関数の値を10%以下に落 とすには 105 秒もの時間を必要とす る。 αが0より大きい場合、自己相関が緩 やかに減衰し、非常に長期の時間相 関を持つ。 α=0のとき、ホワイトノイズと呼ばれ、 時系列は時間相関を持たない。 時間相関が強いほどαの値が大きく なる。 αの値によって時系列の不規則さ、複 雑さを定量化できる。 Log PSD 長期記憶 Log Frequency 相関なし 長期相関 長期記憶解析 k R( ) max ( x j (i ) x j ) 1 k i 1 k Hurst:ナイル川の水位の記録 min ( x j (i ) x j ) 1 k i 1 における長期記憶解析 1 (Rescaled range (R/S) analysis) S ( ) ( ( x j (i) x j ) 2 )1/ 2 i 1 Q( ) R ( ) / S ( ) Q( ) H スペクトル解析 (Mandelbrot) Detrended fractuation analysis k y (k ) ( x(i ) x ) i 1 1 N F (n) ( ( y (k ) yn (k )) 2 )1/ 2 N i 1 yn (k ) : local trend などなど。 F ( n) n H 運動にみられる長期相関 (例１) 歩行間隔 (Hausdorff et al., 1995) リズム動作 (Yamada, 1995) タイミング同期動作 (Chen et al., 1997) 姿勢動揺 (Collins and Deluca, 1993) 心拍変動 (Yamamoto and Hughson, 1994) など →(主に)連続的な動きに存在する変動の多くは 長期記憶を持つ。 加齢や病気、障害、(外部刺激に対する)とらえ方などに よってこれらの時間構造は変化する。 ヒトの時間認知および 運動実行系における時間構造 (例2) 一定間隔で刺激が提示される場合 ●刺激間隔が短く予測できる →長期相関を持つ。 ●刺激間隔が長く、予測できない →時間相関を持たない。 (Gilden et al., 1995; Shelhamer and Joiner, 2003) ヒトの運動実行系および認知系(内部時計)にお ける時間構造のモデル化 (Gilden et al., 1995) 標的到達動作課題における時間特性 (例3) discrete動作における時間構造 間欠的標的到達動作課題 (Miyazaki et al., 2001) 動作初期のキネマティクス →長期の時間相関が存在。 動作終着点 →時間相関が無くなる。 ヒトの運動遂行時における調整過程 マルチフラクタル (例4) (異なるフラクタル次元が分布している集合) 心拍変動に対してマルチフラクタル解析 (Ivanov et al., 1999) Healthy:マルチフラクタル、 Heart failure:モノフラクタル 解析が診断に使える可能性。 これまでに見つかっていない、現象や状態 の発見につながる可能性。 数値データの構造の解析２ 力学的アプローチ 状態空間 状態をいくつかの変数で 記述する。 体 重 力学系 力学系は状態空間と状態 の変化を決める規則で決 められる。状態空間の中 での時間変化に伴う軌跡 で描かれる。 身長 カオス(決定論的な系が作り出す予測不可能 な振る舞い) カオスの特徴 状態空間で表現した場合、限られた領域内に 収まる(アトラクタ)。 アトラクタから、時系列データの特徴をとらえる事ができ る。 長期的な予測は不可能、短期的な予測は可能 →非線形予測 xn 1 1 0.8 1 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 50 100 150 200 ロジスティック写像 250 0.2 0.4 0.6 0.8 1 xn 動作分析Ⅰ(例1) 指の周期運動 x x t x リミットサイクルと呼ばれる 周期運動(Kay et al., 1991) リミットサイクル：初期条件に依存せず、また外乱が 加えられても再び安定した振る舞いを示す。 動作分析Ⅱ (例2) テニスのフォアハンドおよびバックハンドストロークの 繰り返し連続動作 (Yamamoto and Gohara, 2000)。 肩、腰の角度変化 回転のあるカントール集合として考えることができる。 F(フォア) FBFと来た時の角度 B(バック) BFFと来た時の角度 カントール集合：中央部の1/3を抜き取るという操作を繰り返すことによって得られる。 カオス制御(OGY法) (例3) ④’ ② ③ ④ OGY(Ott-Grebogi-Yorke)法 平衡点近傍での不安定軌道に制御信号を 印加する事により安定軌道に漸近させる ① ウサギの不整脈の制御 (Garfinkel et al., 1992; 野崎 大地, 山本義春, カオス研究の最前線, 生理学とカオ ス) ウサギの不整脈の状態空間上での振る舞いを調べ、 振る舞いの予測を行なう。 不安定な状態の場合、電気刺激をして安定状態へ落 ち着かせる。 不整脈を規則的な拍動に制御することに成功。 非線形予測 (例4) Sugihara and May(1990) 非線形予測の利用 新生児に見られる自発的運動 (ジェネラルムーブメント) （多賀厳太郎, 脳と身体の動的デザイン) カオス力学系のような振舞いをする。 発達に伴う予測指標の変化 複雑→単純→複雑 脳に障害がある場合 PVL→高い予測、脳梗塞→低い予測 GMの定量化、発達過程や脳障害のパターン変化を明らか にできる。 まとめ フラクタル、カオスなどの非線形力学系がもたらしたもの 物事を如何にとらえるか 自然、生命の構造を記述する理論の構築 時系列解析 ●現象の発見 ●新たな概念の導入、理論の構築 ●状態の把握、診断、分類 ●非線形予測、制御 参考 山本義春先生のホームページ http://www.p.u-tokyo.ac.jp/~yamamoto/ 利用可能なパッケージ(実際に使ったことはないので詳細については不明) FFT http://momonga.t.u-tokyo.ac.jp/~ooura/fftman/index.html Fractal Analysis Programs http://nsr.bioeng.washington.edu/Software/NSR_SW_fractal.html http://reylab.bidmc.harvard.edu http://nsr.bioeng.washington.edu/PLN ソフト http://www.aihara.co.jp/rdteam/sunday-chaostimes/index-j.html 参考文献 時系列解析入門 (宮野尚哉) サイエンス社 非線形時系列解析 (松葉育雄) 朝倉書店 カオス時系列解析の基礎と応用 (合原一幸 編) 産業図書 カオス (合原一幸 編著) サイエンス社 フラクタル幾何学 (Mandelblot) 日経サイエンス社 生命とは何か (金子邦彦) 東京大学出版会