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問題3

次の回路に，下記のようなひずみ波交流の電圧
を与えた．その場合，回路に流れる電流を求め
よ．
e  2 E1 sin t  2 E2 sin 2t  ....
R
~
L
C
解答3
角周波数nωの波形に対するインピーダンスは
1
Z n  R  jnL 
jnC
1 

Z n  R 2   nL 

n

C


2
 n  Z n  tan 1
nL 
1
nC
R
よって，ひずみ波交流の電流は
i
n 1
2 En sin nt   n 
1 

2
R   nL 

nC 

2
ただし
 n  tan 1
nL 
R
1
nC
電気回路Ⅱ 演習 第6回解答
•ひずみ波の電力
•ひずみ波のフーリエ変換
問題1

以下のような電圧の実効値を計算せよ
e(t )  2 E1 sin t  2 E2 sin 2t
まず，e(t)2を計算する
e(t ) 2 

2 E1 sin t  2 E2 sin 2t

2 E1 sin t  2 E2 sin 2t
 2 E1 sin 2 t  2 E2 sin 2 2t  4 E1 E2 sin t sin 2t
2
①
1  cos( 2t )
2
2
②
1  cos( 4t )
2
③
cos(t )  cos(3t )
2

問題１の続き
①の計算
2 1 T 1  cos( 2t )
2 
2 E1 
dt  2 E1
T 0
2
2

 2 E1
2
2
 E1
2
同様に②，③の計算を行う

2
0

1  cos( 2t )
dt
2

 t sin( 2t )  
 2  4 

0
問題１の続き
②の計算
2 1 T 1  cos( 4t )
2 
2 E2
dt  2 E2

T 0
2
2

 2 E2
2
2
 E2
2

2
0

1  cos( 4t )
dt
2

 t sin( 4t )  
 2  8 

0
問題１の続き
③の計算
1
4 E1 E2
T

T
0
cos(t )  cos(3t )

dt  4 E1 E2
2
2

 4 E1 E2
2

2
0

cos(t )  cos(3t )
dt
2

 sin( t ) sin( 3t )  
 2  6 

0
0
異なる周波数を掛け，0-Tの範囲で積分すると0となる．
問題１の続き
したがって
1 T 2
E
e dt

0
T
 E1  E2  E3 .....
2

2
E
 n
n
2
2
となる．

ひずみ波の電圧（位相ずれφ：定数：が入っていても）
e(t )  2E1 sin t  1   2E2 sin 2t  2   3E3 sin 3t  3 ....
の実効値は
1
E
T

T
0
e 2 dt
 E1  E2  E3 .....
2
2
2
となる．
問題2

回路に以下のひずみ波電圧が加えられた場合の電流
および有効電力，力率を求めよ．
e  2E1 sin t  2E3 sin 3t  ....
R
~
L
C
問題２の解答
まず電流を求める．角周波数がnωの正弦波
する回路のインピーダンスは
1
jnC
よって角周波数がnωの電流は
Z n  R  jnL 
の電圧に対
2En sin nt
2

 Z  R 2   nL  1 
 n
nC 


1

n

L


1
nC
 Z n   n  tan
R

En sin nt   n 
2
（角周波数がnω） ただし   tan 1
n
Zn








nL 
R
1
nC
問題２の続き
回路に流れる電流は，すべての周波数の足し合わせなので
i(t )  
n
2 En sin nt   n 
Zn
ただし
電圧の実効値
1 

Z n  R 2   nL 

n

C


1
nL 
nC
 n  tan 1
R
2
1 

Z n  R 2   nL 

nC 

2
n=1,3,5….
E
E  E12  E22  E32 ... 
2
n
n
電流の実効値
I  I  I  I ... 
2
1
2
2
2
3
E
Z
n
ただし
2
n
2
n
n=1,3,5….
問題２の続き
有効電力を求める．
瞬時電力p(t)=e(t)i(t) を周期Tの範囲で平均を取る
簡単化のため，sinωtとsin3ωtの項だけを考える
1
P
T
1

T

T
0
e(t )i (t )dt

T
0
 2 E1

2 E3

2 E1 sin t   2 E3 sin 3t  
sin t  1  
sin 3t   3 dt
Z3
 Z1


 2 E12

2 E32


sin t sin t  1  
sin 3t sin 3t   3 
Z3

1 T  Z1
  
dt
0
T  2 E1 E3
2 E1 E3










sin

t
sin
3

t



sin
3

t
sin

t


3
1


Z3
Z1


問題２の続き
問題１と同様に計算すると
cos(   )  cos(   )
sin(  ) sin(  ) 
を用いて
2
 2 E12

2 E32


sin t sin t  1  
sin 3t sin 3t   3 
Z3

1 T  Z1
P  
dt
0
T  2 E1 E3
2 E1 E3










sin

t
sin
3

t



sin
3

t
sin

t


3
1


Z
Z
3
1


0となる
0となる
E32
E12

cos1  
cos 3 
Z1
Z3
したがって, 回路全体の有効電力は
P
2
3
2
1
E
E
cos1  
cos 3   ....
ただし
Z1
Z3

n
En2
cos n 
Zn
1 

Z n  R 2   nL 

n

C


1
nL 
nC
 n  tan 1
R
2
n=1,3,5….
En 角周波数 nωの電圧の実効値
En
角周波数 nωの電流の実効値
Zn
テキストの「ひずみ波の電力」
と式が一致することを確認
 n 角周波数 nωの電圧と電流の位相差
問題２の続き
最後に力率を求める．力率は皮相電力と有効電力の比
力率 

n
En2
cos n 
Zn
En2
E  Z
2
n
n
n
2
n
問題3


半波整流波をフーリエ級数展開せよ
第3調波，第5調波および第7調波までの合成波を
MATLABで計算してグラフを作成して，比較せよ
1
1
y( xx ) 0.5
0
0
0
2π
4π
問題３の解答
まず元の関数の波形は
0t 
 sin t
f (t )  
  t  2
 0
1 
1
a0 
sin tdt 

0
2

1 
1  sin n  1t sin n  1t
an   sin t cos ntdt  
dt
0
0


2









 cos n  1 t cos n  1 t 

1 1  (1) n 1 1  (1) n 1 





n 1
n  1  0 2  n  1
n 1 
ここでn=1の場合が
1 
1  sin n  1t
a1   sin t cos tdt  
dt  0 計算できないので
0
0


2
1

2 
bについても同様に計算する
bn 
1


0
sin t sin ntdt 
1



0
cosn  1t cosn  1t
dt
2
1  sin n  1t sin n  1t


0


2  n  1
n 1 0

ただし，n=1の場合を計算できないので，また別に計算する
b1 
1



0
sin t sin tdt 



0
1  1 sin 2t  
1
t


  2
2  0 2


1
1  cos2t 
dt
2
問題３の解答
1
1
2
2

y (t )  sin t  1 
cos 2t 
cos 4t... 
2
  1 3
35

1
1
 sin t 
2



2
1   (2m  1)( 2m  1) cos2mt 
m


2調波
４調波
6調波
1.2
1.0
Y Axis Title
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
0.0
0.5
1.0
X Axis Title
1.5
2.0
問題４

フーリエ変換を使うとすべての周期的な波形は以下の形式で表すことが
出来た．
f (t )  a0  a1 cos t  a2 cos 2t  ....an cos nt  .....
 b1 sin t  b2 sin 2t  .....bn sin nt  ......


n 1
n 1
 a0   an sin nt   bn cos nt


4-1
4-2
2
1
2

1

2
1
2
0
0

f (t ) cos tdt を計算せよ
f (t ) cos ntdt を計算せよ
4-3

0
f (t ) sin ntdt を計算せよ
問題４の解答


4-1
4-2
1
2

2
0

2
1
2
1
0

4-3

0
f (t ) cos tdt  a0
f (t ) cos ntdt  an
f (t ) sin ntdt  bn
逆説的であるが，4-1，4-2，4-3の計算をすることで各周波数成分の振幅の値が
導出されることが確認できる