Transcript 発表資料

整数計画法を用いた
スリザーリンクの解法
杉村 由花 (東京大学)
2005 年 9 月 12 日，ミニ研究集会“組合せゲーム・パズル” @ 京都大学 工学部 情報第一講義室，京都
発表の流れ
• パズル「スリザーリンク」
• 新しいパズル「スリザーリンクス」
– 定義
– NP完全性の証明
– IP定式化
• スリザーリンクの解法
• まとめ
パズル「スリザーリンク」
ルール：
• 盤面上に1つのループを作る
• 数字の周囲の4辺には,
その数字の数だけ
線を引く
解の有無判定はNP完全
→八登（2000）,
ハミルトン閉路問題に
帰着
新しいパズル「スリザーリンクス」
ルール：
• 盤面上にいくつかのループを作る
• 数字の周囲の4辺には,
その数字の数だけ
線を引く
スリザーリンクスのルール： 詳細
×
×
○
認めない
認めない
認める
スリザーリンクスのNP完全性
スリザーリンクスの解の有無判定は
NP完全 → 今回証明した
• NPに属す → OK
• NP完全 → 各頂点の次数4以下の
平面グリッドグラフの3彩色問題に帰着
NP完全性が知られている問題
平面グリッドグラフの3彩色問題
• 各頂点を3色のうち
1色で塗る
• 辺で結ばれた
頂点同士は同じ色で
塗られない
彩色問題の頂点： 模式図
拡大
部品： 端子
可能なパターン
部品： 交差
可能なパターン
部品： 電源
可能なパターン
スリザーリンクスの解法
• 緩和問題であるスリザーリンクスも, 多項式
時間では解くことはできないと予想される
→ なるべく速く解ける方法を探す
• IP（整数計画）で定式化
→ IPソルバーで解く
スリザーリンクスの整数計画定式化
各辺に変数∈{0, 1} を対応させる
a  b  c  d  2,
• 頂点
a
 a  b  c  d  0,
d b
a  b  c  d  0,
c
a  b  c  d  0,
a  b  c  d  0.
• 数字
a'
d ' k b'
c'
a'b'c'd '  k.
切除平面法による解の更新
追加する式:
各ループLについて
 x  (Lの長さ) 1
xi L
i
( xi : i 番目の辺)
スリザーリンクの解法
スリザーリンクスを解く
制約式の
追加
ループが
1つ?
Yes
スリザーリンクの解
No
サイズ
10×10
10×18
問題No. 時間(秒) 回数 時間(秒) 回数
1
0.129 1
0.266 2
易
2
0.219 1
0.266 2
3
0.266 3
3.344 4
4
0.282 3
1.797 5
5
0.250 3
0.266 1
6
0.375 4
1.282 3
7
0.672 3
0.266 1
8
0.250 2
1.657 5
9
0.282 3
2.079 4
難 10
0.422 3
1.141 4
0.306 2.6
1.236 3.1
平均
15×25
時間(秒) 回数
3.454 4
2.656 4
1.954 4
693.438 8
4.015 4
22.891 9
10.734 4
Out of memory
4.672 3
190.547 9
103.818 5.4
実験結果の考察
• 人間にとっての難易度とこの方法で解く場合
の難易度にはあまり関係がない
• 解くのにかかる時間は, 時々かなり長くなる
まとめ
• パズル「スリザーリンクス」を考案
• スリザーリンクと同様, スリザーリンクスも
NP完全であることを証明
• スリザーリンクスをIPで解き, 切除平面法に
よりスリザーリンクの解を得る方法を提案,
実装
今後の課題
• スリザーリンクスのNP完全性証明に使用した
部品を小さくする
• よりきつい制約を見つけて, 線形緩和問題で
スリザーリンクスを解く
• オリジナルのスリザーリンクソルバーを作る
• スリザーリンクをIP/LP定式化する
以上