Transcript 円錐曲線の接線定理（仮）と 楕円運動ホドグラフ

円錐曲線の接線定理（仮）と
楕円運動ホドグラフ
山 本 文 隆
長崎県立小浜高校
楕円運動
ケプラー運動の捉え方１
ケプラー運動の捉え方２－１
ケプラー運動の捉え方２-2
→光速渦
円錐曲線の接線定理（仮称）
「円錐曲線接線の任意長さを
動径垂直方向と短軸方向へ分解した長さ成分
の比は常に円錐曲線の離心率になる。」
例：楕円
任意長さ Ｖ
動径垂直方向
Ｕ
短軸方向 ｖ
離心率
ｅ
１．円錐曲線
円錐曲線とは円錐を平面で切った断面に表れる曲
線で、極形式では、Ｒを定数、θを方向、ｒを動径、
ｅを離心率として次の式で１つに表せる。
Ｒ
ｒθ＝───────── ・・・・・①
１－ｅｃｏｓθ




条件と種類は次の通りである。
断面が
傾き０（底面に垂直）のとき ｅ＝０ 円
側面の傾きより小さいとき ０＜ｅ 楕円
側面の傾きと同じとき
ｅ＝１ 放物線
側面の傾きより大きいとき
１＜ｅ 双曲線
２．楕円の極形式の公式
楕円の公式は、中心を極座標の原点として
γＲ
ｒψ＝───────────・・・・・③
√１－ｅ２ｃｏｓ２ψ
また焦点１を原点とする式にｒ１、θ１を用い
焦点２にｒ２、θ２を用いて
Ｒ
ｒ１＝────────・・・・・・・・④
１－ｅｃｏｓθ１
Ｒ
ｒ２＝──────── ・・・・・・・・⑤
１＋ｅｃｏｓθ２
③④⑤は同じ楕円の原点を
変えての表記
３．準線の定義と性質
準線は円錐曲線に存在し、
円錐曲線の任意の一点から準線
までの距離Ｌと動径ｒθの比が
常に離心率ｅ
準線から焦点までの距離Ｓ１は
動径を④式、Ｌ＝Ｌ１として
Ｓ１＝Ｌ１－ｒ１ｃｏｓθ１
ｒ１
＝─── ー ｒ１ｃｏｓθ１
ｅ
１－ｅｃｏｓθ１
＝ｒ１ ────────
ｅ
Ｒ
＝─── ・・⑥
ｅ
焦点から準線までの距離Ｓ１は一定
焦点２からも同様に⑥式を得る。
Ｌ２：ｒ２＝１：ｅよりＳ１＝Ｓ２
４．楕円の性質から導くΘ１とΘ２の関係
④式と⑤式は２焦点から楕円上の任意の一点までの距離であ
るから、楕円の性質によりその和は一定で長半径の２倍とな
る。（ｒ１＋ｒ２＝２ａ） 従って、Ｒで約して
１
１
──────── ＋ ──────── ＝２γ２
１－ｅｃｏｓθ１
１＋ｅｃｏｓθ２
これをｃｏｓθ２について書き換え、整理し
（１＋ｅ２）ｃｏｓθ１－２ｅ
ｃｏｓθ２＝───────────── ・・⑦
１＋ｅ２－２ｅｃｏｓθ１
（γ２＝γ２ｅ２＋１、α２＝１－ｅ２ の関係等利用）
α２ｓｉｎθ１
ｓｉｎθ２＝───────────── ・・⑧
１＋ｅ２－２ｅｃｏｓθ
よく現れる角度の関係
θ２＋θ１
ｓｉｎθ１
ｔａｎ────＝───────・・・・・・⑨
２
ｃｏｓθ１－ｅ
θ２＋θ１
──── は準線と楕円の
２ 接線がなす角
θ２－θ１
ｓｉｎθ１
ｔａｎ────＝────────・・・・・⑩
２
１－ｅｃｏｓθ１
θ２－θ１
──── は２本の動径が
２ なす角の２等分角
なお角度の２等分線と楕円接線は
垂直に交わる。
６．準線定理（仮称）
円錐曲線の接線定理 導出の前段階として次
の定理１～３を提唱し、証明する
準線定理１（仮称）
準線定理２（仮称）
準線定理３（仮称）
準線定理１（仮称）：
楕円の接線と準線
の交点から準線側焦
点に引く直線は、こ
の焦点から楕円の接
点へ向かう動径と垂
直に交わる。
準線定理１（仮称）の証明
Ｒ
ａｆ＝Ｓ１＝───
ｅ
よって
ｍｆ＝ｍｄ＋ｄｆ
Ｌ１
＝ ─────── ＋ ｒ１ｓｉｎθ１
θ２＋θ１
ｔａｎ────
２
ｃｏｓθ１－ｅ
＝ｒ１（────────+ｓｉｎθ１）
ｅｓｉｎθ１
１－ｅｃｏｓθ１
Ｒ
＝ｒ１ ──────── ＝─────
ｅｔａｎθ１
ｅｔａｎθ１
（④式より）
ａｆ
ｔａｎ∠ａｍｆ＝───＝ｔａｎθ１
ｍｆ
準線定理２（仮称）：
焦点１に動径１と準線１、焦点２に動径２と準
線２を対応させるとき、楕円上の一点から動径
１に垂直に伸びる直線が準線２と交わる点まで
の長さと、動
径２に垂直に
伸びる線が準
線１と交わる
点までの長さ
は等しい。
準線定理２（仮称）の証明
図左において
ｃｅ＝Ｌ２＝ｊｃ ｓｉｎθ１
図右において ｃｅ’ ＝Ｌ１＝ｊｃ’ ｓｉｎθ２
ｊｃ＝ｊｃ’のためには
Ｌ１ｓｉｎθ１＝Ｌ２ｓｉｎθ２
両辺に離心率ｅを掛けると ｒ１ｓｉｎθ１＝ｒ２ｓｉｎθ２
最後の式の成立は
動径の正弦関係
より明らかである
準線定理３（仮称）：
楕円上の一点から動径に 垂直に伸びる直線
が準線と交わる点までの距離とこの点から同
じ準線上にある楕円接線との交点までの距離
の比は常に
離心率ｅと
なる。
準線定理３（仮称）の証明１
準線定理３（仮称）の証明２
円錐曲線の接線定理（仮称）
「円錐曲線接線の任意長さを
動径垂直方向と短軸方向へ分解した長さ成分
の比は常に円錐曲線の離心率になる。」
中心力の世界
（面積速度一定）