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確率･統計Ⅰ
第5回 確率変数の共分散、チェビシェフの不等式
ここです！
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確率論とは
確率変数、確率分布
確率変数の独立性 ／ 確率変数の平均
確率変数の平均（続き）、確率変数の分散
確率変数の共分散、チェビシェフの不等式
ベルヌイ試行と二項分布
二項分布（続き）、幾何分布など
二項分布の近似、ポアソン分布、正規分布
正規分布とその性質
i.i.d.の和と大数の法則
中心極限定理
統計学の基礎1（母集団と標本、確率論との関係）
統計学の基礎2（正規分布を用いた推定・検定）
確率変数の共分散、
チェビシェフの不等式
1. 確率変数の共分散 （定義）
2. 共分散の公式(1)(2)(3)
3. 共分散の意味 と 分散の公式(2)
4. チェビシェフの不等式
確率変数の共分散
E(X)=μ, E(Y)=νとする。
Cov(X, Y) = E[(X-μ) (Y-ν)]
を X と Y の共分散という。
確率変数の共分散、
チェビシェフの不等式
1. 確率変数の共分散 （定義）
2. 共分散の公式(1)(2)(3)
3. 共分散の意味 と 分散の公式(2)
4. チェビシェフの不等式
共分散の公式(1)
Cov(X, X) = V(X) 分散
自分自身との共分散が「分散」にほかならない。
共分散の公式(2)
V(X+Y) = V(X) + 2Cov(X,Y) + V(Y)
証明
V(X+Y) = E[(X+Y -μ-ν)2]
= E[( X -μ)2 + 2 ( X -μ) (Y -ν) + (Y -ν) 2]
= E[( X -μ)2]+ 2E [( X -μ) (Y -ν) ]+ E[(Y -ν) 2]
= V(X) + 2Cov(X,Y) + V(Y)
共分散の公式(3)
Cov(X,Y) = E(XY) - E(X) E(Y)
証明
Cov(X,Y) = E[(X-μ)(Y-ν)]
= E( XY -νX -μY + μν )
= E(XY) -νE(X) -μE(Y) +μν
= E(XY) - μν
確率変数の共分散、
チェビシェフの不等式
1. 確率変数の共分散 （定義）
2. 共分散の公式(1)(2)(3)
3. 共分散の意味 と 分散の公式(2)
4. チェビシェフの不等式
共分散の意味
X, Y が独立ならば
Cov(X,Y) = 0
証明
X, Y が独立 ⇒ E(XY) = E(X)E(Y)
だったから、これと
Cov(X,Y) = E(XY) - E(X) E(Y)
より明らか。
2つの確率変数の相関係数
Cov( X , Y )
( X ,Y ) 
V ( X ) V (Y )
を X と Y の相関係数という。
分散の公式(2)の証明
X, Y が独立 ⇒ V(X+Y) = V(X) + V(Y)
の証明
X, Y が独立 ⇒ Cov(X,Y) = 0
だったから、これと 共分散の公式(2)
V(X+Y) = V(X) + 2Cov(X,Y) + V(Y)
より明らか。
確率変数の共分散、
チェビシェフの不等式
1. 確率変数の共分散 （定義）
2. 共分散の公式(1)(2)(3)
3. 共分散の意味 と 分散の公式(2)
4. チェビシェフの不等式
チェビシェフの不等式
P(| X   |  ) 
V (X )

μ=E(X)
2
チェビシェフの不等式
証明 （離散型の場合）
V(X) = Σ(xi-μ)2 pi
≧（|xi-μ|≧εだけの和で）Σ(xi-μ)2 pi
≧ （|xi-μ|≧εだけの和で） Σε2 pi
= ε2 （|xi-μ|≧εだけの和で） Σpi
= ε2 P( |xi-μ|≧ε)
チェビシェフの不等式
チェビシェフの不等式から、X がどんな分布に
従う場合でも、平均μ, 分散σ2 とすれば
1
P(| X   | n )  2
n
たとえば 平均から±3σ 以上離れた値になる確率は
1/9 = 0.111… 以下であることがわかる。
チェビシェフの不等式
チェビシェフの不等式から、X の分散σ2 が小さ
いほど、平均μの近くの確率が大きいことがわ
かる。

P(| X   |  )  1 2

2
（「分散の意味」の証明！）
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