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透視図法と数学
‐透視図法と線束‐
筑波大学大学院教育研究科1年
福田匡弘

どんなこが分かる？
§1．Albrecht Durer
§2．Leonardo da Vinci

「プロスペティーヴァ（透視図）とは、
平らで十分に透明なガラスの後ろ側か
ら見て、そのガラスの表面に、ガラス
の向こう側にある一切の事物を写し取
ることに他ならなくて、これらの事物
は、目を頂点とするピラミッドで捉え
られ、そのピラミッドは、上述のガラ
スの位置において切断されるのである」
視錐ピラミッドと切断
§3．平行線は交わる？
どうなる？

図のように、視点と画面を取り、視点Aから
画面を通して平面Bを見るとき、画面には
どのように写っているだろう。
レオナルドの絵画論

レオナルドは、下の図のような方法を考え
ていた。この図からわかることとして・・・
レオナルドの絵画論
縦線の平行線は一点で交わっている。
 横線の平行線は平行である。
 対角線は一点で交わっている。
 線束・・・ある一点を通るような直線の集ま
りか、ある線に対して平行であるような線
の集まり。

マギの礼拝背景図
まとめ１
目からでた光線（視錘ピラミッド）を画面に
おいて切断している。
 線束・・・
ある一点を通るような直線の集まりか、あ
る線に対して平行であるような線の集まり。
 透視図法とはどんなものだった？

デザルグの定理

二つの三角形ＡＢＣ、Ａ’Ｂ’Ｃ’があり、
対応する頂点を結ぶ３直線ＡＡ’、ＢＢ’、
ＣＣ’が一点で交わるならば、対応する
辺（ＡＢ、Ａ’Ｂ’）（ＢＣ、Ｂ’Ｃ’）
（ＣＡ、Ｃ’Ａ’）の交点Ｎ，Ｌ，Ｍは一
直線上にある。
二つの三角形の頂点を通る直線が一点で交わ
ると､対応する辺の交点が一直線上にある。
Gerard Desargues

これまでの透視図法
をさらに発展させて、
今日の射影幾何学の
糸口をつくった。
[First] Geometrical
Proposition
1,もし空間内または平面上
の二つの三角形abl、
DEKが、その対応する
頂点どうしを結んだ３
つの直線aD、bE、lKが
点Hで交わるようなも
のであるとき、その二
つの三角形の辺は一直
線上の３点c、f、gで交
わる。

cが△bfE、agDの頂点を通る角錐の頂点
とみなせることから3つの直線ag、bf、
HKが点lを通る。
fを二つの△bcE、lgKの頂点を通る角
錐の頂点と考えると、対応する辺は同
一直線上の点a、D、Hを与える。
さらに、gを二つの三角形acD、lfKの対応す
る辺は同一直線上の３点b、E、Hで交わる。
３．もし、三角形DEKの3つの頂点D、E、
Kと頂点Hから垂線Dd、Ee、Kk、Hhが
引かれるなら、これらの直線は紙面の平
面とd、e、k、hで交わる。そしてそれら
は、直線hdは直線HD上の点aを通り、同
様にhkはlを通り、deはcを通り、heはb
を通り、dkはgを通るようなものである。
デザルグの考え
したがって紙面上の平面には、他の平面
上の図形と点と点、直線と直線そして
比と比が対応するような決定された図
形があり、それゆえその図形の性質が
ひとつのもの、または他方のものから
論じられる。このことは、ただひとつ
の平面上の図形によって代替されると
いう意味によっている。
まとめ２
 立体の交線（平面と平面が交わる線）
を平面上に移しても、平面上における
交線の関係は、保たれている。
Blaise Pascal
ブレーズ・パスカル
は、1623年フランス
のクレモンに生まれ
た。
 円錐曲線に内接する
6角形に関するパス
カルの定理

デザルグとパスカル

「・・・これを最初に発見したのは，リヨン
に生まれた当代の碩学デザルグ氏である。氏
は数学，わけても円錐曲線論には最も造詣深
い人のひとりであって，この部門に関する氏
の著述は，数こそ少ないが，そこから学ぼう
とした人々に対し，このことの豊かな証拠を
与えたのである・進んで告白するが，私がこ
の部門に関して発見した僅かのことも氏の著
述に啓発されたものであって・・・」
デザルグ
パスカル
§6．円錐曲線
定義Ⅱ

円錐曲線section de
Coneなる語によって，
われわれは，円周，
楕円，双曲線，放物
線，角を作る2直線を
意味する。
§6．パスカルの定理

補題Ⅰ
円の内接六角形ＡＢ
ＣＤＥＦの3組の対辺Ａ
ＢとＤＥ、ＢＣとＥＦ、Ｃ
ＤとＦＡの交点N,M,L
は一直線上にある。
補題Ⅱ
 いま、2平面がほかの１平面によって
きられるならば、これらの平面の切断
線は、さきの２平面がとおる直線と同
じ束にある。
補題Ⅲ

円錐曲線の内接六
角形ＡＢＣＤＥＦの3
組の対辺ＡＢとＤＥ、
ＢＣとＥＦ、ＣＤとＦＡ
の交点N,M,Lは一
直線上にある。
どのようにして導いたのか。
定義Ⅱ（円錐の切断）
 補題Ⅲ（円におけるパ
スカルの定理）
 補題Ⅰ

最後に

パスカルが用いたデザルグの考えとは・・・
 ほかの平面上のことが、ただひとつの
平面上の図形によって代替される。