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統計的推測 2004年度専修大学経済学部 作間「経済統計学」講義 統計的推測の種類 標本の観察 （標本統計量） 例：標本平均 統計的推測の種類 推定 検定 母集団の特徴 （母数） 母平均 点推定 区間推定 標本から母集団を推測する１ 池の魚の数を数える。 とりあえず、50匹を捕まえ、尾に赤い標識を つけて逃がす。次の日、10匹捕まえたとこ ろ、そのうち2匹が標識をつけていたとする。 池の魚全体（その数をXとする）のうち、標識 のついている魚の割合が今回捕まえた魚の 中での割合と等しいと仮定する。 すると、2÷10=50÷Xから、X＝250と推 測する。 最尤法 「尤（もっと）もらしい」の「尤」である。 母比率をπとする。πをいろいろ変化させてみて、実際 のデータに含まれる比率pが観察される確率が一番高 くなるように、πを決める方法を最尤法という。 10匹の中に2匹に標識のついた魚がいる確率は、 p(2) 10 C2 2 (1 )102 この確率が最大になるように、πを選ぶのが最尤 法。微分を使って計算すると、π＝2/10を得る。 区間推定とは何をやるのか？（１） 「標本分布」＝標本統計量（標本平均とか標本分散と か、標本の関数である確率変数）がキー。 中心極限定理によって、標本サイズ大の場合、 x N (, / n) 2 であることから Pr(1.96 x n 1.96) 0.95 区間推定とは何をやるのか？（１） この式をかきかえて Pr( x 1.96 n x 1.96 n ) 0.95 このように作られた区間を「信頼区間」という。 信頼区間の意味 この区間推定の問題 母集団の標準偏差（σ）が既知であることが前提されてしまっ ている。 標本の標準偏差（s）はわかっているだろうが、母集団の標準 偏差はわかっていないのがむしろ普通の状況だろう。 その場合につかわれるのがt分布。次の確率変数tは、自由 度n-1のt分布に従う。 x t s/ n 標本標準偏差Sは、n-1で割る式による。nで割るS＊だと、 x t s */ n 1 正規分布とt分布 t分布の発見者は、ウィリアム・ゴセット。ゴセットは、 ギネス・ビールの技術者だったので、会社の立場を 考えて、“Student”というペンネームで論文を発表 していたから、t分布のことをStudentのt分布とも 呼ぶ。 t分布には、自由度というパラメーターがある。 自由度を無限大にすると、t分布は、正規分布に一 致する。 したがって、サンプルが大きければ、σ未知でも、正 規分布を使ってよいことになる。 ｔ分布と正規分布の比較 0.45 0.4 0.35 0.3 norm f(x,5) f(x,10) f(x,15) 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 標本から母集団を推測する2――失業率 標本の比率（割合）で母集団の対応する比 率（割合）を推定しようとする典型例。 完全失業者数/労働力人口が完全失業率。 完全失業率の数字の見方を考えるには、概 念がどうなっているか（「完全失業者」とは何 か、「労働力人口」とは何か）を知る必要が ある。また、統計的推測そのものについての 理解（誤差への理解）が必要。 11月30日付『日本経済新聞』 11月30日付『日本経済新聞』 11月30日付『日本経済新聞』 有効求人倍率とは？ 職業安定業務統計の用語。 「有効」とは？ 求人・求職票は、 他にさだめないかぎり、ふつう翌月 末まで有効だから。 完全失業率のグラフ 実質消費支出の一時的高揚が景気回復 を支えていた。 労働力調査について １ 調査の目的 国民の就業及び不就業の状態を明らかにすることを目的とし、昭 和21年９月以降毎月実施している。 ２ 調査方法 ・調査の対象 全国全世帯の中から、無作為に選定した約４万世帯に居住す る15歳以上の者約10万人 ・調査の期日 毎月末日現在で、月末１週間における就業・不就業の状態を調 査する（12月は20日から26日までの１週間） ・調査の方法 調査員が対象世帯に調査票を配布し、世帯がこれに記入、再 び調査員が調査票を取集する。 労働力調査について（続） ３ 調査項目 中心は、就業状態の区分 就業状態の区分 ────── 調査でのとらえ方 ─────── ───── 結果表の表し方 ───── ┌ 主に仕事 ┐ │ │ ├ 通学のかたわらに仕事 ┼………………… 従業者 ┐ │ │ │ ├ 家事などのかたわらに仕事 ┘ │ │ │ │ ├ 就業者 ┐ 調査期間中に少し ┤ │ │ でも仕事をしたか │ │ │ │ │ ├ 労働力人口 ┐ │ ┌ 仕事を休んでいた …… 休業者 ┘ │ │ │ │ │ │ │ ├ 仕事を探していた …………… 完全失業者 ┘ ├１５歳以上人口 │ │ │ └ 仕事をしなかった ┼ 通学 ┐ │ │ │ │ ├ 家事 ┼ …………………… …非労働力人口 ┘ │ │ └ その他（高齢者など） ┘ 労働力調査の用語（１） ＜就業状態＞ 15歳以上人口について，調査週間中の活動状態 に基づいて次のように区分している。 労働力人口：15歳以上人口のうち，就業者と完全失業者を合わ せたもの 就 業 者 ：従業者と休業者を合わせたもの 従 業 者：調査週間中に賃金，給料，諸手当，内職収入などの 収入を伴う仕事（以下「仕事」という。）を １時間以上した者。な お，家族従業者の場合は，無給であっても仕事をしたとする。 休 業 者：仕事を持ちながら，調査週間中少しも仕事をしな かった者のうち，1)雇用者で，給料，賃金の支払いを受けてい る者又は受けることになっている者 2)自営業主で，自分の経 営する事業を持ったままで，その仕事を休み始めてから30日に ならない者。なお，家族従業者で調査期間中に少しも仕事をしな かった者は休業に含めず，完全失業者又は非労働力人口のい ずれかとしている。 労働力調査の用語（２） 完全失業者：次の3つの条件を満たす者 1)仕事がなくて調査週間中に少しも仕事をしな 失業の３条件（ILO） かった(就業者ではない) 2)仕事があればすぐ就くことができる ①without work 3)調査期間中に，仕事を探す活動や事業を始め る準備をしていた（過去の求職活動の結果を待ってい ②seeking work る場合を含む） available for work ③currently 非労働力人口：15歳以上人口で上記以外の者 労働力人口比率：15歳以上人口に占める労働力人 口の割合 ＝（労働力人口÷15歳以上人口）×１００ 完全失業率：労働力人口に占める完全失業者の割 合 ＝（完全失業者÷労働力人口）×１００ 就業状態の調べ方 労働力（actualｌ）方式 短い調査期間を限定し、その期間で就業状態を決 定する。「月末１週間で少しでも仕事をしました か？」……労働力調査、国勢調査 有業者（usual）方式 期間を限定せず、ふだんの状態で就業状態を決定 する「あなたはふだん収入になる仕事をしています か？」……就業構造基本調査 労働力調査の結果の公表 ・公表期日…………………原則として調査 月の翌月末 ・結果の刊行時期 労働力調査速報………公表時 労働力調査月報………翌々月の下旬 労働力調査年報………翌年３月 労働・雇用に関する他の月次統計 ・世帯を通じて調査するもの………………… 労働力調査（総務省） ・事業所を通じて調査するもの……………… 毎月勤労統計調査（厚生労働省） ・業務統計によるもの………………………… 職業安定業務統計（厚生労働省） 労働力調査の調査票 労働力調査の調査票（続） 失業率の数字には誤差はどのくらいある のか？（単純化された計算） 誤差には、標本誤差と非標本誤差とがある。 非標本誤差は、たとえば、誤記、集計ミス 等々であったり、統計環境の問題であったり する。 標本誤差は、標本をとって調査することによ り発生する誤差であるが、確率分布に関す る知識を使ってコントロールすることができ る。 失業率の数字には誤差はどのくらいある のか？（単純化された計算） 実際にはそうではないが、単純無作為標本抽出 （＊）を行なって、労働力人口７万人のサンプルを得 たとしよう。 そのサンプルに含まれる人数は、「失業」を「成功」と 見た場合の「二項変数」。 「失業率」は、s/n。 サンプルが大きければ、失業率p=s/nは、平均π、 2 分散π（１－π）/nの正規分布をする。 E(s) n V (s) n (1 ) E(aX ) aE( X ) V (aX ) a V ( X ) （＊）実際は、層化二段抽出。 失業率の数字には誤差はどのくらいある のか？（単純化された計算） p z N (0,1) (1 ) n Pr(1.96 z 1.96) 95% 失業率の数字には誤差はどのくらいある のか？（単純化された計算） p(1 p) p(1 p) p 1.96 p 1.96 n n P＝0.047, n＝70,000として±0.001568 の誤差を見ておけば、95％の割合で（100回 の内95回は）正しい推定になる。 0.045432 0.047 0.048568 失業率の数字には誤差はどのくらいある のか？（単純化された計算） 信頼区間の幅には、nが大きく影響する。 以上の結果から見て、4.7％でなく、4.70％ と発表することはできそうもないことがわか る。 都道府県別失業率のように、サンプルが小 さい場合、その数字の利用には注意が必要 である。 謝辞 池の魚の数を数える例は、清水誠著『推測統計 はじめの一歩』（講談社ブルーバックス、2000年） のものを使わせていただきました。 信頼区間の図示は、T.H.ウォナコット/R.J.ウォナ コット著、国府田恒夫/田中一盛/細谷雄三訳『統計 学序説』（培風館、1978年）のものです。 総務省統計局のホームページ http://www.stat.go.jp に掲載されているいくつかの素材をつかわせていた だきました。