Transcript 復習パワポ
ポテンシャル
(potential 可能性、将来性)
ポテンシャルエネルギーは、力の距離による積分で定義する。
特に、力Fがx軸方向の時、
U ( x) F ( x)dx
問題1 バネ運動で、F(x)=-kx (kはバネ定数)の時、
ポテンシャルU(x)を求めよ。
問題2 重力F(z)=-mg (z軸は上向けを正に取る)の時、
ポテンシャルU(z)を求めよ。(位置エネルギーと呼ぶ)
1
U ( x) F ( x)dx
解答
問題1
F ( x ) kx
U ( x ) F ( x )dx k xdx
k 2
x C
2
問題2
F ( z ) mg
U ( z ) F ( z )dz mg dz
mgz C
2
ポテンシャルの意味
クイズ 重い物が、
(a)床の上に置いてある時
(b)高い戸棚の上に置いてある時
のどちらが恐いか。
3
解答
クイズ 重い物が、
(a)床の上に置いてある時
(b)高い戸棚の上に置いてある時
のどちらが恐いか。
解答: (b)の方が恐い。
理由:落ちてきた時の速度が大きい。
ポテンシャルエネルギー:
高い速度を持つことができる可能性を持っている。
4
・ベクトル積(外積)
-> 後で回転に使う。
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内積(スカラー積)
教科書p.21
ベクトル A, B のなす角をθとする。
内積
A B を、
A B A B cos
と定義する。(スカラー量)
問題
A A1 , A2 , A3 , B B1 , B2 , B3
A
B
のとき、
A B A1B1 A2 B2 A3B3
を示せ。
(各自やっておいて下さい。前ではやりません。)
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内積の問題の解答
A B A B cos
A B C
2
cos
C BA
2
2
A
B
2A B
を代入。成分を入れれば、
C
( A1B1 A2 B2 A3 B3 )
cos
AB
よって
A B A1B1 A2 B2 A3 B3
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ベクトル積(外積)
ベクトル A, B
のなす角をθとする。
ベクトル積 A B
は、
教科書p.51
ベクトル A, B に垂直で、
大きさは A B A B sin
のベクトルである。
θはAからBに向けて測り、右ねじのしまる向きを
ベクトル A B
の向きとする。
問1.A
A1, A2 , A3 とB B1 , B2 , B3
AB
A
に対して、
B
AB
の成分表示
A B A2 B3 A3 B2 , A3 B1 A1B3 , A1B2 A2 B1
を示せ。
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ベクトルA,Bのなす角
angle between A and B
為す(なす)=作る、する
angle made byA and B
ふつうは、
0
B
angle = 角度
A
2つの角度のうち、小さい方を使う。
この範囲のθに対して、
sin 0
cos 0 if 0
2
0 if
2
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方向の表し方
記号を使う場合
矢の裏の
イメージ
矢の先の
イメージ
言葉を使う場合
スクリーン(紙面)
裏から表
スクリーン(紙面)
表から裏
y
z
x
x
z
y
10
方向の表し方
記号を使う場合
矢の裏の
イメージ
矢の先の
イメージ
y
x
x
z
y
z
x
z
y
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product = 積
inner product, scalar product, dot product
・スカラー積と呼ぶ理由:積の結果がスカラー(数)。
内積(スカラー積)補足
・「内積」と呼ぶ理由。
単位ベクトルとの内積は、
その単位ベクトルの方向への射影になる。
A
射影:projection
A e A e cos A cos
θ
e
内側に倒れこむ感じ
赤い部分の長さが射影
-> 内積のイメージ。
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外積(ベクトル積)補足
outer product, vector product, cross product
・「ベクトル積」と呼ぶ理由:積の結果がベクトル。
ベクトルとベクトルの掛け算
-> 数 (内積)
ベクトル(外積)
・「外積」と呼ぶ理由
2つのベクトルの作る平面に垂直になる。
外に広がるイメージ。
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成分の覚え方
A B A2 B3 A3 B2 , A3 B1 A1B3 , A1B2 A2 B1
A
1 2 3 1
③
B
①
②
1 2 3 1
①
第1成分
A2 B3 A3 B2
14
ベクトル積の問題(続き)
問2
A B B A
問3
A B C A B C
を示せ
である。
等号が成立しない例を示せ。
問4
d
dA
dB
A B B A
dt
dt
dt
を示せ
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問1の解答
A B C (C1 , C2 , C3 )
CはA,Bと直交するので、A C 0
A1C1 A2C2 A3C3 0
B1C1 B2C2 B3C3 0
C3
を消去するには、(1)x
とおく。
B C 0
(1)
(2)
-B(2)x
3
A3
( A1B3 A3 B1 )C1 ( A2 B3 A3 B2 )C2 0
C1
C2
A2 B3 A3 B2 A3 B1 A1 B3
C3
C1
A2 B3 A3 B2 A1 B2 A2 B1
よって、
C3
C1
C2
k
A2 B3 A3 B2 A3 B1 A1 B3 A1 B2 A2 B1
同様に(1)(2)からC2を消去して、
C k ( A2 B3 A3 B2 , A3 B1 A1B3 , A1B2 A2 B1 )
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問1の解答 2ページ
め
C k( A B A B , A B A B , A B
2
3
3
2
3
1
1
3
1
2
A2 B1 )
C A B sin A B (1 cos 2 )
2
2
2
2
2
2
A B ( A B) 2
2
2
( A1 A2 A3 )( B1 B2 B3 ) ( A1 B1 A2 B2 A3 B3 ) 2
2
2
2
2
2
2
A1 B2 A1 B3 A2 B1 A1 B2 A3 B1 A1 B3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 A1 A2 B1 B2 2 A2 A3 B2 B3 2 A3 A1 B3 B1
( A1 B2 A2 B1 ) 2 ( A2 B3 A3 B2 ) 2 ( A3 B1 A1 B3 ) 2
よって、
k 1
あとは右ねじが進む向きを考えて、k=1
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問1の解答 2つめの
方法
単位ベクトルを使って表す。
A A1e1 A2e 2 A3e3
B B1e1 B2e2 B3e3
A B A1e1 A2e 2 A3e3 B1e1 B2e 2 B3e3
A1 B1e1 e1 A1 B2e1 e 2 A1 B3e1 e3
A2 B1e 2 e1 A2 B2e 2 e 2 A2 B3e 2 e3
A3 B1e3 e1 A3 B2e3 e 2 A3 B3e3 e3
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問1の解答 2つめの方法 その2
ベクトル積の定義は、
ベクトル積 A B は、ベクトル A, B に垂直で、
大きさ A B sin のベクトルである。
θはAからBに向けて測り、右ねじのしまる向きを
ベクトル
A B の向きとする。
大きさが sin に比例しているので、角度0なら外積はゼロ。
同じベクトルの外積は0.
e1 e1 0
e3
また直交するベクトルの場合、sinθ=1
e1 e 2 e3
e1
e2
e 2 e1 e3
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前ページの最後の式にこれらの単位ベクトルの式を代入する。
問1の解答 2つめの方法 その3
A B A1e1 A2e 2 A3e3 B1e1 B2e 2 B3e3
A1 B1e1 e1 A1 B2e1 e 2 A1 B3e1 e3
A2 B1e 2 e1 A2 B2e 2 e 2 A2 B3e 2 e3
A3 B1e3 e1 A3 B2e3 e 2 A3 B3e3 e3
A B ( A2 B3 A3 B2 )e1 ( A3 B1 A1 B3 )e 2
( A1 B2 A2 B1 )e3
( A2 B3 A3 B2 , A3 B1 A1 B3 A1 B2 A2 B1 )
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問2の解答
問1の結果より、
A B A2 B3 A3 B2 , A3 B1 A1B3 , A1B2 A2 B1
B A
の第1成分は、
B2 A3 B3 A2 ( A2 B3 A3 B2 )
で
AB
の第1成分になっている。
他の成分についても同様。よって、
B A A B
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問2の別の解答
ベクトル積の定義は、
ベクトル
A, B のなす角をθとする。
ベクトル積 A B
は、
ベクトル A, B に垂直で、大きさ A B sin
のベクトル。
θはAからBに向けて測り、右ねじのしまる向きを
ベクトル A B
の向きとする。
AB
と
B A
を比較すると、
A
B
・なす角θは同じなので、大きさは同じ。
・
から
に右ねじをしめた時と、
A
B
よって
B
から A
に右ねじをしめた時では、しまる方向が逆。
B A A B
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問3の解答A B C A B C
反例を示す。
例えば、A, B
が平行だとすると、
A B 0 で左辺は0.
しかし右辺はゼロでない。
B
C
A
成分で書くと、
A (1,0,0), B (2,0,0), C (0,1,0)
A B C (0,0,0)
A B (0,0,0)
A B C (0,2,0)
B C (0,0,2)
よって
A B C A B C
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問4の解答
d
dA
dB
A B B A
dt
dt
dt
を示せ
左辺の第1成分は、
d
d
A B 1 A2 B3 A3 B2
dt
dt
dB3 dA3
dA2
dB2
B3 A2
B2 A3
dt
dt
dt
dt
dA3 dB3
dB2
dA2
B3
B2 A2
A3
dt
dt
dt
dt
dB
dA
B A
dt 1
dt
1
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回転の話
・回転と人体
・回転のベクトル
・回転角速度と速度の関係
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回転と人体
人間は回転をどこで感じるか?
内耳で感じる。
耳がやられると、目まいがする。平衡感覚がおかしくなる。
三半規管
半円状の器官が、
垂直な面上にある。
中にリンパ液が入っている。
流れが変わると、半規管中の
感覚毛が感知して、神経を通して
脳に信号が行く。
26
角速度ベクトル
回転を表すベクトル
オメガ
大きさは、角速度。
単位時間に回った角度。
単位は、ラジアン/秒
rad/s
方向は、回転面に垂直
向きは右ねじが進む方向
回転ベクトルの向きに注意。
日常会話の「回転の方向」と
ベクトルの向きは違う。
問題:地球の自転の角速度ベクトルの
方向を図示せよ。理由も述べよ。
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