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次にやりたいこと。
固体原子
＋
自由電子
->
？
＋
格子と逆格子
ブリルアンゾーン
格子振動
金属中の電子
Ψ=exp(ikx)の波 E
2k 2
Ek 
2m
k
0
1
周期ポテンシャル中の電子
周期ポテンシャルU(x)=U(x+a)
の中の電子を考える。
既に見たように、周期関数のフーリエ変換は逆格子ベクトルでのみ値を持つ。
U(x)  UGe
iGx
G
問題１：ポテンシャルU(x)中の電子の波動関数をΨ,
エネルギーをΕとする時、シュレディンガー方程式を書け。
問題２：波動関数Ψのフーリエ変換を
Ψ(x)  c(k ) e
ikx
いろいろな波数の
進行波の重ね合わせ
k
と書く。周期的境界条件により、k=２πn/L
これらをシュレディンガー方程式に代入して、以下を示せ。
(k  )c(k )  UGc(k  G)  0
G
2k 2
k 
2m
2
周期ポテンシャル中の電子：基本方程式
2k 2
k 
2m
(k  )c(k )  UGc(k  G)  0
G
Ψ(x)  c(k ) e
ikx
U(x)  UGeiGx
G
k
波動関数の係数c(k) に関する連立方程式になっている。
自由電子を基本として、周期ポテンシャルの影響で
どう変わるかを考える。
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周期ポテンシャル中の電子：基本方程式
(k  )c(k )  UG'c(k  G' )  0
G'
Ψ(x)  c(k ) e
k
ikx
U(x)  UG'eiG'x
G'
2k 2
k 
2m
Gは逆格子ベクトル
波動関数の係数c(k) に関する連立方程式になっている。
問題１ ポテンシャルU=0の場合、基本方程式はどうなるか？
（空格子近似という）
問題２ ポテンシャルが弱い場合を考える。
第１ブリルアンゾーンの境界k=G/2=π/aにおいて、
基本方程式を考える。
C(G/2), C(-G/2) 以外のCはゼロとする。
また、U G=U -G=U以外のUG’はゼロとする。
そこからエネルギーEの２つの根を求めて、
エネルギーギャップを出せ。
問題３ 問題２の場合の、波動関数を求めよ。
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(k  )c(k )  UGc(k  G)  0
回答
G
Ψ(x)  c(k ) e
ikx
k
U(x)  UGeiGx
G
2k 2
k 
2m
Gは逆格子ベクトル
問題１ ポテンシャルU=0の場合、 (k  )c(k )  0
c(k)が0でない場合、E=λ（自由電子）。
問題２ ポテンシャルが弱い場合。
（λーE）c(G/2)+Uc(-G/2)=0
(λ-E)c(-G/2)+Uc(G/2)=0
cがゼロでない解を持つためには、
2
2
 1 
(λ-E)2 = U2 よって、
E   U 
 G  U
2m  2 
エネルギーギャップは2Uになる。
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