Transcript シミュレーションモデル
第2章 シミュレーションモデル 2.1 2.2 2.3 2.4 モデリング モデリングの手順 モデルの分類 確率モデル モンテカルロ法，乱数 2.5 ゲーミングシミュレーション 2.6 統計的モデリング 線形⇔非線形，静的⇔動的 で分類 回帰分析，時系列分析，ニューラルネットワーク 030928 061204 1 モデリングの説明図 対 象 対象を 抽象化 して 写像 対 象 モデル Mapping 制 御 （政策） 031003 制 御 モデル 2 Modeling 抽象化 現実の世界 写像 Mapping モデルの世界 現実の中からどれだけ必要な課題や情報を取り出して， システム構築に生かすかは，技術者・SEの力量に依存。 060924 3 モデリングの用途 シミュレーション システム工学 ビジュアル化 ソフトウエア 分 モデリング (思考方法) 析 広 告 経 営 文章作成 計算機制御 大規模システム の計画 060924 4 SEでもMappingが重要 USER 要求分析 写像 Mapping 逆写像 要求者 おまけ060924 MAKER 技術 提供者 Systems Engineering 5 2.2 モデリングの手順 構造決定 --- 要因間の結合関係の分析/同定 y = f (x1, x2, …) 因子分析法，主成分分析法，多次元尺度法， KJ法，ISM法，DEMATEL法 関数関係の決定--- 変数間の関係を記述 y = f (a, b, c, …, x1, x2, …) 静的モデル，動的モデル 030929 6 2.3 モデルの分類 システムの対象 一般的に使用 される シミュレーション モデル 自然現象・物 ミクロ 連続 動的 (アナログ 060924 社会現象 マクロ 離散 （静的 デジタル， ） ハイブリッド 構造 動的） デジタル 7 １次モデル ⇔ ２次モデル １次モデル：理論の基礎的な法則（公理）の対象となる もの。 例：Newton力学の３つの公理の適用を受ける質点， 万有引力，生物学でのワトソン・クリックのDNAモデル ２次モデル：現実の世界と理論の世界を橋渡しをする重 要な要素だけに注目し，重要でない要素を省いた一つ の近似的な理念上のモデル。 理論の適用を容易にする。 別に，相補的，対立的な ２次モデルが併存する。 伊藤敏朗（三菱電機）：製品開発の創造的発想法 060930 8 2.4 確率的モデル モンテカルロ法 Monte Carlo Method 一様乱数 確率分布 Πの求め方 ｎ N y N p(x, y) n x 060930 確率分布に従った乱数 逆変換法 ≒ Π ４ N: 正方形の中の数 n: ４分円の中の数 n: 一様乱数の中で x2 + y2 ≦ 1 を満たすもの 9 Monte Carlo Method 一様乱数の発生 擬似乱数 pseudo random number ・平方採中法 mid square method Von Neumann考案。欠点：どこかで 0 に帰着。 乱数列の同期がはっきりしない。 ・合同法 乗算合同法 Multiplicative congruential method ni+1 = a ni (mod m) 混合合同法 Mixed congruential method ni+1 = a ni + c (mod m) 031003 10 乱数の検定 等確率性 と 無規則性 ⇒ x2検定 検定の考え方 統計的仮説検定： ある仮説の下で，きわめてまれにしか 起こらない事柄が，１回の統計的実験で起こるか・起こらない かによって，その仮説を採用するか・棄却するかを決める方 法。 帰無仮説： 仮説を棄てる（無効にする）べきか・どうかのテ ストをするための仮説。 有意水準または危険率α： 仮説が正しいにもかかわらず， 仮説を棄ててしまう確率。仮説が正しい確率，つまりその仮説 を採用することに対する信頼度は (1-α)である。 031003 11 検定の例 小学校のクラスで忘れ物をする 生徒の数は曜日に関係があるか？ 理論度数と観測度数との距離が 許容し得るものかどうかを検定 「忘れ物をする生徒の数は曜日に関 係ない」との仮説は危険率 5% で 棄て られる。⇒「曜日と関係ある」と断定。 061001 12 等確率性の検定(1) コンピュータで発生させた一様乱数は，等確率性が保証 されるか? 区間(0, 1)を m個の小区間に分割し，乱数がどの小区間 に属するかをカウントする。 発生させた乱数が「区間(0, 1)に等しい確率で現れる」と いう性質から，それぞれの小区間に現れる乱数の個数 は，小区間の大きさに比例しなくてはならない。すなわち， N個の乱数を発生させたとき，各小区間にカウントされる Fi(理論度数)は，小区間の幅をDi とすれば，次式でなく てはならない。 061001 13 等確率性の検定(2) ところが， は，理論度数 Fi がある程度以上大きければ，近似的に自由度 m-1(小区間の数から１を引いたもの)のχ２分布に従う。そこで， 危険率αを定めて，χ２の値が，自由度 m-1のχ２分布において となる値より大きかどうかによって，乱数の等確率性を判定する。 χ２ ＞χ０２ ならば，「等確率である」 との仮説を棄てる。 χ２ ≦χ０２ ならば，等確率性を認める。 061001 14 確率分布に従った乱数 031003 15 2.5 Gaming simulation (1) 競合的なゲームの様相をモデルに組込み，プレーヤの戦略 （strategy）の最適性を吟味するシミュレーション ゲーム理論 (theory of game) 競合状態における意思決定行動を単純化し，抽象化した数 学的モデルとして扱うもの。 1944年 von Neumann と Morgensternが体系化。 ゲーム理論の中では，2人ゲーム (two person game) が基本 2人ゼロ和ゲーム (zero-sum game) 2人のプレーヤの損得の和がゼロとなる場合。 プレーヤA，Bの戦略と利得行列 (payoff matrix) [次ページ] 061009 16 Gaming simulation (2) 031003 17 Gaming simulation (3) ミニマックス原理の解をミニマックス 解という。 両プレイヤのミニマックス解が等し いとき，この点を鞍点(Saddle point) という。両プレイヤは，それぞれの 戦略をミニマックス解から動かすと 損をするので，戦略を固定する。戦 略が１個所に決まる場合を純粋戦 略という。 ２人ゼロ和ゲームで鞍点のない場合 いくつかの戦略を確率的にとる混合戦略を考えねばならない。 定式化すると，線形計画問題となり，容易に解ける。 061016 18 Gaming simulation (4) 2人非ゼロ和ゲーム (non zero-sum game) ゲームの結果について両プレーヤの選好が完全に対立してい るわけではない －談合可能(negotiable)なゲーム －談合不可能(non-negotiable)なゲーム 実用的なゲーミング シミュレーション ・ 戦争ゲーム： 戦闘状況を表すモデルを用いて，モンテカルロ 法で，敵味方の損害や勝敗を統計的に推論する。 ・ マネージメントゲーム： ビジネスゲーム，在庫管理ゲーム， 人員配置ゲームなどがある。短期間で実験的に経営を行って， 意思決定問題を体験的に学ぶ。 061016 19 2.6 統計的モデリング モデル作成 入出力（U, y) の実 データから対象特性 の数式モデル作成 入力 ? Black box 静的 static 動的 dynamic 回帰分析 自己回帰法 線形 回帰分析は 別pｐｔに 対象 U 構造 時間 y 出力 Neural network 非線形 GMDH Group method of data handling 031023 AR model MA model ARMA model Volterra series expression 20 自己回帰法 ARMAモデル 031023 21 自己回帰法 -- 031020 線形・動的対象 22 モデル次数の決定法 (1) 線形モデルの次数の決定法 ・FPE(Final Prediction error) ・AIC基準(Akaike information criteria) (2) 非線形モデルの階層構造の自動決定法 ・GMDH(Group Method of Data Handling) 031020 23 線形モデルの次数の決定法 FPE: Final Prediction Error AIC: Akaike Information Criterion 24 GMDH -- 031201 非線形・静的対象 25 海洋汚染 2次汚濁モデル エコロジーモデル 2次汚濁モデル 富栄養化，赤潮現象 ・非線形 ･複雑（多変数） ・構造不明確 031201 回帰モデル 統計モデル GMDHモデル 26 Group Method of Data Handling 031023 27 統計分析の試み 031024 28 2次汚濁予測モデル適用例 031024 29 Volterra series expansion 非線形 動的 モデリング法 0310 30 ニューラルネットワークの概要 情報処理機能 に着目 脳 モデル化 形 式 ニ ュ ー ロ ン x1 t x2 t x j t 軸索 細胞体 樹状突起 f x 1 i wij 平成9年度修士論文発 表会（鈴木）031201 シナプス 結合係数 （結合の強さ） wi1 wi 2 生 体 ニ ュ ー ロ ン yi t 1 f x yi t 1 f x j wij i j 1 1 ex 0.5 0 x シグモイド関数 31 階層型ニューラルネットワークの構造 特徴 •入力層，出力層が一つと複数の中間層 •すべてのニューロンが順方向に結合 用途 •パターン認識 •関数近似 など 入出力関係の写像を求める（モデリング） 入 力 層 中 間 層 平成9年度修士論文発 表会（鈴木） 出 力 層 利用 ・学習 ・予測（評価） 061204 32 階層型ニューラルネットワークの利用法 学習 ネットワークに望ましい入出力関係をもたせるために， 各ニューロン間の結合係数を調整する。（モデルの構築） 予測 学習の結果得られた結合係数に基づいて，入力データ に対する未知の出力データを計算すること。（モデルの評価） ※ 未知 … 学習に用いられていないデータのこと 平成9年度修士論文発 表会（鈴木） 33 階層型ニューラルネットワークの学習 バックプロパゲーション法 1. ネットワークの順方向に情報を伝播 ŷ p xp w ネットワークに 出力してほしい値 教師信号 yp 2. 誤差 E p w 1 ŷ p y p 2 2 を計算 ※ 結合係数 w の修正は，最急降下法を用いる 3. 誤差 E p w を最小化する方向に 結合係数 w を逆向きに修正する 平成9年度修士論文発 表会（鈴木） wt 1 wt E p w w t ：結合係数の更新回数 34 中断を含む習熟過程のNNによる予測 別のppt Cross Validation 使用。参考に 091207 35 目的による多変量解析法の分類 031020 36 第2章 Key words 確率的モデリング: Monte Carlo法，逆変換法 統計的モデリング: 構造 vs 係数値 線形/非線形，static/dynamic 回帰分析，時系列分析，Neural Network モデルの評価 ■標本で： 散布図，統計量，単相関，偏相関，t 値， 多重共線性，残差平方和 ■妥当性（母集団）評価： 重相関，散布図，FPE, AIC, Cross validation， Teaching(教師) data/checking data 031221 37