Transcript 共分散構造分析：同値モデルと 道具的変数法，高次モーメントの使用

共分散構造分析と同値モデル
前川研ＰＤ
村山 航
Contents

SEM 入門

同値モデルについて




Stelzl (1986)
Mayekawa (1994)
Lee & Hershberger (1990)
Raykov & Penev (1999)
共分散構造分析 (structural equation
適合度
model; SEM) とは
パス図（モデル）
χ2(1) = 0.041
RMSEA = 0.00
SRMR = 0.003
a21 =
0.43**
睡眠時間
x1
分散共分散行列
（データ）
疲労感
x2
a32 =
6.27**
業績
x3
疲労
業績
睡眠
睡眠
4.64
疲労
業績
2.00
12.1
3.24
20.3
466.2
N = 252
解の推定メカニズム（１）

変数の測定方程式をモデルから立てる

内生変数を外生変数によって表現
解の推定メカニズム（２）

モデルの分散・共分散を母数で構造化
解の推定メカニズム（３）

標本分散・共分散にもっとも近づくように，母数を
推定する（最尤法などで）
⇒
５つのパラメータに対し６つ
の方程式 ⇒ 自由度１
推定結果
標本分散・共分散行列と非常に近い
⇒ モデルへの適合がよい
一般的表現（RAM)
とする。
すると
となる。すなわち
このとき，v の共分散構造は
あとは，
⇒
ただし
として最適化
：観測変数
：外生的潜在変数
：内生的潜在変数
：潜在変数の誤差
：観測変数の誤差
補足事項

SEM では観測されない変数（潜在変数）を扱うこともで
きる。
知能
社交性
数唱

迷路
語彙
友人
外向
笑顔
共分散行列ではなく，相関行列を分散共分散行列とみ
なして分析もできる
睡眠 疲労 業績
※ 標準誤差などの推定が
不正確になることがある
睡眠
1
疲労
0.52
1
業績
0.26
0.52
1
共分散構造分析の強み

適合度に基づいたモデル間比較ができる
意欲
意欲
努力
成績
意欲 努力
1
0.56
1
0.19 0.38
努力
成績
成績
Which is better?
（相関行列からも推測可能）
1
努力
意欲
成績
Plausible な因果モデルをデー
タから選ぶことができる！？
Contents

SEM 入門

同値モデルについて




Stelzl (1986)
Mayekawa (1994)
Lee & Hershberger (1990)
Raykov & Penev (1999)
同値モデル (equivalent model)とは

異なるモデルであるにも関わらず，適合度がまっ
たく同じであるモデル：２つのタイプ



ある特定のデータにのみ同値になるモデル群
どのようなデータに対しても同値になるモデル群：以
後はこちらを扱う
データの情報だけではモデルの違いを識別でき
ない，ということ。
具体例（１）

２変数の場合

“相関は因果関係を意味しない”をＳＥＭで
解消できる？
意欲
成績
意欲
成績
どちらも適合はパー
フェクト。
統計的にどちらがよ
いかを区別できない
同値モデル
具体例（２）

３変数の場合
a21 =
0.43**
睡眠時間
x1
疲労感
x2
a32 =
6.27**
χ2(1) = 0.041
業績
x3
同値モデル
睡眠時間
疲労感
x1
x2
a12 =
0.62**
a32 =
6.27**
業績
x3
χ2(1) = 0.041
“寝ていないから疲れて業績が悪い”のか“疲れてい
るから寝ていないし業績も悪い”のか区別できない
飽和モデル

飽和モデル (saturated model)


モデル上のどの２変数も直接のパスでつながっている。
飽和モデルは常に完全フィットを示す：同値モデル
A
A
C
B
A
C
B
C
B
（重回帰モデル）
同値モデルのインパクト




研究者が立てた因果モデルとまったく同じ程度
plausible なモデルが他にもある可能性
こうしたモデルは，まったく因果の方向が逆かもし
れない (for a review, MacCallum et al., 1993)
モデル構築時に，どのような同値モデルがあるの
か，その上でなぜこのようなモデルにするのかを
説得的に示す必要性
“SEMは因果モデルか”：同値モデルの可能性をす
べて排除した上ならば，ある程度因果は主張可能。
同値モデルの見つけ方

基本的な方法の提唱


より包括的・分かりやすい方法を提唱



Stelzl (1986)
Lee & Hershberger (1990), Hershberger (1994)
Mayekawa (1994)
同値モデルかどうかの判別方法を提案

Raykov & Penev (1999)
Stelzl (1986) の方法


逐次 (recursive) モデルにのみ適用可能
基本的なアイディア




SEM のモデル構築は“パスを引かない”制約を置くこと
“パスを引かない”ということは，その変数間の偏相関
係数を０と制約したことと等しい
従って，パスがない変数間の偏相関の構造を壊さない
モデルはすべて等値モデルである
準備：パスモデルを以下の形で表現



全変数を（逐次モデルの）上位－下位の順に並べる
パスがない変数間には線を引く
（ほぼ）すべての逐次モデルはこの形で表現可能
例
A
元モデル
Stelzl の
表現
B
E
C
A
D
B
C
D
E
同値モデル作成のルール

Rule I



パスのない結果変数を境に“境界”を引く
境界で区切られたブロック「内」で変数を入れ替えると，
同値モデルができる（交換可能である）
境界をまたがないなら，線でつながる変数は交換可能
交換可能
A
交換「不可能」
B… E… I… K……
変数交換可能
P…
V
変数交換可能 変数交換可能
例１
A
A
B
C
D
B
E
C
C
B
A
D
E
E
A
D
B
C
E
D
例２
A
A
B
C
D
B
E
C
A
D
C
B
E
E
A
D
D
C
E
B

Rule II

A
ある隣接する変数が，同一の変数（群）から
“パスがない”とき，その隣接変数は交換可能
B… E… I… M
N… …V
変数交換可能
例
A
A
B
C
D
B
E
C
A
B
C
E
E
D
A
D
B
C
D
E
その他のルール（今回は例なし）

Rule III



ある変数 M がそれより上位のすべての変数からパスを
受けているとき
上位のある変数 E からのパスを除去し，代わりに E と
M に誤差相関を仮定しても等価モデルである
Rule IV


ある隣接する変数 M と N がある（M が上位）。
N にパスがない変数すべてが，M にもパスがないとき，
M と N の間のパスを除去し，変わりに M と N に誤差
相関を仮定しても等価モデルである。
まとめと限界

逐次モデルで等価モデルを生成するためのルー
ルを，偏相関の観点からはじめて整理して提唱
なお，これらのルールは生成された新たなモデル
に繰り返し適用可能（以降のルールも同様）
潜在変数間の関係にも適用可能
必要条件ではないが十分条件

難点





かなり分かりにくい：ランクの変更という形でモデル生成
パスが複雑になるほど適用の難しさが増す
Mayekawa, Hershberger のルールへ
Mayekawa (1994) の方法

パス図そのものから同値モデルを簡易に見つける
方法を提唱
逐次モデルで誤差相関がない場合のみ適用可能

２つの鍵概念



Exogenous set of variables (EXSV)：その群内ではお互
いにパスが引かれているが，群外からはパスが入ってこ
ない変数群。外生変数群
Symmetric set of endogenous variables (SSENV)：群
内のどの変数も，群外の同じ変数（のセット）からパスを
受けている変数群。


例
EXSV
A
B
C
D
SSENV
Rule

EXSV，もしくは SSENV 内でパスを入れ替えて
同値モデルを作成する。その新たな EXSV,
SSENV をもとの変数群と置き換えると，全体
のモデルも同値モデルのままになる。
具体例
残り２つは各自で
オリジナル
1
1
2
2
5
5
3
4
3
4
1
2
1
2
EXSV
5
5
3
4
3
4
３変数の場合
４変数の場合（１）
４変数の場合（２）
４変数の場合（３）
４変数の場合（４）
まとめ





適用が容易で分かりやすいルール
双方向矢印（相関）がある場合は，片側矢
印に置き換えてから
潜在変数間の関係にも適用可能
繰り返しの適用が可能
Stelzl (1986) の rule I, rule II を包括


Rule I: EXSV, SSENV で説明可能
Rule II: SSENV で説明可能
Lee & Hershberegr (1990) の方法

非逐次モデルにも適用可能：Limited block
recursiveness のもとで有効




パス図を先行ブロック，焦点ブロック，後続ブロックの
３つのブロックに分ける（先行もしくは後続ブロックは
なくてもよい）
ブロック間は逐次モデルである必要性
焦点ブロック内は逐次モデルである必要性
残りの部分は非逐次モデルでも構わない
e
基本ルール
X
P
e
Q

Y
“Replacing rule”




R
焦点ブロックに適用
「X -> Y のパスがあるとき，Y に影響を与える
変数が X に影響を与える変数を包括している
か同じとき，X と Y の直接パスを誤差相関に
置き換えても同値モデルになる。」
その逆も適用可能（誤差相関を直接のパスに
置き換える）。
繰り返しの適用が可能
重要な派生ルール

Replacing rule より導かれる，重要な派生ルール

焦点ブロックにおいて，Y に影響を与えている変数が，X
に影響を与えている変数と同じとき，X と Y の間のパス
は向きを変えても全体モデルが同値モデルになる。


X -> Y を誤差相関に置き換えてさらに replacing rule を適用
先行ブロック（他の変数群からのパスがない変数群）が飽
和モデル (just identification block; JID block) のとき，
その先行ブロックのどのパスを入れ替えても，もしくは誤
差相関に置き換えても，全体モデルが同値モデルになる

先行ブロックを焦点ブロックとみなす。JID ブロックの変数はどの
変数からもパスがないので，replacing rule が適用可能になる。
例
Locke et al. (1984)
７に影響を与えている変数が６
に影響を与えている変数を包
括している（≠同じ）ので，誤差
相関に置き換え可能。ただし，
パスの向きは変えられない
1
3
4
5
6
2
JID なので，パス
の向きを変更可能
同じ変数群からパスを受
けているので，パスの向き
が変更可能（もしくは誤差
相関に置き換え可能）
7
まとめ





シンプルで非逐次モデルにも適用可能なルール
Stelzl (1986) のルールを包括している
Mayekawa (1994) のルールも包括？
潜在変数間の関係にも適用可能
Hershberger (1994)：因子分析モデルにおける
reversed indicator rule を提唱（今回は扱わない）
Raykov & Penev (1999) の方法

同値モデルである必要十分条件を記述
基本的に，同値モデルを生成するルールではない
２つのモデルが同値モデルかを判別するのに便利

Luijben (1991) も必要十分条件を提唱




しかし，ヤコビアン行列を計算する必要があり，面倒くさい
Raykov の方法の方が，より計算しやすい（それでも面倒
だが）。

Rule の概略

モデル１とモデル２がある。モデル１のパラ
メータからモデル２のパラメータを一意に求め
る関数 g が存在するとき，この２つのモデル
は同値モデルである。
例
e3
e2
Model 1
睡眠時間
x1
a21
疲労感
x2
a32
業績
x3
Model 2
睡眠時間
x1
e*1
a*12
疲労感
x2
a*32
業績
x3
e*3
Model 1 と Model 2 は同値モデルか?（we expect they are)
Model 1 と ２ の構造方程式
と置いて，モデル１のパラメータをモデル
２のパラメータ変換で表現できるか（もしく
はその逆）をチェック
結果
Model 1 のパラメータが，
Model 2 のパラメータで一
意に表現できた！
Model 1 のパラメータを知
るだけで，Model 2 のパラ
メータを知ることができる
Model 1 と Model 2 は同値
モデル
まとめ



同値モデルを判別する方法を提供
同値モデルの生成には向かない（不可能
ではないけれど，，，）
計算は，やはり意外に大変
総合考察

同値モデルの検討は非常に重要


現在のパスモデルと同じくらい説得的なモデルが存在
することになる。
同値モデルに対処するには




先見的な知識・理論
道具的変数の利用
次のスライドで説明
高次のモーメントの使用
Rakov (1997)：多母集団分析で集団間に等値制約を課
すと，等値モデルでも適合度に違いが出ることを示す
参考文献




Hershberger, S. L. The specification of equivalent models
before the collection of data. In A. Von Eye and C. C.
Clogg (Eds.), Latent variables analysis (pp. 68-108).
Thousand Oaks, CA: Sage.
Lee, S. & Hershberger, S. L. (1990). A simple rule for
generating equivalent models in covariance structure
modeling. Multivariate Behavioral Research, 25, 313-334.
Luijben, T. C. W. (1991). Equivalent models in covariance
structure analysis. Psychometrika, 56, 653-665.
MacCallum, R. C., Wegener, D. T., Uchino, B. N., &
Fabrigar, L. R. (1993). The problem of equivalent models
in applications of covariance structure analysis.
Psychological Bulletin, 114, 185-199.




Mayekawa, S. (1994). Equivalent path models in
linear structural equation models. Behaviormetrika,
21, 79-96.
Rakov, T. (1997). Equivalent structural equation
models and group equality constraints. Multivariate
Behavioral Research, 32, 95-104.
Rakov, T. & Penev, S. (1999). On structural equation
model equivalence. Multivariate Behavioral Research,
34, 199-244.
Stelzl, I. (1986). Changing a causal hypothesis
without changing the fit: Some rules for generating
equivalent path models. Multivariate Behavioral
Research, 21, 309-331.