Transcript 陰関数と変数変換

2006. 11. 14
Ibaraki Univ. Dept of Electrical & Electronic Eng.
Keiichi MIYAJIMA
陰関数と変数変換
陰関数とは？
陰関数の例：
通常与えられる関数の
形：
x y R
2
2
2
y について解く
y R x
2
2
y R x
2
2
注） この例のように一意に定
まらない場合がある。
間接的に与えられることがある
陰関数
陰関数を使って何をしたいか？
通常与えられる関数の
形：
x y R
2
2
この関数の
2
dy
を求めたい
dx
どうしたらよいか？
陰関数定理
F ( x, y ) は領域 D において C 1 であるとし、D の点(a, b)
において
F (a, b)  0, Fy (a, b)  0
が成り立っているとする。 このとき a を含む
ある区間 ( ,  ) において
 F ( x, y ( x))  0

 y (a)  b
を満たす連続関数 y (x) がただ一つ定まる。この y (x)
は微分可能となり、その導関数は
Fx ( x, y( x))
dy

dx
Fy ( x, y( x))
陰関数定理
陰関数定理は実際には下の形で応用される場合
が多い。
dy
Fx ( x, y ( x))  Fy ( x, y ( x))   0
dx
これを dy について解いて
dx
Fx ( x, y( x))
dy

dx
Fy ( x, y( x))
ここは x による合成
関数の微分になって
いることに注意！
の形に直す
例6.4 （p.136）
y  x  x で与えられる曲線の、(1, 2 )における
接線の方程式を求めよ。
2
3
2
解答例：
y 2 ( x)  x 3  x 2  0, y(1)  2 で定まる陰関数を考える。
上式を x で微分すると
y ( x)  x  x  0
2
この部分は合成関数の
微分
3
2
2 y( x) y( x)  3x 2  2 x  0
例6.4 （p.136）
2 y( x) y( x)  3x 2  2 x  0
よって
今
3x  2 x
y( x) 
2 y ( x)
2
y (x) は
y ( x)  x  x
3
2
なので
これに x  1, y (1)  2 を代入すると
3 1  2 1
5
y(1) 

2 2
2 2
例6.4 （p.136）
従って、求める接線の方程式は
y 2 
5
2 2
( x  1)
y
2
0
1
x
y 2  x3  x 2
変数変換
なぜ変数変換を考えるのか？
y
x2  y 2  R2
0
x
このような関数の積分を考えたい
変数変換
y
x2  y2  r 2
0
x
この方法では効率が悪い。
変数変換
y
x2  y2  r 2
0
x
こちらの法が積分しやすい。
X-Y座標を極座標に変換するに
は？
変数変換
 x  r cos 
まず 
と置く
 y  r sin 
y
y
r

0
x
x
すると ( x, y ) は ( x(r , ), y(r , )) と考えることが出来る
変数変換
定理6.4より
x
x
(r ,  )
(r , )
r

y
y
(r , )
(r , )
r

0
のとき、変数変換することが出来る。
x
x
(r ,  )
(r , )
r

y
y
(r , )
(r , )
r

の部分をヤコビアンという
注意！
（念のために）
行列と行列式を間違えないこと！！
x
 x

(r ,  ) 
 (r , )

 r

 y (r , ) y (r , ) 

 r

行列
行列式は
x
x
(r ,  )
(r , )
r

y
y
(r , )
(r , )
r

行列式
a b
 ad  bc
c d
と計算する
変数変換後の偏微分
合成関数の偏微分（p.127式(6.13)）より
f ( x(r , ), y(r , )) の偏微分は
 f f x f y
 r  x  r  y  r
 f f x f y
    
  x  y 
となる。これを、行列の形に書き直すと
変数変換後の偏微分
 f

 r
f   f
  
   x
 x


f r

y  y

 r
x 

 
y 

 
となる。ヤコビアンが0と異なるとき、右辺の
行列式は逆行列を持つので
 f

 x
f   f
  
y   r
 x
f  r
 y
 

 r
x 

 
y 

 
1
変数変換後の偏微分
従って、極座標変換後の偏微分は
1
 x x 
1


 cos   r sin  

r



  

 y y 
 sin  r cos  
 r  
cos   r sin 
 r cos 2   r sin 2   r
sin  r cos 
より、
 f

 x
f   f
  
y   r
f  1  r cos  r sin  

 
  r   sin  cos  
変数変換後の偏微分
よって、
f sin 
 f f
 x  r cos     r
 f f
f cos 
  sin   
 y r
 r
と言う形になる。
（この変換は後に行う重積分や電磁気学・ベクトル解析の
中に出てくる面積分で頻繁に用いられる。）
本日のまとめ
x  y  R のような形で与えられる関数について
2
2
2
• 微分したいとき
陰関数定理
• 積分したいとき
変数変換
本日の課題
2
2
 4 2
x y
(1)
  1 について点 1, 3  における接線を求めよ


9 4
(2) 教科書p.141 問２
(注) ２階偏微分について
 2 f   f 
  
2
x
x  x  この部分を新たに ととれば
F


 sin 
 F  F cos   F
x
r

r
  f 
  f  sin 
   cos    
r  x 
  x  r