Transcript 調和振動子

1次元調和振動子
中心からの距離の2乗に比例する引力を受けて運動する
質量のm物体の運動
平衡点を中心とした振動
結晶格子を構成する粒子の格子点付近の振動
その他，平衡点付近の振動運動をする量子力学系の
のスタンダード
原子核の中で核子が感じる一体場
学んでほしい事
シュレディンガー方程式の解き方（特に）
漸近形
ベキ級数による解
解が発散しないための条件は？
1

エネルギー固有値が  n   となり，
2

等間隔の離散的エネルギー固有値になること
ゼロ点エネルギーは
エルミートの多項式
1
 であること
2
力 ：
F   kx
ポテンシャル V ( x ) 
ハミルトニアン
シュレディンガー方程式
このシュレディンガー方程式を解こう
1 2
kx
2
変数変換
を満足する，
有限な波動関数を求めよう。
波動関数の漸近形
x   即ち    での波動関数の形
上の式で    のとき    2 は  は定数だから
   2   2 と考えてよい。
従って，上の式は    では
としてみよう。そうすると，
となる。
ここで  は十分大きいので 4 2 2 に対して 2 は無視
2
を比較すると 4  1 即ち   
この式と
従って  
1
 2
e 2
しかしながら  
と  
1
 2
e 2 は
  
1
となる。
2
1
 2
e 2
   で発散するので不適当
1
 2
e 2
 ( ) 
1
 2
u( )e 2
を満足する，
有限な波動関数を求めよう。
とおこう。 この式を上の式に代入する。
を代入すると
 ( ) 
1
 2
u( )e 2
とおいた時に ( ) が
を満たすためには u(x ) は
を満たさなければならない。この u( ) をベキ級数で求めよう。
とおく。
を用いると
この式は恒等式，即ちξの値がいくつであっても成り立たなければ
ならない。
 0，1，  2，  3， の係数がそれぞれ０でなければならない。
だから
発散してしまう
エネルギーは等間隔の離散的エネルギー固有値になる
まとめると