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【
第五講義
】 アトラクタとリアプノフ
指数
【 前回 の 復習 】
【 質問 】 縮小写像 の 定義 を 述 べよ. 【 回答 】 リプシッツ 定数 の 大 きさが1よりも 小 さい. 【 質問 】 線形写像 f : x |→Ax が 縮小写像 であるとき, 満足 する 条件 を 求 めよ. 【 回答 】 ||A||<1 . 【 質問 】 z=exp(x 2 +y 2 ) の 点 (x,y)=(a,b) における 接平面 を 求 めよ. 【 回答 】 法線 ベクトルは, (2aexp(a 2 +b 2 ), 2bexp(a 2 +b 2 ),-1).
【 質問 】 2 次元写像 の 安定周期軌道 の 定義 を 述 べよ. 【 回答 】 特性乗数 の 大 きさが 二 つとも1よりも 小 さい. 【 質問 】 2 次元写像 のサドル 型周期軌道 の 定義 を 述 べよ. 【 回答 】 特性乗数 の 大 きさが 一 つは1より 大 きく, 一 つは1よりも 小 さい.
【 安定多様体 と 不安定多様体 】
【 定義 : 不安定多様体 】 2 次元可微分同相写像 p を 含 む 領域 U p 上 の 像 の 合併 は, f において, サドルノ ー ド p が 存在 する 場合 , W u = cl{U p } ∩ f cl{U p } ∩ f 2 cl{U p } ∩ f 3 cl{U p } ∩ …….. 不安定多様体 とよばれる. U p f 2 U p fU p 不安定多様体 は, 不安定固有空間 に 接 し,その 外部 への 延長 となる. 【 質問 】 同様 に 安定多様体 W s ∩cl{ U p } を 定義 せよ .
【 馬蹄写像 の 多様体 】
【 定義 : 馬蹄写像 】 F : x [0,1] × [0,1] → R 2 【 定義 : 不変集合 】 L={ x [0,1] × [0,1] : F n x [0,1] × [0,1] for n Z } 10 11 V 1 01 00 V 0
V
0 00 01 11 10
Cantor
集合 ×
[0,1] V
1
【 馬蹄力学系 】
【 定義 : 馬蹄力学系 の 不変集合 】 L =
Cantor
集合 ×
Cantor
集合 【 定義 : 馬蹄力学系 と 記号力学系 】 L の 元 を s =
….s
-3 s -2 s -1 . s 0 s 1 s 2 ….
∈ S 2 でコ ー デングすることで, 馬蹄力学系 ( L ,F) は 記号力学系 ( S 2 , F ) と 位相共役 となる. したがって, 馬蹄力学系 の 不変集合 L は,カオス 的不変集合 の 特性 ○ 加算個 の 周期軌道 が 存在 し,その 全体 は Λ 上 で 稠密 . ○ 非加算個 の 非周期軌道 が 存在 する. ○ 稠密 な 軌道 が 存在 する. ○ 乱雑 な 軌道 が 存在 する. を 満足 する.
【 不変集合上 の 接 バンドル】
n 周期点 の 接空間 は, n 個 しか 存在 しないが, 準周期軌道 あるいは 非周期軌道 の 接空間 をどのように 扱 ったら 良 いか? 可微分同相写像 F : U→U の 軌道 {x 0 , x 1 , x 2 , ……} は, Λ 上 で 稠密 であり, Λ=cl{x 0 , x 1 , x 2 , …} ⊂ U は 不変集合 であるとする. Λ の 不変性 とコンパクト 性 から, F : Λ→ Λ も 同相写像 となる. 【 接 バンドル】 点 x ∈ Λ の 接写像 の 合併 ∪ x ∈ Λ T x Λ を 接 バンドルという. 【
Λ
上 の 接写像 】
F *
Λ
:
∪ x ∈ Λ T x Λ → ∪ {Fx:x ∈ Λ} T Fx Λ = ∪ x ∈ Λ T x Λ 不変集合上 の1 点 の 長時間反復 に 注目 せず,すべての 点 の1 回反復 のみを 考 える.
【 不変集合上 の 接 バンドル】
【 定義 : 双曲型不変集合 】 ① a L において 接写像 の 不変直線 Df] x=a
E u
(a) =
E u
(fa), Df] x=a
E s
(a) =
E s
(fa) が 存在 する. ② 不変直線 を || || Df -1 Df ] 満足 ] に x=a x=a x h する 関 || || 0< して, l l l || || <1 x h || for || for が x h 存在
E E u s
(a), (a) する . ③ L 上 では,
E u
(a),
E s
(a) が 連続 に 変化 する. ⇔ 線 バンドルの 存在 .
E u
= a L
E u
(a),
E s
= a L
E s
(a) ⇔ セクタ ー バンドルの 存在 . Df -1
S u
S u
, Df
S s
S s
相空間 a 接空間 Df] x=a fa Df] x=fa f 2 a …….
Df] x=f 2 a …….
【 質問 】 以下 の 馬蹄写像 の 不変集合 の 相似次元 を 求 めよ. 1 1 a a a a
【 質問 】
【リアプノフ 次元 とリアプノフ 指数 】
【 定義 :リアプノフ 指数 】 写像 f : U → の 線形作用素 U の 軌道 {x 0 ,x 1 ,x 2 ,…} に 関 して 合成 された 接写像
f
*
x n f
*
x n
1
f
*
x
1
f
*
x
0 :
T x
0
U
T x n U A
= lim
n
Df
]
x
=
x n Df
]
x
=
x n
1
Df
]
x
=
x
1
Df
]
x
=
x
0 が 収束 するとき, A T A の 固有値 の 平方根 の 対数 をリアプノフ 指数 という. 【 定義 :リアプノフスペクトル】 符号込 みで 大 から 小 の 順 に 並 べたリアプノフ 指数 において, 大 なる 方 から n 番目 の 指数 を 第 n リアプノフ 指数 という.また, 零 を 含 めた 指数 の 符号部 の 並 びをリアプノフスペクトルという. 【 定義 :リアプノフ 次元 】 リアプノフ 指数 { l 1 , l 2 ,.., l n } において, 非縮小的 な 体積素 の 最大 の 次数 を i とするとき, i + ( l 1 + l 2 +…..+ l i )/ l i+1 をリアプノフ 次元 という.
【アトラクタとベイシン】
【 定義 :アトラクタ,トラッピング 領域 およびベイシン】 写像 f : U → U の 不変集合 L の 開近傍 T が, ① f cl(T) T ② i=0 f i cl(T) = L を 満足 するならば,これを アトラクタ , T を トラッピング 領域 という. また, 十分大 きな M>0 に 対 する 部分集合 B(T) = {x ∈ U : f M x ∈ T } をアトラクタの ベイシン ( 吸引圏 )という. 【 質問 】 2 次元写像 f が 単位正方形上 で 漸近安定 な 不動点 p と q を 持 つとするとき, トラッピング 領域 とベイシンの 概念図 ( 相図 )を 描 いてみよ.
【2 次元写像 のアトラクタの 分類 】
周期 アトラクタ ー :リアプノフスペクトル (-,-) i=0 よりリアプノフ 次元 は, 0.
準周期 アトラクタ ー :リアプノフスペクトル( -,0 ) i=1 よりリアプノフ 次元 は, 1.
カオス 的 アトラクタ ー :リアプノフスペクトル( -,+ ) i=1 よりリアプノフ 次元 は, 1+α.
【 質問 】 リアプノフスペクトル (0,0) の 場合 はいかなる 不変集合 となっているか? 【 回答 】 非可算個 の 周期軌道 の 集合 ,もしくは、 非可算個 の 準周期軌道 の 集合 いずれの 場合 もアトラクタではない. 【 質問 】 3 次元写像 のリアプノフ 次元 を 求 め、その 状態 を 分類 をせよ. (a) (-,-,-) (b) (-,-,0) (c) (-,0,0) (d) (-,-,+) 【 回答 】 (a) i=0 より D=0. 周期 アトラクタ (c) i=2 より D=2. 2ト ー ラスアトラクタ (b) i=1 (d) i=1 より より D=1. 1ト D=1+α. ー ラスアトラクタ カオス 的 アトラクタ
【 定義 : 公理
A
系 アトラクタ】 コンパクト 集合 L が, ① 双曲型 ② 稠密 な 軌道 の 存在 ③ 周期軌道全体 は 稠密 ④トラッピング 領域 の 存在 を 満 たすなら,これを 公理
A
系 アトラクタ という. 【 命題 】 ソレノイド 写像 f : R 3 → 公理 A 系 アトラクタを 持 つ. R 3 は, 【 質問 】 ソレノイド 写像 のリアプノフスペクトルを 求 めよ.
【 公理 A 系 アトラクタ】
f
【
Hénon
写像 :
( x
n+1,
y
n+1
) = (0.3y
n
+1-1.4x
2 n
, x
n
)
】
【 命題 : 精度保証計算 によるトラピング 領域 の 証明 】 x fD と 最寄 の y D の 距離 は ||x-y||>1.9
× 10 -5 となる. 【 疑問 】 Hénon アトラクタ i=0 f i cl(D) は,カオス 的 なのか? ①トラピング 領域 を 持 ち, 漸近安定 である. ② 数値計算上 では, 正 Lyapnov 指数 を 持 つ. ・極限集合 i=0 f i cl(D) は, 複数 の 不変集合 の 合併 となり, 分解不可能性 が 満 たされない .
【
Lozi
写像 :
( x
n+1,
y
n+1
) = (0.5y
n
+1-1.7|x
n
|, x
n
)
】 【 定義 : 一般化 された 双曲性 】ほとんど 全 ての 点 (ルベ ー グ 測度零集合 ) を 除 いて, 接空間 の 分解 が 可能 である. 【 命題 】 Lozi アトラクタ i=0 f i cl(D) は,カオス 的 である. ①トラッピング 領域 を 持 ち, 漸近安定 である. ② 正 リアプノフ 指数 を 持 つ. ③ 周期 アトラクタは 存在 しない .