【

第五講義

】 アトラクタとリアプノフ

指数

【 前回 の 復習 】

【 質問 】 縮小写像 の 定義 を 述 べよ． 【 回答 】 リプシッツ 定数 の 大 きさが１よりも 小 さい． 【 質問 】 線形写像 f : x |→Ax が 縮小写像 であるとき， 満足 する 条件 を 求 めよ． 【 回答 】 ||A||<1 ． 【 質問 】 z=exp(x 2 +y 2 ) の 点 (x,y)=(a,b) における 接平面 を 求 めよ． 【 回答 】 法線 ベクトルは， (2aexp(a 2 +b 2 ), 2bexp(a 2 +b 2 ),-1).

【 質問 】 ２ 次元写像 の 安定周期軌道 の 定義 を 述 べよ． 【 回答 】 特性乗数 の 大 きさが 二 つとも１よりも 小 さい． 【 質問 】 ２ 次元写像 のサドル 型周期軌道 の 定義 を 述 べよ． 【 回答 】 特性乗数 の 大 きさが 一 つは１より 大 きく， 一 つは１よりも 小 さい．

【 安定多様体 と 不安定多様体 】

【 定義 ： 不安定多様体 】 ２ 次元可微分同相写像 p を 含 む 領域 U p 上 の 像 の 合併 は， f において， サドルノ ー ド p が 存在 する 場合 ， W u = cl{U p } ∩ f cl{U p } ∩ f 2 cl{U p } ∩ f 3 cl{U p } ∩ …….. 不安定多様体 とよばれる． U p f 2 U p fU p 不安定多様体 は， 不安定固有空間 に 接 し，その 外部 への 延長 となる． 【 質問 】 同様 に 安定多様体 W s ∩cl{ U p } を 定義 せよ ．

【 馬蹄写像 の 多様体 】

【 定義 ： 馬蹄写像 】 F ： x  [0,1] × [0,1] → R 2 【 定義 ： 不変集合 】 L={ x  [0,1] × [0,1] : F n x  [0,1] × [0,1] for  n  Z } 10 11 V １ 01 00 V 0

V

0 00 01 11 10

Cantor

集合 ×

[0,1] V

1

【 馬蹄力学系 】

【 定義 ： 馬蹄力学系 の 不変集合 】 L =

Cantor

集合 ×

Cantor

集合 【 定義 ： 馬蹄力学系 と 記号力学系 】 L の 元 を s =

….s

-3 s -2 s -1 . s 0 s 1 s 2 ….

∈ S 2 でコ ー デングすることで， 馬蹄力学系 ( L ,F) は 記号力学系 ( S 2 , F ) と 位相共役 となる． したがって， 馬蹄力学系 の 不変集合 L は，カオス 的不変集合 の 特性 ○ 加算個 の 周期軌道 が 存在 し，その 全体 は Λ 上 で 稠密 ． ○ 非加算個 の 非周期軌道 が 存在 する． ○ 稠密 な 軌道 が 存在 する． ○ 乱雑 な 軌道 が 存在 する． を 満足 する．

【 不変集合上 の 接 バンドル】

n 周期点 の 接空間 は， n 個 しか 存在 しないが， 準周期軌道 あるいは 非周期軌道 の 接空間 をどのように 扱 ったら 良 いか？ 可微分同相写像 F : U→U の 軌道 {x 0 , x 1 , x 2 , ……} は， Λ 上 で 稠密 であり， Λ=cl{x 0 , x 1 , x 2 , …} ⊂ U は 不変集合 であるとする． Λ の 不変性 とコンパクト 性 から， F : Λ→ Λ も 同相写像 となる． 【 接 バンドル】 点 x ∈ Λ の 接写像 の 合併 ∪ x ∈ Λ T x Λ を 接 バンドルという． 【

Λ

上 の 接写像 】

F *

Λ

:

∪ x ∈ Λ T x Λ → ∪ {Fx:x ∈ Λ} T Fx Λ = ∪ x ∈ Λ T x Λ 不変集合上 の１ 点 の 長時間反復 に 注目 せず，すべての 点 の１ 回反復 のみを 考 える．

【 不変集合上 の 接 バンドル】

【 定義 ： 双曲型不変集合 】 ① a  L において 接写像 の 不変直線 Df] x=a

E u

(a) =

E u

(fa), Df] x=a

E s

(a) =

E s

(fa) が 存在 する． ② 不変直線 を || || Df -1 Df ] 満足 ] に x=a x=a x h する 関 || || 0< して，  l  l l || || <1 x h || for || for が x h 存在

E E u s

(a), (a) する ． ③ L 上 では，

E u

(a),

E s

(a) が 連続 に 変化 する． ⇔ 線 バンドルの 存在 ．

E u

=  a L

E u

(a),

E s

=  a L

E s

(a) ⇔ セクタ ー バンドルの 存在 ． Df -1

S u



S u

, Df

S s



S s

相空間 a 接空間 Df] x=a fa Df] x=fa f 2 a …….

Df] x=f 2 a …….

【 質問 】 以下 の 馬蹄写像 の 不変集合 の 相似次元 を 求 めよ． 1 1 a a a a

【 質問 】

【リアプノフ 次元 とリアプノフ 指数 】

【 定義 ：リアプノフ 指数 】 写像 f ： U → の 線形作用素 U の 軌道 {x 0 ,x 1 ,x 2 ,…} に 関 して 合成 された 接写像

f

*

x n f

*

x n

 1  

f

*

x

1

f

*

x

0 :

T x

0

U



T x n U A

= lim

n

 

Df

]

x

=

x n Df

]

x

=

x n

 1   

Df

]

x

=

x

1

Df

]

x

=

x

0 が 収束 するとき， A T A の 固有値 の 平方根 の 対数 をリアプノフ 指数 という． 【 定義 ：リアプノフスペクトル】 符号込 みで 大 から 小 の 順 に 並 べたリアプノフ 指数 において， 大 なる 方 から n 番目 の 指数 を 第 n リアプノフ 指数 という．また， 零 を 含 めた 指数 の 符号部 の 並 びをリアプノフスペクトルという． 【 定義 ：リアプノフ 次元 】 リアプノフ 指数 { l 1 , l 2 ,.., l n } において， 非縮小的 な 体積素 の 最大 の 次数 を i とするとき， i + ( l 1 + l 2 +…..+ l i )/ l i+1 をリアプノフ 次元 という．

【アトラクタとベイシン】

【 定義 ：アトラクタ，トラッピング 領域 およびベイシン】 写像 f ： U → U の 不変集合 L の 開近傍 T が， ① f cl(T)  T ②   i=0 f i cl(T) = L を 満足 するならば，これを アトラクタ ， T を トラッピング 領域 という． また， 十分大 きな M>0 に 対 する 部分集合 B(T) = {x ∈ U : f M x ∈ T } をアトラクタの ベイシン （ 吸引圏 ）という． 【 質問 】 ２ 次元写像 f が 単位正方形上 で 漸近安定 な 不動点 p と q を 持 つとするとき， トラッピング 領域 とベイシンの 概念図 （ 相図 ）を 描 いてみよ．

【２ 次元写像 のアトラクタの 分類 】

周期 アトラクタ ー ：リアプノフスペクトル (-,-) i=0 よりリアプノフ 次元 は， 0.

準周期 アトラクタ ー ：リアプノフスペクトル（ -,0 ） i=1 よりリアプノフ 次元 は， 1.

カオス 的 アトラクタ ー ：リアプノフスペクトル（ -,+ ） i=1 よりリアプノフ 次元 は， 1+α.

【 質問 】 リアプノフスペクトル (0,0) の 場合 はいかなる 不変集合 となっているか？ 【 回答 】 非可算個 の 周期軌道 の 集合 ，もしくは、 非可算個 の 準周期軌道 の 集合 いずれの 場合 もアトラクタではない． 【 質問 】 ３ 次元写像 のリアプノフ 次元 を 求 め、その 状態 を 分類 をせよ． (a) (-,-,-) (b) (-,-,0) (c) (-,0,0) (d) (-,-,+) 【 回答 】 (a) i=0 より D=0. 周期 アトラクタ (c) i=2 より D=2. ２ト ー ラスアトラクタ (b) i=1 (d) i=1 より より D=1. １ト D=1+α. ー ラスアトラクタ カオス 的 アトラクタ

【 定義 ： 公理

A

系 アトラクタ】 コンパクト 集合 L が， ① 双曲型 ② 稠密 な 軌道 の 存在 ③ 周期軌道全体 は 稠密 ④トラッピング 領域 の 存在 を 満 たすなら，これを 公理

A

系 アトラクタ という． 【 命題 】 ソレノイド 写像 f : R 3 → 公理 A 系 アトラクタを 持 つ． R 3 は， 【 質問 】 ソレノイド 写像 のリアプノフスペクトルを 求 めよ．

【 公理 Ａ 系 アトラクタ】

f

【

Hénon

写像 ：

( x

n+1,

y

n+1

) = (0.3y

n

+1-1.4x

2 n

, x

n

)

】

【 命題 ： 精度保証計算 によるトラピング 領域 の 証明 】 x  fD と 最寄 の y  D の 距離 は ||x-y||>1.9

× 10 -5 となる． 【 疑問 】 Hénon アトラクタ   i=0 f i cl(D) は，カオス 的 なのか？ ①トラピング 領域 を 持 ち， 漸近安定 である． ② 数値計算上 では， 正 Lyapnov 指数 を 持 つ． ・極限集合   i=0 f i cl(D) は， 複数 の 不変集合 の 合併 となり， 分解不可能性 が 満 たされない ．

【

Lozi

写像 ：

( x

n+1,

y

n+1

) = (0.5y

n

+1-1.7|x

n

|, x

n

)

】 【 定義 ： 一般化 された 双曲性 】ほとんど 全 ての 点 （ルベ ー グ 測度零集合 ） を 除 いて， 接空間 の 分解 が 可能 である． 【 命題 】 Lozi アトラクタ   i=0 f i cl(D) は，カオス 的 である． ①トラッピング 領域 を 持 ち， 漸近安定 である． ② 正 リアプノフ 指数 を 持 つ． ③ 周期 アトラクタは 存在 しない ．