Transcript 正三角錐の重心

4面体（正３角錐）の重心
〜重心を透視できる４面体づくり〜
４面体断面見取り図づくり
４面体の断面４面体を作る
•
•
右上図は、４面体ABCD
右下図は、４面体ABCDをABM
で切断し、 ４面体ABCMと４面
体ABDMの二つに ２等分したも
の
３垂線は一点で交わる
三角形の重心は中線を２：１に内分する点
• 左上
△BCDの重心Hは、
BH：HM＝2：1
の点。
・左下
４面体の一面△の重心
切断面で考える
切断面に補助線を引く
補助線を引いて推論する
△ABMにおいて
AG2=BG1 より AB // G2G1
よって △ABM ∽ △G2G1M
したがって AM： G2M＝3：1=
AB： G2G1 （中点連結定理の拡張
により）
さらに、△ABG ∽ △G2G1Gにより
AG：GG1 =3：１
以降、
辺の長さを用いて計算して４面
体の重心が垂線を３：１に内分
する点であることを検証するこ
とになる。
三角錐の重心が３：１であることを計算で証明する
一辺を√２aとすると、BMは直角三角形BCMより、BM2+CM2=BC2
BM2=BC2- CM2
<*>△BCDにおいてBG1:G1M=2:1より
=(√２a) 2-(√２a/2) 2
BG1=2BM/3=(2/3)(√6a/2 )= √6a/3
=3a2/2
(=AG2)
BM=√3a/√2= √6a/2 (=AM)
G1M=BM/3=(1/3)(√6a/2 )= √6a/6
<*へ続く>
垂線AG1=BG2は、
<**> AB:G2G1=3:1=AG:GG1により
AG12=AM2-G1M2
AG = (3/4)AG1=3/4×2a/√3=√3a/2
= (√6a/2 )2-(√6a/6)2
GG1=(1/4) AG1= 1/4×2a/√3=√3a/6
=4a2/3
よって
AG1=2a/√3
(AG/GG1) = (√3/2) a/(√3/6) a
<**へ続く>
= √3/2×6/√3=3/1