+ N - 名古屋大学 素粒子宇宙起源研究機構（KMI）
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Transcript + N - 名古屋大学 素粒子宇宙起源研究機構（KMI）
Winding number
in String field theory
＠名古屋大学
京大理 小路田 俊子
（畑氏との共同研究）
based on arXiv:1111.2389
内容
• 開弦の場の理論（Cubic SFT）とChern-Simons理
論の類似性に着目し、位相的不変量であるWinding
数をＣＳＦＴにおいて実現できるのか調べる。
SCS
k
2
M
1
1
2 A dA 3 A A A S[ A] 2 k N[ g ]
A→ｇ（ｄ＋Ａ）ｇ-1
Winding数
1
N[ g ]
24 2
SCS
d
M
( gdg 1 )3 d () 整数
M
M
S CSFT
QB
Ⅰ. 弦の場の理論とは
• 点粒子の場の理論と同じ手続きで構築
• Yang-Mills理論のゲージ対称性と一般座標
変換不変性を含む、より大きな対称性を持っ
た理論
• 弦理論の非摂動的真空の記述
Set up
ボゾニックな開弦 ２６次元
弦の場の理論の構築（１）
• 点の場の理論
2
2
Q
phys
0
Q
cH
c
p
m
世界線のDiffeo → B
B
場φを導入 EOMとして条件を満たす
→ S 1 d 4 x ( x) □ m 2 ( x) int
2
τ
• 弦の場の理論
1
QB phys 0 QB c T mat T gh
世界面のDiffeo →
2
場ψを導入 EOMとして条件を満たす
τ
→
σ
1
S DX X ( ) QB X ( ) int
2
弦の場の理論の構築（2）
点粒子の場
弦の場
( x) d k e
3
ikx
ikx †
a(k ) e a (k )
Ψ［Xμ（σ）,b(σ),c(σ)］ Ｓｔｒｉｎｇ座標の汎関数
H ws n n bm bm c c
1
1
1
i
1
j
[ X , b, c] d k n n (k ) n
26
1
k
位置と形を分けて展開
d k t (k ) A (k ) 1 B(k )c0b1 0; k
26
1 2 1
1
2
2
2
S QB d x (t ) t F ( B A )
4
2
2
26
弦の場の理論の構築（2）
点粒子の場
弦の場
( x)
d 3k
k0
e
ikx
ikx †
a(k ) e a (k )
Ψ［X（σ）,b(σ),c(σ)］
世界面が座標
量子化により
X ( ) x i 2
'
n
cos(n )
n n
固有モードの生成消滅
位置
と
形
[ X , b, c] d k n (k ) n
を生成消滅
26
d k t (k ) A (k ) B(k )c0b1 0 ; k
26
1
弦の場の理論の構築（3）
• 相互作用
３点相互作用の理論（Ｃｕｂｉｃ型）
局所場の理論
3
2
( x1 x2 ) ( x2 x3 ) ( x3 x1 )
1
弦の場の理論
3
2
1
2
26
(r )
( r 1)
X
(
)
X
( )
3
r 1 0
弦の場の理論の構築（3）
• 相互作用
３点相互作用の理論（Ｃｕｂｉｃ型）
3
0
局所場の理論
2
( x1 2x2 )( x22 x3 ) ( x3 x1 )
1
3
0
2
0
弦の場の理論
2
26
(r )
( r 1)
X
(
)
X
( )
3
1
2
r 1 0
作用と運動方程式
ＣＳＦＴの作用は
1
S 2
go
1
1
Q
B
2
3
運動方程式は
QB 0
dA A A F 0
演算の定義
積 :２つの弦の場から新しい弦の場を作る演算
A[ X ] B[ Y ] ( A B)[ Z ]
L
0
R
L Y
X R
R
L
2
L
Z
A B[ z ( )]
R
dY ( ' )dX ( ' ) X ( ' ' ) Y ( ' ' )
0 '
2
2 ''
A[ X ( ' ' )] B [Y ( ' ' )]
X ( ) Z ( ) 0 2
Y ( ) Z ( )
2
演算の定義
:１つの弦の場から数を作る演算
2
0
A[ X ]
弦座標の右と左を
引っ付けて積分
dX ( ) X ( ' ) X ( ' )A[ X ( ' )]
A
0
0 '
2
1
S 2
go
1
1
Q
B
2
3
Ｌ
Ｒ
演算の性質
Q 0
2
B
QB ( A B) (QB A) B (1) A A QB B
( A B) C A ( B C )
A B (1) B A
AB
Ａ
Ａ＊Ｂ＊Ｃ
Q 0
と
B
Ｂ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｂ
Ａ
Chern-Simons理論とCSFTの類似性
SCH
M
SCSFT
1
1
A
dA
A
A
A
2
3
d
QB
d2 0
d ( A B) A dB (1) A dA B
( A B) C A ( B C )
M
A B (1) AB B A
M
M
1 1
1
2 QB
go 2
3
QB2 0
QB ( A B) (QB A) B (1) A A QB B
( A B) C A ( B C )
AB
A
B
(
1
)
B A
CSFTのゲージ対称性
• 演算子の性質を使うと
QB
ＣＳＦＴの作用は次の
ゲージ変換で不変であ
( A dA A A)
ることが示せる。
• 弦の場を展開し成分毎
に見るとYang-Mills理論
の変換が出てくることが
分かる。
( x)b1
t ( x) t ( x)
A ( x) A ( x) ( x)
B ( x ) 2 ( x )
弦の場の理論はYang-Mills理論（と一般相対論）を
内包する大きなゲージ対称性を持った理論
非摂動論的真空
• ある古典解 CLまわりの揺らぎを とすると
1 3
1
S[ CL ] S[CL ] QNew
3
2
但し QNew QB CL CL
Ｖ
古典解まわりの物理的
自由度は QNewの
コホモロジー
QB
摂動論的真空
非摂動論的真空
QNew
Ker QNew
CL
Im QNew
タキオン真空解
QBのコホモロジーにはタキオン励起あり
→ QB の真空より安定な真空が存在するはず
（タキオン真空）
⇔ Ｄ25ブレーンが消滅した真空（開弦の自由度無し）
’05 Schnabl
摂動論的真空
Ｄ25ブレーン
解析解を発見
Ｔ25
Schnabl ‘05
Schnabl&Erler ‘09
・ S[tv ] T25
・ QNew に開弦の自由度無し
タキオン真空（ブレーン無し）
Ⅱ.開弦の場の理論における
Winding 数
Ⅱ.弦の場の理論にもWinding数 ?
CSFTとChern-Simons理論が同じ構造を持っている。
そこで・・・
SCS
k
2
M
1
1
A
dA
A
A
A
S[ A] N [ g ]
2
3
1
N[ g ]
24 2
gdg
1 3
M
M
d () 整数
d QB , ,
M
N
2
3
(UQ U
B
1
3
) QB () 整数？
（タキオン真空解はpure-gauge tv UQBU
1
）
Winding 数 in CSFT
N
2
3
(UQ U
1
B
3
) QB () 整数？
• CSFTにトポロジカルな構造が実現できるか
• SFTの の「表面」?∫QΨ＝０? （∫MdA=0 ）
任意の弦の場 に対して
L
R
Q 0
B
Winding 数 in CSFT
3
1
1
N (UQ BU ) QB () 整数？
3
• CSFTにトポロジカルな構造が実現できるか
• ＳＦＴの「表面」？ ∫Q(・・・)＝０？
• 解析解探しに新たな視点
E S EOM
1
2
N
2
異なるWinding数を与え
る解は異なる真空を表す
• 開弦の結合定数が量子化される？
Winding 数 in CSFT
3
1
1
N (UQ BU ) QB () 整数？
3
N の理解のために（今日の話）
◎ N = Q BA
A の導出
タキオン真空解について計算
◎ 加法性：N [U1U2]=N [U1] +N [U2]+ QB [U 1 , U 2 ]
◎ ＥＯＭ、pure-gauge解について
Sliver座標とKBｃ代数（議論の準備）
上半面
Ｓｌｉｖｅｒ
ξ
z
中点
L
－１
L
R
０
R
2
Arc tan[ ]
中点
L
R
1/2
１
z
０
L
R
積が簡単に
L
R
Sliver座標とKBｃ代数（議論の準備）
積
様々な幅を扱う
弦の場
Fock state(幅1/2)に収まらない。
よって任意の幅 ｔ のstripを作っておこう。
i
dz
K
T ( z) 1
2 i 2 i
e
tK
ｔ
ついでにゴーストと反ゴーストも
i
dz
B
b( z ) 1
2 i 2 i
但し 1 は幅ゼロのstate
c
2
c ( 0) 1
1 1
ＫＢｃ代数
Ｋ，Ｂ，ｃは以下の代数関係を満たす。
[ K , B] 0 {B, c} 1 B c 0
QB K 0 QB B K QB c cKc
2
2
Y.Okawa ‘06
pure gauge 解
EOM : QB 0
A gdg
UQBU
1
1
F dA A A 0
ＵをＫ，Ｂ，ｃを用いてかくと、一般性を失わないで
U 1 F ( K ) BcF( K ) F ( K ) とかける。
ex) タキオン真空解
F (K ) e
K / 2
1
,
1 K
円筒上の相関関数
KB
UQBU Fc
cF F F ( K ) : 任意関数
2
1 F
K
ta
c dt e Bc(0) c( z )c( z t ) 円筒
N ~ Bc c
0
aK
1
KBc代数
{B, c} 1 [ K , B] 0
BcF( K ) Bc F ( K ) Bc cBF( K ) Bc
F ( K ) Bc
円筒上の相関関数
KB
Fc
cF F F ( K ) : 任意関数
2
1 F
K
ta
c dt e Bc(0) c( z )c( z t ) 円筒
N ~ Bc c
0
aK
1
dt e t ( a K )
0
aK
dt e
0
ta
ｔ
Schwinger parametrization
B
c
K
c
本題に戻ります
① ＣＳＦＴの の「表面」を理解するために
3
1
N = UQBU を‘全微分’の形に直す。
N = QBA
② QB -exactの積分を単純に計算すると
０になる。しかしN は真空エネルギー
に比例しているので矛盾。
この矛盾を今から解きます。
（特にタキオン真空について）
N
s U s QBU
N
1
(UQ BU 1 )3 QB A
3
1
s
U ( s 1)
Us
を導入する。
1 ( s 0)
1
ds
1
1 1 d
s
= 0 ds s s s 0 ds s
3
3
ds
ds
1
1
d
d
ds s (s s ) ds s s s
0
0
ds
ds
（∵EOM ）
QB s
QB s
ds
1
QB dss
0ds
A
s=0
摂動論的真空
s=1
非摂動論的真空
N = QB A = 0 ?
－1
タキオン真空解を代入
→中身をよく見る
QB A
1
0
ds c
=N ≠
QA = ０
B
K
1
c
1 s K
1 s K
K
K dt e tK
0
K
e
tK
t
t 0
1 e K
・ｓ＝１のところでKのゼロ固有値が危険。
・Ｑ-exactness のせいでＦ（Ｋ）の関数形に依らず０
1 のregularizationとＱ-exactnessを微少に破る
0
必要あり
Kε-regularization
相関関数に含まれるKを全てK＋εに置き換える
Q [ K ]
QB [ K ] [ K ] 1
K K
1
注）ＱBを作用させた後で置き換える。
B
タキオン真空解に対して QBA から正しい結果を得た
Chern-Simons理論のアナロジー成立？
他の解についても成り立つのだろうか？
加法性
N [U1U2] = N [U1] + N [U2] + △N
1
1
Q
Q
U
U
U
Q
U
△N B
B 1
1
2
B 2
△N =0 ならば (Utv )n QB Utv n は N= ｰｎの解
しかし、我々は QB () が０にならないかもしれないこ
とを知っている。
結果
N [(Utv )n ]
3 8
2
(n 3)
2 2 2 (n 2)
1
(n 1)
3 8
2
(n 3)
2 2 2 (n 2)
1
(n 1)
加法性は破れている
• 加法性から N = 1 の解は作れた。しかしそれ以外
の新しい解を作ることはできなかった。
• もっと致命的なことに、N が整数になるのか、という
当初の疑問に既に反例を与えてしまった？
• しかし、そもそもＫε-regularizationのもとで、
は本当にＥＯＭの解か？
(U ) n Q (U ) n
tv
B
tv
N ε=
K K
1
3
Pure-gaugeとは？
• Winding数が位相的な量で N [ g g ] M AA(d A A)
あることにEOMの解である
AAd d ( Ad ) 0
ことは重要
M
M
dA
• 今Kε-regularizationしたこ
とでEOMは一見εのオー
ダーで破れている。
• どの方向の変分に対して
EOMが消えるべきなの
か？
QB 2 EOM
EOM
K
F c
cF
2
1 F
(
EOM
)0
pure gauge？
結果
(Q )
2
B
6
0
2
( n 2 )
(n 1)
( n 2 )
n=±1以外はpure gaugeの資格無し。
n=±1が完全にpure-gaugeだと保証された
わけではないが・・・。
まとめ
CSFTにWinding数を実現できるのか
・‘全微分’形 N = Q B A に直して計算
単純には０になる量であるが、慎重に計算せ
ねばならない量であることを指摘。さらにタキ
オン真空解とその反転した解について正しい
値を与えるregularizationを見つけた。
・加法性の破れ
加法性が一般には破れている。しかし加法性
を破るΨが古典解ではないことが分かった。
→課題へ
課題
• Ｗｉｎｄｉｎｇ数の構築に必要な“pure-gauge”のクラス
が不明。
• Kε-regularization は正しい正則化なのか？
← Kεで何が起こっているのか分かっていない。
・ＳＦＴにおけるガウスの定理は実現できるのか!?
M
QB () ()
M
Back up
Ｖ３の演算子表示
3 1 s ( r ) ( s ) rs ( r ) ( s )
V3 exp N nm n m X nm c n b m 0 1 0 2 0
n 1 m 0
r , s 1 2 n ,m 0
(2 ) 26 26 ( p1 p2 p3 )
rs
N nm
1
dz h'r ( z )
dw h's ( w)
1
(n, m 1)
n
n
2
nm z 0 2i z w0 2i w (hr ( z ) hs ( w))
N 0rsm N msr0
1
dw h's ( w)
1
(m 1)
m
m w0 2i w
hr (0) hs ( w)
ln | h'r (0) | (r s )
N
ln | hr (0) hs (0) (r s )
rs
00
1 iz 2 ( r 1)i 3
hr ( z )
e
1 iz
23
3
タキオン真空解もEOMを破っている？
• N = QB A の証明を思いだそう。
1
ds
1 1 d
1
s
N = 0 ds s s s 0 ds s
ds
ds
3
3
1
1
d
d
ds s (s s ) ds s s s
0
0
ds
ds
1
1
d
d
ds (QB s ) s ds s QB s
0
0
ds
ds
ds
1
QB A
QB dss
ds
0
タキオン真空解もEOMを破っている？
• N = QB A の証明を思いだそう。
1
ds
1
1 1 d
ds s s s ds s
s
[N ]ε=
0
3
3 0 ds
ds
1
1
d
d
ds s (s s ) ds s s s
0
0
K→K+ε regularization
ds
ds
1
1
d
d
ds (QB s ) s ds s QB s
0
0
ds
ds
ds
1
QB dss
[ QBA ]ε
0
ds
タキオン真空解もEOMを破っている？
• N = QB A の証明を思いだそう。
1
ds
1
1 1 d
[N ]ε=
ds s s s ds s
s
0
3
3 0 ds
ds
1
1
d
d
ds s (s s ) ds s s s
0
0
K→K+ε
regularization
ds
ds
1
1
d
d
ds (QB s ) s ds s QB s
0
0
ds
ds
ds
1
QB dss
[ QBA ]ε
ds
0
タキオン真空解もEOMを破っている？
[N ]ε
1
d
d
ds s
(s s ) ds s s
s
0
0
ds
ds
1
1
d
d
ds (QB s ) s ds s
QB s
0
0
ds
ds
1
1
d
2 ds EOM
s dss EOM
0
0
ds
1
strong sence
1
QBA [Kε] 2 ds EOM
0
1
d
s dss EOM
0
ds
strong sence
-1