Transcript 正三角錐の体積計算

三角錐の体積（積分学まで待たねばならないか？）
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図左が、正三角錐。右が正四角錐。
これもまた、数学成書において証明
は「積分法まで待たなければならず、
記憶しておくと便利」と解説されて
いる。
しかし、多面体タイルを使えば、角
錐の体積
(1/3)(底面積)(高さ)
はいとも容易く、文字を用いた計
算もピゴラスの定理と無理数の計
算が できれば可能。
これができる前提は、タイルによっ
て、組立てたり分解したりすること。
橙色の三角錐は直方体の１/３
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左上の画像が多面体タイルで作っ
た直方体。一辺をaとするとその体
積は、a×a×a
a3
下の画像は、直方体を構成する
多面体が分かるように分解したも
の。黄色２つと、橙１つが同じ大
きさであり、橙の
三角錐の体積は、直方体の体積の
１／３であることが分かる。
(1/3) a3
三角錐の体積を求める１
•
三角錐の底辺１辺を√2aとする
と垂線の長さはピタゴラスの定
理を用いて
h 2 +(√2a/2) 2 =(√2a) 2
これを計算して
h 2 = 3a 2/2
h = √3a/√2
(h>0)
したがって、底面積
(√2a×h)/2 = √3a2/2
これを(1/3) a3に代入すると
(1/3)(√3a2/2)(2a/√3)
この(2a/√3)は三角錐の高さです。
したがって、
1/3(底面積)(高さ)
この計算は、「積分学」を待つ程の
ことはない。
三角錐の体積を求める２
• 三角錐の一辺を√2aとしたと
き、AH2+BH2=(√2a)2
• BH=(2/3)BM
• BM2=BC2-CM2
=(√2a)2--(√2a/2)2 =3a 2 /2
BM=√3a/√2 BH=2√3a/3√2
AH2=(√2a)2 -BH2=2a2 -12a2 /18
=24a2/18=4a2/3 AH=2a/√3
これが三角錐の高さ、これ
に底面積√3a2/2をかけると
（2a/√3)(√3a2/2 ）= a3
一辺aの直方体の体積となる。