Transcript 演習問題解答（5月29日講義分（0530修正版））

伝達事項
試験
日時：６月６日 １限目 (9:10~10:40)
場所：13号館4階 第一講義室 (13-403)
指定された座席に座って下さい。
伝達事項
講義資料ダウンロード（全資料）のページ
http://p.bunri-u.ac.jp/lab05/
分力：直角三角形の各角度の求め方
?
θ
?
分力: 斜面に平衡に下る方向の力 = mg•sinθ の理由？
伝達事項
分力：直角三角形の各角度の求め方
基本原理
?
θ2
θ3
θ1
θ1 = θ2
θ
θ1
θ1 = θ3
θ4
?
θ1
θ1 = θ4
θ + 90 + θ5 = 180°より
θ = 90 − θ5
θ5
θ
θ5
θ6?
θ5
Eq. 1
θ6 + 90 + θ5 = 180°より
θ6 = 90 − θ5 Eq. 2
Eq. 1、Eq. 2より
θ6 = θ
伝達事項
分力：直角三角形の各角度の求め方
基本原理
?
θ2
θ3
θ1
θ1 = θ2
?
θ
θ1
θ1 = θ3
θ4
θ1
θ1 = θ4
θ
θ + 90 + θ5 = 180°より
θ = 90 − θ5
θ5
θ
θ6
θ
θ6
θ
θ
Eq. 1
θ6 + 90 + θ5 = 180°より
θ6 = 90 − θ5 Eq. 2
Eq. 1、Eq. 2より
θ6 = θ
伝達事項
分力: 斜面に平行に下る方向の力 = mg•sinθ の理由？
m: 物体の質量
F2
g: 重力加速度
物体にかかる重力F1 = mg
F2: 斜面に平行に下る力
F3: 斜面を垂直に押す力
F2
F1
θ
θ
F1
sinθ = F2/F1
θ
F2 = F1sinθ = mg•sinθ
F1
cosθ = F3/F1
θ
F3
θ F3
F3 = F1cosθ = mg•cosθ
公式 (試験に出すので暗記すること)
速度 v = at
1
距離 D = 2 at2
力 F = ma
重力 F = mg
回転運動
(自由落下)速度 v = gt
1 gt2
(自由落下)距離 D =
2
摩擦力 F = μN
m1•m2
万有引力 F = G
r2
復元力 F = −kx
接線方向速度 v = rω
振動数(周波数) f = 1/T
向心加速度 a = rω2
1
単振動振動数 fv = 2π
仕事 W = Fd
位置エネルギー U = mgh
√
k
m
1
運動エネルギー K = 2 mv2
v: 速度(m•s-1); g: 重力加速度(m•s-2); t: 時刻(s); D or d: 距離(m);
a: 加速度(m•s-2); F: 力(N); m: 質量(kg); N: 垂直抗力(N); μ: 摩擦係
数(無次元); r: 半径(m); ω: 角速度(rad/s); T: 周期(s); f: 振動数(s-1
or Hz); x: 変位(m); k: バネ定数(N•m-1); W: 仕事(J); h: 高さ(m);
G: 重力定数(kg•m3•s-2)
演習
① 下線のとことに入る数値をべき乗を使って表しなさい(有効数字2桁)。
30 km = 3.0 × 104 m = 3.0 × 107 mm = 3.0 × 106 cm
15 cm = 1.5 × 10-1 m = 1.5 × 10-4 km = 1.5 × 105 mm
3.0 kg = 3.0 × 103 g = 3.0 × 106 mg = 3.0 × 109 mg
1.0 m3 = 1.0 × 103 L = 1.0 × 106 mL = 1.0 × 109 mL =1.0 × 106
② 高さ49 mの屋上から物体を落としたときの速度と時間の
関係をグラフに描きなさい。ただし、鉛直下向きの変位を負
とする。
v / m•s-1
2
t /s
0
速度は鉛直下向きに増していくので
負の値
v = −gt = −9.8t
-19.6
演習
③ 高さ49 mの屋上から物体を落としたときの物体の変位と
時間の関係をグラフに描きなさい。ただし、屋上の位置を
原点とし、鉛直下向きの変位を負とする。
物体は鉛直下向きに移動していくので
物体の変位Dは負の値
v / m•s-1
√10
0
1 gt2 = −4.9t2
D = −ー
2
物体が49 m落ちるのにかかる時間は
−49 = −4.9t2
t2 = 10
t = √10
-49
t/s
演習
④ 質量4 kgの物体が下図の斜面に静止していた時、下記の量を計算
しなさい。ただし鉛直上向きを正の方向とし、
N
重力加速度をgとする。また物体と斜面の間
45°
に摩擦力は生じないものとする。
F : 物体に働く重力
45° F
鉛直上向きが正なので
F = −mg = −4(kg)×g(m•s-2) = −4g N 答 鉛直下向きに 4g N
N : 斜面が物体を押し返す垂直抗力
物体が斜面を押す力 F2 = −N
N = −F2 = −F•cos(45°) = −(−4g)(N) × √2/2 = 2√2g N
答 斜面に垂直上向きに 2√2g N
④ 質量4 kgの物体が下図の斜面に静止していた時、下記の量を計算
しなさい。ただし鉛直上向きを正の方向とし、
重力加速度をgとする。また物体と斜面の間
に摩擦力は生じないものとする。
U : 物体の位置エネルギー(物体の高さは
物体の一番低い点の高さとする)
鉛直上向きを正にとると、高さ(変位) h > 0
U = mgh = 4(kg)×g(m•s-2)×5(m)
= 20g J
5m
45°
W : 斜面に沿って物体を図示した位置まで移動するのに必要な仕事
摩擦力が0の場合、仕事は重力に対してのみ行っている。よって、
W = U = 20g J
K : 物体が斜面に沿って滑った時、地面につく直前の運動エネルギー
U : 物体が斜面に沿って滑った時、地面につく直前の速度
④ 質量4 kgの物体が下図の斜面に静止していた時、下記の量を計算
しなさい。ただし鉛直上向きを正の方向とし、
重力加速度をgとする。また物体と斜面の間
に摩擦力は生じないものとする。
K : 物体が斜面に沿って滑った時、地面に
つく直前の運動エネルギー
5 mの高さにある時の位置エネルギーと
運動エネルギ—を、UU, KUとする
5m
45°
地面につく直前の位置エネルギーと運動エネルギ—を、UD, KDとする
力学的エネルギー保存則から、 UU + KU = UD + KD (Eq.3)
題意から、 UU = 20g J、KU = 0 J、UD = 0 J
これらの値をEq.3に代入すると、
20g(J) + 0(J) = 0(J) + KD
KD = 20g J
答 斜面に平行下向きに 20g J
④ 質量4 kgの物体が下図の斜面に静止していた時、下記の量を計算
しなさい。ただし鉛直上向きを正の方向とし、
重力加速度をgとする。また物体と斜面の間
に摩擦力は生じないものとする。
v : 物体が斜面に沿って滑った時、地面
につく直前の速度
KD = (1/2)mv2
20g(J) = (1/2)×4(kg)v2
(1/2)×4(kg)v2 = 20g(J)
5m
45°
v2 = 10g
v = ±√10g
v = −√10g (斜面を下る方向の速度のため)
答 斜面に平行下向きに √10g m/s
演習
⑤ 質量200 gの物体を地面に置いたまま150 cm移動した。ただし、
鉛直上向きを正にとり、地面と床の摩擦係数μ = 10(無次元)、
重力加速度をgとする。
F1 : 物体に働く重力
(鉛直上向きが正)
F1 = −mg = −0.2(kg)×g(m•s-2) = −0.2g N
答 鉛直下向きに 0.2g N
N : 斜面が物体を押し返す垂直抗力
N = −F = −(−0.2g) N = 0.2g N
答 鉛直上向きに 0.2g N
F2 : 物体と床面の摩擦力
F2 = −μN = −10×0.2g(N) = −2g N
答 移動方向と逆向きに 2g N
演習
⑤ 質量200 gの物体を地面に置いたまま150 cm移動した。ただし、
鉛直上向きを正にとり、地面と床の摩擦係数μ = 10(無次元)、
重力加速度をgとする。
10(m/s) 4g N
K : 10 m/s の速度で物体を押した直後
の物体の運動エネルギー
K = (1/2)mv2 = (1/2)×0.2(kg)×{10(m/s)}2
= 0.1(kg)×100(m2/s2) = 10 J
W : 物体を150 cm移動するのに必要な仕事
W = 摩擦力に対して行う仕事 = F2•d = 2g(N)×1.5(m)
= 3g J
40g N
演習
⑤ 質量200 gの物体を地面に置いたまま150 cm移動した。ただし、
鉛直上向きを正にとり、地面と床の摩擦係数μ = 10(無次元)、
重力加速度をgとする。
D : 10 m/s の速度で物体を押した後、
物体が静止するまでの距離
10(m/s) 4g N
物体を押した直後の運動エネルギ— K0 = 10 J
40g N
物体が静止した時の運動エネルギ— K1 = 0 J
物体が摩擦力に逆らってする仕事 W = −F2•d = −2g(N)×d(m)
K1 − K0 = W
0(J) − 10(J) = −2g(N)×d(m)
−2gd = −10
d = 5/g m
答 物体の移動方向に 5/g m
演習
⑥
長さ 800 cmのヒモの先端に質量1 kgの重
りをつけて、5秒間で1回転で回転している。
このヒモと物体についての以下の問いに答え
なさい。円周率はπのままで良い。
800 cm
(1) ヒモによる向心加速度a (m/s2) を求め
なさい。
a = rω2 なので ω がわかれば向心加速度aは計算できる
周期 T は 5 s、かつ、ω = 2π(rad)/T(s) = 2π/5(rad/s)
a = rω2 = 8(m)×{2π/5(rad/s)}2
= 8(m)×{2π/5(rad/s)}2 = 8×(4π2/25)(m•rad2•s-2)
= 32π2/25 m•s-2
答 円の中心方向に32π2/25 m•s-2
演習
⑥ (2) ヒモの張力を求めなさい。
F = ma = 1(kg)×32π2/25(m•s-2) = 32π2/25 (N)
答 円の中心方向に32π2/25 N
(3) 図の位置から物体が回転運動を始めた時、物体のx軸(横軸)上
の座標をグラフで表しなさい。
(4) (3)のグラフを数式で表しなさい。
x = r•cosθ = r•cos(ωt) = 8cos{(2π/5)t}
x = 8cos{(2π/5)t} (4)の解答
x
8
θ
2.5
x
800 cm
0
5 t/s
−8
演習
⑥
長さ 800 cmのヒモの先端に質量1 kgの重
りをつけて、5秒間で1回転で回転している。
このヒモと物体についての以下の問いに答え
なさい。円周率はπのままで良い。
800 cm
(5) 円周の接線方向の物体の速度vを求め
なさい。
v = rω = 8(m)×2π/5(rad/s) = 16π/5 m/s
答 円周の接線方向に16π/5 m/s
演習
⑦ バネ定数k = 10 N•m-1のバネに質量10 g の物体がぶらさがってい
る時、下記の問いに答えなさい。ただし重力加速度をgとし、鉛直上
向きを正にとる。
(1) この物体がバネにぶら下がった時のバネの伸びを計算すること
物体にかかる重力 F(=mg) = −kx (ただし x はバネの伸び)
0.01(kg)×g(m•s-2) = −10(N/m)×x
x = −g/1000(m)
答 鉛直下向きにg/1000(m)伸びる
(2) この物体が単振動した時の振動数を計算すること。
1
fv = 2π
√
k = 1
m
2π
5√10
10(N/m)
=
Hz
π
0.01(kg)
√
演習
⑦ バネ定数k = 10 N•m-1のバネに質量10 g の物体がぶらさがってい
る時、下記の問いに答えなさい。ただし重力加速度をgとする。鉛直
上向きを正にとる。
(3) この物体の重さとバネの張力が釣り合う位置から、物体を10 cm
ほど下に引いた。手を離した瞬間の物体に働く復元力を求めなさ
い。
復元力 F = −kx = −10(N/m)×(−0.1)(m) = 1 N
答 鉛直上向きに1 N
(4) (3)の時、この物体の単振動中の最大速度を求めなさい。
(5) (4)で求めた最大速度がでる位置を答えなさい。
⑦ バネ定数k = 10 N•m-1のバネに質量10 g の物体がぶらさがってい
る時、下記の問いに答えなさい。ただし重力加速度をgとする。鉛直
上向きを正にとる。
(4) (3)の時、この物体の
単振動中の最大速度
を求めなさい。
(5) (4)で求めた最大速度
がでる位置は？
y
y
r
θ
0 θ = ωt
半径10 cmの円周運動をx軸に
投影すると単振動になる。
半径10 cmの円周運動をx軸に
投影すると単振動になる。
Fcos(ωt)
単振動
ω
x
y
y
(5の解答)
最大速度
の場所
r
θ
0 θ = ωt
平衡位置
単振動
(4) 最大速度は円周運動の接線
方向の速度と同じ
5√10
vmax = rω = 0.1(m)×ω = 0.1(m)×2πfv(rad/s) = 0.1×2π
π
vmax = ±√10 m/s
ω
x