Transcript ファジィ論理とファジィ構造モデリング（チュートリアル）

ファジィ論理と
ファジィ構造モデリング
北海道工業大学
情報デザイン学科
三田村 保
内容
• ファジィ論理
• ファジィ関係
• ファジィ構造モデリング
２値論理
命題論理
命題A=「雪は白い」「日本の首都は京都である」
命題の真理値=｛真、偽｝=｛1, 0｝
論理演算（合成命題）
論理和（OR）
論理積（AND）
否定（NOT）
含意（Implication）
A∨B
A∧B
～A
A→B
=～A∨B
“AまたはB”
“AかつB”
“Aでない”
“AならばB”
２値論理の公理系（1）
ベキ等律 A∨A=A、 A∧A=A
交換律
A∨B=B∨A、 A∧B=B∧A
結合律
A∨（B∨C）= （A∨B）∨C
吸収律
A∨A∧B=A、 A∧（A∨B）=A
分配法則 A∨B∧C=（A∨B）∧（A∨C）
二重否定 ～（～A）=A
ド・モルガン律～（A∨B）=～A ∧～B
最大元
A∨1=1、 A∧1=A
最小元
A∨0=Ａ、 A∧0=0
２値論理の公理系（２）
相補律
排中律
矛盾律
A∨～A=1、 A∧～A=0
A∨～A=1
A∧～A=0
ファジィ論理
ファジィ命題A=「今日は天気が良い」
命題の真理値→区間値
｛真、偽｝→｛真～偽｝
｛1, 0｝→[0, 1]
特性関数とメンバシップ関数
メンバシップ関数
μA：X→[0, 1]
特性関数
ψA：X→{0, 1}
1.0
1.0
20
x
X歳は成人である
20
x
X歳は大人である
ファジィ論理
代表的なファジィ論理演算
論理和（OR）
A∨B = max(A, B)
限界和
A⊕B = min(1, A+B)
論理積（AND）
限界積
A∧B = min(A, B)
A⊙B = max(0, A+B－1)
否定（NOT）
含意（Implication）
～A = 1－A
A→B =min(1, 1－A+B)
ファジィ論理の公理系（1）
成立
ベキ等律 A∨A=A、 A∧A=A
交換律 A∨B=B∨A、 A∧B=B∧A
結合律 A∨（B∨C）= （A∨B）∨C
吸収律 A∨A∧B=A、 A∧（A∨B）=A
分配法則 A∨B∧C=（A∨B）∧（A∨C）
最大元 A∨1=1、 A∧1=A
最小元 A∨0=Ａ、 A∧0=0
ファジィ論理の公理系（２）
非成立
二重否定 ～（～A）=A
ド・モルガン律～（A∨B）=～A ∧～B
相補律 A∨～A=1、 A∧～A=0
排中律 A∨～A=1
矛盾律 A∧～A=0
関係
• 変数x、yを含む命題
例： 「 xとyは等しい」 「 xはyより大きい」
• 二項関係R
aRb：”aはbに関係がある”
a,b∈X
aRb = {偽、真} ={0, 1}
ファジィ関係
• 変数x、yを含む命題
例：「xとyは似ている」「 xとyは親しい」
「xはyより好ましい」
• ファジィ二項関係
aRb：”aはbに関係がある”
a,b∈X
μR(a,b) =[0, 1]
関係の諸性質
•
•
•
•
反射性=aRa
反対称性=aRb かつbRa→ a=b
推移性=aRb, bRc → aRc
対称性=aRb → bRa
• 半順序関係=
反射性、反対称性、推移性
– 因果関係、IF-THENルール
• 同値関係 =
反射性、対称性、推移性
– 同値関係、類似関係
• 前順序関係=
反射性、推移性
ファジィ関係の適用による問題解決
• システム工学への応用
– 対象となる問題を要素に分解する
– 要素間の関係概念（類似性、因果性、IFTHENルール）をファジィ関係としてモデル化
する
– 対象問題の挙動をマクロ的に分析する
ファジィ構造モデリング
ファジィ構造モデリング
• 定義
• 従来のファジィ構造モデリング
– ファジィ行列
– ファジィ可到達行列
• 新しいファジィ構造モデリング
– ファジィ部分行列
– 更新ルール
定義
• 要素集合X={x1, x2, ･･･, xn}
• ファジィ二項関係
aRb
a, b ∈ X
μR(a,b) =[0, 1]
• ファジィ二項関係の性質
– ファジィ前順序関係
• 反射性
• 推移性
「ファジィ構造モデリングとは要素集合X上のファ
ジィ前順序関係を決定すること」
ファジィ行列モデル
M  [mij ]
i, j  X
mij : R (i, j)
0  mij  1
1 0.2 0
0 1
1
M 
0 0.5 1

0 0.7 0.5
1
0
0

1
ファジィ前順序関係
ファジィ行列
M  [mij]
0  mij  1
1.0
反射性
mii  1
1
0.2
2
推移性
mij  min(mik , mkj )
M M
2
0.5
0.1
3
ファジィ構造モデリング
ファジィ行列 M
•要素と要素の関係を入力
•全一対比較
入力数： n(n-1)
c
a
b
ファジィ可到達行列
（反射性・推移性）
M M
2
d
ファジィ可到達行列生成
Fuzzy Warshall アルゴリズム
1. M  M
2. for k  1 to
*
n
m  m m m
*
ij
k
0.5
0.7
*
ij
0.6
h
0.3
*
kj
k
j
0.2
i
*
ik
0.5
0.7
0.5
i
j
0.6
h
0.5
従来のファジィ構造モデリング
• すべてのファジィ二項関係を入力する→
入力コスト（n(n-1)）がかかる
• ファジィ二項関係からファジィ可到達行列
の生成→入力された関係の修正
対話型ファジィ構造モデリング（FISM/fuzzy）
ファジィ部分可到達行列
M  [mij , mij ]
ファジィ可到達行列
M(i,j) 入力
含意規則による行列更新
•一対比較数の削減
全一対比較の２0％～３0％
•入力された帰属度を尊重
•帰属度の変更も可能
ファジィ部分行列
M  [mij , mij]
0.2
[0,1] [0,1]
 1
 0

1
[
0
,
1
]
[
0
,
1
]

M 
[0,1] [0.5,1.0] 1 [0,1]


1  1
[0,1] [0.1,0.7] 0.5
0.2
[0.0, 1.0]
2
[0.5, 1.0]
3
メンバシップ関数
M  [mij , mij]
1.0
mij mij
ファジィ部分可到達行列
M  [mij , mij]
反射性
mii  mii  1
部分可到達性
mij  mik mkj
mik  mij m jk
mkj mki mij
含意規則
i
M(i, j)
j
m
l
M(l, m)
M (i, j)  [mij , mij ]
M (l, m)  [mlm , mlm]
mlm  mlm  (mli m jm mij )
mlm mlm ((mil mm j) mij )
mlm mlm (mij (m jl mim ))
mlm mlm (mij (mm i mlj ))
新しいファジィ構造モデリング
• 関係を入力するコストは削減される
• 入力された関係は修正されない
• 同時に複数個の関係を入力できない
参考文献
ファジィ論理・ファジィ関係
•
日本ファジィ学会編：講座ファジィ４ ファジィ論理、日刊工業新聞社
•
日本ファジィ学会編：講座ファジィ２ ファジィ集合、日刊工業新聞社
ファジィ構造モデリング
•
三田村保, 若林高明, 大内 東: ファジィ構造モデリングにおける階層グ
ラフを用いた構造化法, 日本ファジィ学会誌, Vol.12, No.2:pp.321328(2000.4)
•
三田村保, 若林高明, 大内 東: FISM/fuzzyによるレパートリーグリッドを
用いたファジィ構造モデリング, 日本ファジィ学会誌, Vol.11,
No.2:pp.298-308(1999.4)
•
三田村保, 大内 東: ファジィ構造モデリングの修正理論とアルゴリズム,
日本ファジィ学会誌, Vol.8, No.4:pp.725-733(1996.8)
•
三田村保, 大内 東: FISM/fuzzyの推移的具象化における戦略の検討,
日本ファジィ学会誌, Vol.7, No.2:pp.322-329(1995.4)
•
三田村保, 大内 東: ファジィ構造モデリングにおけるファジィ推移的具
象化の理論とアルゴリズム, 情報処理学会論文誌, Vol.35 No.2, pp.301308(1994.2)