Transcript 統計学第4回 - Minato Nakazawa / 中澤 港

統計学第５回
看護学部 中澤 港
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母比率を推定する方法
• 通常は，標本比率と一致する。
• 生態学のリンカーン法（Capture-MarkRecapture Method）で，母集団の個体数を
推定するのに，既知の数のマークした個体
を混ぜて標本抽出するのは，母比率が標
本比率と一致するという仮定に基づいてい
る。
多数の白石に40個の黒石を混ぜ，20
個取り出したときに黒石2個，白石18
個だったときの，元の白石の数は？
• 黒石の標本比率は2/20=0.1
• 母集団での黒石の個数が40個だから，
40/0.1=400個が母集団の総数。
• 白石の数は，400-40=360個
推定値の確からしさ
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Sample probability distribution by population proportion
sample probability
• しかし，実は母集
団比率をpとして，
標本20個を取り
出したときに，
ちょうど黒石が2
個得られる確率
は右図のように
なるので，p=0.1
は0.11とか0.09に
比べて際立って
高い可能性をも
つ値とは言えな
い。
0.0
0.1
0.2
0.3
p
0.4
0.5
母比率の推定値の信頼区間
• では，どうやって推定値の確からしさを示す？
• 適当な幅をもって母比率pを推定すれば，かなり
高い可能性をもって真の母比率がその幅に入る
ということができる。
• この「適当な幅」が信頼区間である（「信頼限界」
ということもあるが，「信頼区間」の方が普通）。
• 通常は，「かなり高い可能性」を95%とした「95%
信頼区間」を示す。
信頼区間の計算手順
• 分布を求める
• 下側2.5%点として95%信頼区間の下限を
求め，上側2.5%点として95%信頼区間の
上限を求める。
• 二項分布する変数など，計算が面倒だが，
標本数が多いときは正規近似すると楽。
練習問題の回答例
• この大学の女子学生の割合の点推定値
は，標本比率と一致するはずなので，
75/300=0.25，つまり25%である。
• 95%信頼区間の下限は，脚注[3]の式で
計算すれば（式中の2*sqrtは1.96*sqrtの
近似），0.25-0.05=0.2より20%である。
• 上限は当然30%となる。
• したがって，95%信頼区間は，(20%, 30%)
となる。
検定の考え方
• 検定とは，仮説が正しいかどうか確かめること。
• 「差がある」仮説を直接証明することは困難なので（ど
の程度の差があったら差があるとみなすのか？），「差
がない」仮説（これを帰無仮説という）を検証する
• 母比率についての検定なら，標本比率が期待される母
比率と差がない，という帰無仮説を調べる。
• 帰無仮説が成り立っている確率が統計的に意味がある
ほど小さい（そのレベルを有意水準といい，通常は5%
未満とする）なら，帰無仮説を棄却する（＝標本比率は
期待される母比率と差がないとは言えないことになり，
その標本データから考えると期待される母比率が違っ
ていると解釈する）。
母比率の検定
• n個のカテゴリがあって，i番目のカテゴリの観測
度数（実際の標本数）がOi，期待度数（期待され
る母比率と標本比率が一致した場合に標本が示
すであろう度数）がEiならば，(Oi-Ei)^2/Eiをすべ
てのカテゴリについて足し合わせて得られる値X
は，自由度n-1のカイ二乗分布に従う。
• ちなみに，自由度nのカイ二乗分布とは，独立に
標準正規分布（平均0，分散1の正規分布）に従
うn個の確率変数があったとき，それらの二乗の
和が従う分布である。
例題の回答例
• （１）は脚注の式の通りカイ二乗値が4となるので，1pchisq(4,1)=0.0455…<0.05より，仮説は棄却さ
れる。つまり，データからは男女半々とは言えない。
• （２）のカイ二乗値を計算するには，まず期待度数を計
算する。性比1.06ならば，900人中，男児は463，女
児は437となる。
• 性比1.06という帰無仮説についてのカイ二乗値を計算
すると，
(480-463)^2/463+(420-437)^2/437=1.3とな
る。
• 1-pchisq(1.3,1)>>0.05なので仮説は棄却されな
い。