Transcript 中野さんのPPTおよび課題

CG特論 論文報告
工学研究科情報メディア学専攻
07GMI16 中野泰子
ノットベクトル
T  t0 ti tm  n 1  (ti  ti 1 )




B-spline曲線を定義するのに必要な数列
単調増加 ( x0  x1  x2  x3  x4  x5 )
（階数＋制御点の個数）個のノットが必要
例 T   3  2  1 0 1 2 3 4 5
T  0 0 1 2 3 3 3 4 5

T   1 0

1
4
1
3
1

1 2 3 4
2

ノットベクトル

ユニフォームなノットベクトル（等間隔に増加）
T   3  2  1 0 1 2 3 4 5

ノンユニフォームなノットベクトル（非一様な増加）

T   1 0

1
4
1
3
1

1 2 3 4
2

NURBS (Non-Uniform Rational B-spline)
B-spline曲線とは

B-spline基底関数と制御点によって定義さ
れる曲線
n 1
P(t )   N i ,m (t )qi
i 0
(t m 1  t  t n )
N:B-spline基底関数（重み関数）
q:制御点
n:制御点の個数
m:階数（曲線に影響を同時に与える制御点の数）
ti:ノット（ノットベクトルから得る値）
B-spline基底関数(1)
N i ,1 (t )  1 (ti  t＜ti 1 )
N i ,1 (t )  0 (t＜ti , ti 1  t )
t  ti
ti  m  t
N i , m (t ) 
N i , m 1 (t ) 
N i 1, m 1 (t )
ti  m 1  ti
ti  m  ti 1
i : i番目の制御点
m:階数
n:制御点の数
ti :ノット(ノットベクトルから得る値)
B-spline基底関数(2)
T
t 0 t1
m=1
N 0,1 N1,1
m=2
N 0, 2
m=3
m=4
t3
t2
N 3,1
N 2 ,1
N1, 2
N 0,3
N1, 4
t6
N 4 ,1 N 5,1
N 2 , 2 N 3, 2
N1,3
N 0, 4
t5
t4
N 2,3
N 4, 2
N 3, 3
N 2, 4
B-spline基底関数(3)
N 0,1
N 0, 2
N 0,3
N 0, 4
1.2
1
階数1
階数2
階数3
階数4
0.8
0.6
0.4
0.2
0
t0
t1
t2
t3
t4
階数4、制御点6個のB-spline曲線(1)
n 1
P(t )   N i ,m (t )qi
i 0


(t m 1  t  t n )
同時に曲線へ影響を与える制御点
 4個
必要なノット数
 (4＋6)個
n=6, m=4,
T  t0 ti t9  (ti  ti 1 )
階数4、制御点6個のB-spline曲線(2)
基底関数

N 6, 4
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
t0
t1
N 0, 4
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
階数4、制御点6個のB-spline曲線(3)

曲線の定義域
n 1
P(t )   N i ,m (t )qi
i 0
(t m 1  t  t n )
N:B-spline基底関数
q:制御点
n:制御点の個数
m:階数
階数4、制御点6個のB-spline曲線(4)
1.2
1
1
0.9
0.8
0.8
0.7
0.6
0.6
0.5
0.4
0.4
0.3
0.2
0.2
0.1
00
t0
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
階数4、制御点6個のB-spline曲線(5)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
t0
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
階数4、制御点6個のB-spline曲線(6)
q2
q1
t  t3
t  t4
q3
t  t5
q0
t  t6
q5
q4
階数4、制御点6個のB-spline曲線(6)
q2
q1
t  t3
t  t4
q3
t  t5
q0
t  t6
q5
q4
課題

階数５、制御点６つのB-spline基底関数の
グラフを描け


ノットベクトルはユニフォームとする
上記の基底関数を使用するB-spline曲線
の定義域を述べよ
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
t0
t1
t2
t3
t4
t5
t6
t7
t8
t9
関連課題（齊藤出題）

階数４，制御点数４の一様B-Spline曲線を
考える．この場合にノットベクトルＴは，
T = [-3 -2 -1 0 1 2 3]となる．
①
②
③
曲線の定義域を示せ．
制御点をPi(i=0,…,3)とするとき，曲線r(t)を
Ｎによる再帰関数でなく，tの多項式として表現
せよ．
この曲線は「３次Bezier曲線」により表現でき
る．その曲線の各制御点をスプライン曲線の
制御点Ｐｉにより表現せよ．