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５．連立一次方程式
1
連立方程式とその解
ここでは、連立方程式を解くということを再考する。
そもそも方程式を“解く”とは、
与えられた式を満たす全てのスカラーの集合を
求めることである。すなわち、方程式 f ( x)  0 の解とは、
x  R | f ( x)  0
である。
同様に、連立方程式
 f1 ( x)  0


 f ( x)  0
 m
を“解く”とは、与えられた複数の式の全てを満たすベクトルの
集合を求めることである｡すなわち、以下が解である。
n
x

R
| f1 ( x)  0 AND f2 ( x)  0 AND

AND fm ( x)  0
2
連立方程式とその解１
a1x  b1 y  c1

a2 x  b2 y  c2
y
a1x  b1 y  c1
この連立方程式を“解く”とは、
2つの方程式を同時に満たす
( x, y) の組を見つけることである。
y
解く
a2 x  b2 y  c2
O
a1x  b1 y  c1 を
満たす点の集合
x
a2 x  b2 y  c2 を
満たす点の集合
a1x  b1 y  c1
a2 x  b2 y  c2
x
O
a1x  b1 y  c1 と
a2 x  b2 y  c2 を
同時に満たす
点の集合（1点）
3
連立方程式とその解２
 c1
a1x  b1 y

2a1x  2b1 y  2c1
この連立方程式の答えは、
a1x  b1 y  c1 上の点全てである。
y
y
解く
a1x  b1 y  c1
21 x  2b1 y  2c1
O
a1x  b1 y  c1
c
(0, 1 )
b1
x
O
解
b1  0 とし、 k を任意のスカラーとして、
 1  0
 x
 a    c  とも表せる。

k
 y
 1   1 
 
 b1   b1 
a
(1,  1 )
b1
x
(x, y) | a1x  b1 y  c1
このように、無限個の
ベクトルが式を満たす
4
ことを不定といいます。
連立方程式とその解３
 c1
a1x  b1 y

2a1x  2b1 y  c2 ( 2c1 )
この連立方程式を満たすものはない。
y
y
解く
a1x  b1 y  c1
解   {}
21 x  2b1 y  c2
O
O
x
x
このように、式を満たす
ベクトルがひとつもない
ことを不能といいます。
5
連立方程式とその解４
a1x  b1 y  c1z  d1

a2 x  b2 y  c2 z  d2
解
a2 x  b2 y  c2 z  d2
a1x  b1 y  c1z  d1
解く
z
O
z
y
x
O
y
x
6
連立一次方程式
これまでも、何度も扱ってきたが、
連立方程式を行列とベクトルを用いて表現できる。
ìï a11x 1 + a12x 2 + L + a1n x n = b1
ïï
ïï a21x1 + a22x 2 + L + a2n x n = b2
ï
í
ïï
M
ïï
ïï am 1x1 + am 2x 2 + L + amn x n = bm
î
éa11 a12 L
ê
êa21 O
ê
êM
ê
ê
êêëam 1 L
a1n ù
úéx 1 ù
Múê ú
úêMú=
úê ú
úê ú
úêëx n úû
amn úú
û
Ax = b
éb1 ù
ê ú
êb ú
ê2ú
ê ú
êMú
ê ú
êbm ú
êë úû
7
ここで、
A = [aij ] = [a 1 a 2 L
a m ],
éb1 ù
ê ú
ê ú
b = êMú
ê ú
êbn ú
êë úû
éx 1 ù
ê ú
x = êê Múú,
êx ú
êë n úû
このとき、各行列およびベクトルは、以下のような名称
で呼ばれる。
Ax = b
係数行列
定数項ベクトル
未知数ベクトル
通常の一次方程式と対応させてみるとよい。
3x = 2
係数
未知数
定数
8
さらに、拡大係数行列１つで連立方程式を表す。
[A | b ]
拡大係数行列
9
正則な係数行列を持つ連立方程式
（正則行列と連立一次方程式）
連立1次方程式 Ax = b が一意の解を持つための
必要十分条件は、係数行列 A が正則行列である
ことである。（したがって、 A は正方行列）
証明：
十分性：（正則→一意）
A
は正則なので、
逆行列A - 1 が存在する。
Ax = b
の両辺の左から
-1
-1
A Ax = A b
- 1
\ Ex = A b
\ x = A - 1b
A - 1 を乗じる。
積は一意なので、
解 x は一意である。
10
必要性：（一意→正則）
背理法による。
係数行列 A - 1 が正則でなくても、解が一意と仮定する。
（背理法の仮定）
このとき、
A
を階段行列に変形したとき、段数が減少する。
そのときの変形行列（基本行列の積）を T とし、
T を左から乗じて得られる拡大係数行列を éêC d ùú とする。
ë
T
éA b ù¾ ¾
®
êë
ú
û
éC
êë
û
dù
ú
û
すなわち、
C º TA
d º Tb
11
ìï a11x1 +
ïï
ïï a21x1 +
ïï
ïa x +
í 31 1
ïï
ïï M
ïï
ïï an 1x1 +
ïî
a11x1 +
L
+ a1n x n
= b1
a22x 2 + L
+ a2n x n
= b2
O
= b3
M
L
+ ann x n = bn
T
ìï c11x 1 +
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
í
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
îï
c12x 2 +
L
+ c1n x n
= d1
c2px 2 +
L
+ c2n x n
= d2
crn x r
= dr
0gx n
= dn - 1
0gx n
= dn
M
crqx r +
L
M
0gx r + 1 +
12
階段行列の段数が減少しているので、最後の式の係数は全て、
０である。よって、dn = 0
である。
しかし、最後の式の形より、 x n の値を任意な実数 k に
選んだとしても、
Cx = d
を満たす。すなわち、形が
éx 1 ù
ê ú
êx 2 ú
x = êêM úú
ê ú
êk ú
êë úû
となる複数（無数）の解が存在する。
同値変形であるので、x は
Ax = b
も満たす。これは、解の一意性に矛盾する。
QED
13
連立方程式と階数
（連立方程式と階数）
連立1次方程式 Ax
必要十分条件は、
= b が解を持つための
rankA = rank éêA b ù
ú
ë
û
が成り立つことである。
ここで、左辺は係数行列の階数、
右辺は拡大係数行列の階数である。
この命題は、解が一意に求まるときと、
不定のときの両方を表している。
（逆の言い方をすると、不能でない条件
を示している。）
証明略
14
連立方程式の解法
拡大係数行列を階段行列化したものを
すなわち、
階段行列化
éA b ù¾ ¾
¾ ¾¾
®
êë
ú
û
行列
C
éC
êë
éC
êë
dù
ú
û
とする。
dù
ú
û
の形により、２つの場合に分けて考える。
場合１：（簡単な場合）
C =
場合２：（複雑な場合）
C =
15
場合１：（簡単な場合）
ìï c11x 1 +
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
í
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
îï
c12x 2 +
L
+ c1n x n
= d1
c22x 2 +
L
+ c2n x n
= d2
crn x r
= dr
0gx n
= 0
0gx n
= 0
M
crr x r +
L
M
解を持つとき
には、必ず0
になる。
この場合には、行基本変形を用いてさらに変形できる。
C ¾ ¾¾
®C '
T'
éE r
C 'r ,n - r ù
ê
ú
C '= ê
ú
O
O
n - r ,n - r ú
êë n - r ,r
û
16
é1
ê
ê0
ê
ê
êM
ê
C ' = êê0
ê
ê0
ê
êM
ê
ê0
êë
0
L
1
0 c '1,r + 1 L
M M
O
O
L
1 c 'r ,r + 1
L
0 0
L
M M
L
0 0
L
c '1,n ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
c 'r ,n ú
ú
ú
0 ú
ú
M ú
ú
0 ú
ú
û
この変形行列を用いて、次のように連立方程式が変形された
とする。
éC
êë
T'
dù
¾
¾¾
®
ú
û
éC ' d 'ù
êë
ú
û
17
ìï x1
ïï
ïï
x2
ïï
ïï
O
ïï
ïï
xr
í
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
îï
+ c '1,r + 1 x r + 1 + c '1,r + 2 x r + 2 + L
+ c '1,n x n
= d '1
+ c '2,r + 1 x r + 1 + c '2,r + 2 x r + 2 + L
+ c '2,n x n
= d '2
M
+ c 'r ,r + 1 x r + 1 + c 'r ,r + 2 x r + 2 + L
+ c 'r ,n x n = d 'r
0gx r + 1
+ 0gx n
=
M
= M
0gx n
=
+ 0gx r + 2 +
L
0
0
rankA = rank éêA b ù
ú
ë
û
= rank[C d ]
= rank[C ' d ']
であることに注意する。
18
é1
ê
ê0
ê
ê
êM
ê
T
T'
A ¾ ¾ ® C ¾ ¾¾
® C ' = êê0
ê
ê0
ê
êM
ê
ê0
êë
T
éA b ù¾ ¾
®
êë
ú
û
éC
êë
T'
dù
¾ ¾¾
®
ú
û
0
L
1
c '1,n ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
c 'r ,n ú
ú
ú
0 ú
ú
M ú
ú
0 ú
ú
û
0 c '1,r + 1 L
M M
O
O
L
1 c 'r ,r + 1
L
0 0
L
M M
L
éC ' d 'ù=
êë
ú
û
0 0
é1
ê
ê0
ê
ê
êM
ê
ê0
ê
ê0
ê
ê
êM
ê
ê0
êë
0
L
1
O
L
L
0 c '1,r + 1
c '1,n
c '2,r + 1
c '2,n
M
1 c '1,r + 1 L
c '1,r + 1
0 0
0
L
M M
L
0 0
M
L
0
d '1 ù
ú
d '2 ú
ú
ú
ú
ú
ú
ú
0 ú
ú
ú
Mú
ú
0 ú
ú
û
19
ìï x1
ïï
ïï
x2
ïï
ïï
O
ïï
ïï
xr
í
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
îï
+ c '1,r + 1 x r + 1 + c '1,r + 2 x r + 2 + L
+ c '1,n x n
= d '1
+ c '2,r + 1 x r + 1 + c '2,r + 2 x r + 2 + L
+ c '2,n x n
= d '2
M
+ c 'r ,r + 1 x r + 1 + c 'r ,r + 2 x r + 2 + L
+ c 'r ,n x n = d 'r
0gx r + 1
+ 0gx n
+ 0gx r + 2 +
L
M
0gx r + 1
+ 0gx r + 2 +
=
0
= M
L
+ 0gx n
=
0
このときは、連立方程式を考えると、
xr + 1, L , xn
の n - r 個の変数は任意の実数でよいことがわかる。
ìï x r + 1 = k1
ïï
ïï
M
í
ïï
ïï x n = kn - r
ïî
というように、 n - r 個任意定数を用いて、
連立方程式の解を表現できる。
20
ìï x1
ïï
ïï
x2
ï
í
ïï
O
ïï
ïï
xr
î
= d '1 - c '1,r + 1 k1 L
- c '1,n kn - r
= d '2 - c '2,r + 1 k1
- c '2,n kn - r
M
= d 'r - c 'r ,r + 1 k1
- c 'r ,n kn - r
このように、 x1, L , xr は n - r 個の任意定数 k1, L , kn - r
用いて自動的に決定される。
を
21
自由度
定義（自由度）
未知数が n 個の連立一次方程式
（ n 元一次連立方程式）
Ax = b
において、
rankA = rank éêA b ù
=r
ú
ë
û
とする。このとき、自由に定めることのできる未知数の数
n- r
を方程式の自由度という。
連立方程式の解は、自由度の数だけの
任意定数を用いて表現される。
22
場合２：（複雑な場合）
C =
ìï c1l1 xl1 + L +
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
í
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
îï
c1l2 xl2 +
L
+ c1n x n
= d1
c2l2 xl2 + L +
L
+ c2n x n
= d2
crn x r
= dr
0gx r + 1
= 0
0gx n
= 0
M
crlr xlr +
L
M
23
この場合は、各階段の先頭に注目して、
場合１と同様に考えることができる。
C =
C =
ìï x l1
ïï
ïï x l2
í
ïï
ïï
ïïî x lr
« x1
« x2
M
« xr
とすれば、ほぼ同様に議論される。
結局、次のように解くことができる。
24
ìï
ïï x 1
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
íï
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
ïï
îï
ï
n- r
= d '1-
å
cpqki
i= 1
x2
= k1
O
M
xl2 - 1
= kl2 - 1
n- r
xl2
= d 'l2 -
å
c 'rs ki
i= 1
O
M
n- r
xlr
L
xn
= d 'lr -
å
c 'uvki
i= 1
xlr + 1
= kn - lr
M
M
xn
= kn - r
25
任意定数
n -r個
x2 x 3
C =
xl1 xl2
一定値
r個
xlr
éxl1 ù
ê
ú
êx 2 ú
ê
ú
êM ú
ê
ú
êx ú
ê l2 - 1 ú
êx ú
ê l2 ú
x = êx ú
ê l2 + 1 ú
ê
ú
êM ú
ê
ú
êxl ú
ê r ú
ê
ú
êM ú
ê
ú
xn ú
ê
ê
ú
ë
û
として、やはり
n - r 個の任意定数を用いて解くことができる。
26
例題１
次の連立方程式を解け。
ìï x - y - 4z
= 0
ïí
ïï 2x - 2y - 8z = 0
î
é1 - 1 - 4ù
ú
A º êê
ú
êë2 - 2 - 8ú
û
éx ù
êú
x º êêy úú
êz ú
êë úû
é0ù
b º êê úú とすると、
êë0úû
Ax = b
拡大係数行列は、次のようになる。
é1 - 1 - 4 0ù
éA b ù= ê
ú
êë
ú
û êê2 - 2 - 8 0ú
ú
ë
û
係数行列と、拡大係数行列の階数（rank)を求める。
27
é1 - 1 - 4ù
(2)- 2´ (1)
ú¾ ¾
A = êê
¾ ¾®
ú
2
2
8
êë
ú
û
なので、
é1 - 1 - 4ù
ê
ú
ê0 0 0 ú
êë
ú
û
rankA = 1 である。
また、
éA b ù=
êë
ú
û
é1 - 1 - 4 0ù
(2)- 2´ (1)
ê
ú¾ ¾
¾ ¾®
ê2 - 2 - 8 0ú
êë
ú
û
é1 - 1 - 4 0ù
ê
ú
ê0 0 0
0ú
êë
ú
û
rank éêA b ù
=1
ú
ë
û
\ rankA = rank éêA b ù
ú
ë
û
よって、解が存在する。（不能ではない。）
係数行列の階段行列より、元の連立方程式は、次の
連立方程式と同値。
28
ìï x - y - 4z
= 0
ïí
ïï 0x - 0y - 0z = 0
î
このとき、３－rankA=2に注意して、
階段の先頭以外を任意定数とする。
ìï y = k1
ï
í
ïï z = k2
î
これより、
x = k1 + 4k2
と表せる。
よって、任意定数 k1, k2 を用いて、
ìï x = k + 4k
1
2
ïï
ïï
í y = k1
ïï
ïï z = k2
ïî
（例題１終）
29
例題２
ìï x 1
ïï
ïï 2x1
ïí
ïï - x 1
ïï
ïï - 2x 1
î
+ 2x 2 - 2x 3 + 3x 4 = 2
+ 4x 2 - 3x 3 - 2x 4 = 3
- 2x 2 + 2x 3 + x 4
= 2
- 4x 2 + 4x 3 - 6x 4 = - 4
解）
拡大係数行列を階段行列化する。
é1
ê
ê2
ê
ê
ê- 1
ê
êê- 2
ë
2 ù
ú
4 -3 -2 3 ú
ú (2)- 2´ (1)
ú¾ ¾ ¾ ¾®
-2 2 1
2 ú
ú
- 4 4 - 6 - 4ú
ú
û
2
- 2 3
é1
ê
ê0
ê
ê
ê- 1
ê
êê- 2
ë
2
- 2 3
0
1
-2 2
-4 4
2 ù
ú
- 8 - 1ú
ú
ú
1
2 ú
ú
- 6 - 4ú
ú
û
30
é1
ê
ê0
ê
(3)+ 1´ (1)
¾¾
¾ ¾® ê
ê0
ê
êê- 2
ë
2
-2 3
0
1
0
0
- 4 4
é1
ê
ê0
1
´ (3)
ê
4
¾¾
¾® ê
ê0
ê
êê0
ë
é1
ê
ê0
ê
(1)- 3´ (3)
¾¾
¾ ¾® ê
ê0
ê
êê0
ë
2 ù
ú
- 8 - 1ú
ú (4)+ 2´ (1)
ú¾ ¾ ¾ ¾®
4
4 ú
ú
- 6 - 4ú
ú
û
2 -2 3
é1
ê
ê0
ê
ê
ê0
ê
êê0
ë
2 -2 3
0 1
0 0
0 0
2 ù
é1 2 - 2
ú
ê
ê
0 1
- 8 - 1ú
ú (2)+ 8´ (3) ê0 0 1
ú¾ ¾ ¾ ¾® ê
0 0 1
1 ú
ê0 0 0
ú
ê
êê0 0 0
0 0
0
0 ú
ú
û
ë
2 - 2 0 - 1ù
é1 2 0 0
ú
ê
ê
0 1
0 7 ú
ú (1)+ 2´ (2) ê0 0 1 0
ú¾ ¾ ¾ ¾® ê
0 0 1 1 ú
ê0 0 0 1
ú
ê
êê0 0 0 0
0 0
0 0 ú
ú
û
ë
2 ù
ú
- 8 - 1ú
ú
ú
4
4 ú
ú
0
0 ú
ú
û
3 2ù
ú
0 7ú
ú
ú
1 1ú
ú
0 0ú
ú
û
13ù
ú
7 ú
ú
ú
1 ú
ú
0ú
ú
û 31
この階段行列化より、係数行列と拡大係数行列の階数が等しい
ことがわかり解が存在することがわかる。
また、次のような同値な連立方程式が得られる。
ìï x + 2x
= 13
2
ïï 1
ï
x3
= 7
í
ïï
ïï
x4 = 1
ïî
よって、自由度が１であるので、任意定数を１つ用いて、
x2 = k
と表すことができる。
よって、
ìï x 1 = 13 - 2k
ï
ïï
ïï x 2 = k
í
ïï x 3 = 7
ïï
ïï x 4 = 1
î
（例題２終）
32
練習
次の連立方程式を解け。
（１）
ìï 2x - 6y = 1
ïí
ïï - x + 3y = 2
î
（２）
ìï x
ïï 1 - 3x 2 + x 3 + x 4 + 2x 5 = 3
ï
í 3x1 - 9x 2 + 2x 3 + 4x 4 + 3x 5 = 9
ïï
ïï 2x1 - 6x 2 + x 3 + 2x 4 + 4x 5 = 8
îï
33
同次連立一次方程式
定数項ベクトルが零ベクトルであるような
連立一次方程式、すなわち
Ax = 0
を同次連立一次方程式という。
実は，一般の連立一次方程式：
Ax = b
は、対応する同次連立一次方程式：
Ax = 0
を利用して解くことができる。
34
同次連立一次方程式の自明な解
同次連立一次方程式
Ax = 0
では、零ベクトル 0
を必ず解に持つ。
この解 x = 0 、即ち
éx 1 ù
ê ú
êMú=
ê ú
êx ú
êë n úû
é0ù
êú
êú
êMú
êú
ê0ú
êë úû
を自明な解という。
35
自由度のある同次方程式の解１
0
ax  by

2ax  2by  0
方向ベクトル
ax  by  0
y
y
解く
(b, a)
O
x
O
解
k
x
( x, y) | ax  by  0
を任意のスカラーとして、
 x   kb 
b


k
 y  ka
a
  

 
と表せる。
36
自由度のある同次方程式の解２
0
x  y  z

2x  2 y  2z  0
z
 1
0
 
 1 
y
x yz 0
x
O
 1
1
 
 0 
k1, k2  Rを任意のスカラーとして、
 x  k1  k2 
1
1
 y   k
  k  1 k  0 
1
  
 1  2 
 z  k2

 0 
 1 
と表せる。
37
自明な解しかもたない条件
（同次方程式と自明な解）
係数行列 A を m ´ n 行列とし、
未知数ベクトル x を n ´ 1 の列ベクトルとする。
同次連立方程式 Ax = 0 自明な解しか持たな
いための必要十分条件は、係数行列の階数が n
であることである。すなわち、
Ax = 0
の解が、 {0 }
rank(A )= n
38
自明な解と正則行列
（同次連立方程式と正則行列）
A を n 次の正方行列とし、 x を n 次元ベクトルとする。
このとき、同次連立一次正方行列
Ax = 0
が自明な解しか持たないための必要十分条件は、
A が正則行列であることである。
証明
n = rank(A )
が必要十分条件であるが、
これは A が正則行列であることも意味している。
QED
39
練習
次の同次連立一次方程式が、自明な解以外を持つかどうかを
判定せよ。
（１） ìï 6x
+ 4y = 0
ïí
ïï 9x + 6y = 0
î
é1
ê
ê5
（３） êê
ê9
ê
êê13
ë
ìï x
ïï
（２） ï 2x
ïï
í
ïï - x
ïï
ïï x
î
+ 2y - 2z = 0
-y
+ 3z = 0
- 3y - z
4y
= 0
+ 3z = 0
4 ùéx1 ù é0ù
úê ú ê ú
6 7 8 úúêx 2 ú êê0úú
úêêx úú= ê0ú
10 11 12ú 3
êú
ê
ú
úêx ú ê ú
14 15 16úúêë 4 úû êê0úú
ëû
û
2
3
40
非同次連立一次方程式の解１
Ax = 0
Ax = b
y
y
p
O
自明な解
x
x
O
Ap = b
41
非同次連立一次方程式の解２
c
ax  by

2ax  2by  2c
0
ax  by

2ax  2by  0
y
y
解く
é0 ù
ê ú
p º ê cú
ê- ú
êë b úû
(b, a)
p
O
 x
b

k
 y
a 
 
 
x
O
x
0
x
b
b
 
 
   

k

p

k
 y
a
a   c 
 
 
   
 b
42
自由度のある同次方程式の解３
0
x  y  z

2x  2 y  2z  0
z
y
 1
0
 
 1 
 1
1
 
 0 
O
2
x  y  z

2x  2 y  2z  4
z
y
 1
x yz 0
x
k1, k2  Rを任意のスカラーとして、
 x  k1  k2 
1
1
 y   k
  k  1 k  0 
1
  
 1  2 
 z  k2

 0 
 1 
と表せる。
0
 
 1 
x yz  2
x
O
 1
1
 
 0 
(2, 0, 0)
 x  k1  k2  2
1
1 2
 y   k
  k  1   k  0    0
  1
 1  2   
 z  k2

 0 
 1  0
43
練習
次の同じ係数を持つ同次方程式と非同次方程式を解け。
（１）
x  y z  0

2x 3 y  z  0
 x 4 y 2z  0

（２）
x  y z  3

2x 3 y  z  3
 x 4 y 2z  6

44