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第2回、平成２２年8月4日
ー ＦＥＭ解析のための連続体力学入門 －
2.主引張応力とひび割れ解析
解説者：園田 恵一郎
前回への質問１：ひずみのテンソル表示とベクトル表示
ベクトル表示（FEM解析）
テンソル表示：

 11 12 13 


 ij    21  22  23 




 31 32 33 
u i, j  u j, i 1
 ij 
 u i /x j  u j/x i
2
2

ひずみエネルギーW
1
W   ij   ij
2

ε   x  y  z  xy  xz  yz T
 x  11,  y   22 ,  z   33
 xy  12   21  212  xz  13   31  213

 yz   23   32  2 23
ひずみエネルギーW
1 T
W  σ ε
2
質問2：主応力の方向と主ひずみの方向は一致するの
か？
応力テンソルとひずみテンソルの座標変換則は同じである．
2次元応力
の場合
x 
1
1
( x  y ),  y  ( y  x )
E
E
 xy 
 xy
G
G
E
2(1   )
では
 
等方性体と言う．
3次元応力状態
 x    2G


  
  2G

 y  
 z   

  2G
 
0
0
 xy   0
 xz   0
0
0
  
0
0
 yz   0
等方性体：

E
(1  )(1  2 )
0
0
0
G
0
0
,G 
0
0
0
0
G
0
0   x 
 
0    y 
0   z 
  
0   xy 
0   xz 
 
G  yz 
E
2(1  )
質問3：応力不変量はどのような意義があるのですか？
I1  11  22   33
I 2  ( 11 22   22 33   33 11)   122   132   232
 11  12  13
I 3   21  22  23
 31  32  33
回答：応力やひずみはテンソル量であり，座標の取り方によってその成分が異な
る．したがって，鋼材の降伏やコンクリートのひび割れや破壊のような材料特性
を
応力成分で表現することができない．そこで，座標変換によって変わらない応力
やひずみである不変量によって材料特性を表すことが必要になる．
例：鋼の降伏条件であるミーゼスの条件：
J2  k 2  0
1
J 2  sij sij
2
Ｋ：せん断降伏応力度
sij   ij  s ij

s  kk
3
応力不変量は何のために役立つのか？
鋼材の降伏規準
質問4：せん断応力の符号はどのように採るのですか？
せん断応力とは，一つの面に働く接線
ｙ
方向の応力である．正面に働く座標の
正方向のせん断応力を正符号にする（約束）．
n
r
σnn
σnｒ
σnｒ
τxy
t
τxy
ｘ
ｙ
σnt
σnt
τyz
ｚ
τzｙ
直交する面の
せん断応力
τyz＝τzｙ

２軸応力状態でのコンクリートの破壊基準
Ottosenの基準(1977)
f (I1 , J 2 , cos3 )
Ottosenの基準
実験値
a
J2
2
f c'


J2
2
f c'
：相似角
b
I1
f c'
1  0
Drucker-Prager式
π平面上
主応力空間
モール・クーロン式
Drucker-Prager式
f (I1, J 2 )  I1  J 2  k  0
1

f (I1 , J 2 ,  )   I1 sin   J 2 sin(  )
3
3
J2



cos(  ) sin   c cos  0, ただし 0   
3
3
3
汎用ソフト：MSC.Markでの取り使いの留意点
適用降伏・破壊基準：
（１）線形モール･クーロン式（Drucker-Prager式）
材料係数：
c

3(1  12 )
2 1/ 2
f  I1  J 12/ 2 
3
 sin 
(1  3 2 )1/ 2
(2)放物線モール・クーロン式

3
0
と粘着力と内部摩擦角に関
連付けているが，これは平
面ひずみ問題のみに適用
できる．Tension cutoffが
必要である．
f  (3J 2  3I1 )1/ 2    0
(3)Buyukozturk式
f   3I1  I12  3J 2   2  0
（注）高3軸圧縮応力問題には適用できない．
硬化則は等方硬化則，移動硬化則が紹介されているが，これらは適用できないので，前
述の混合硬化則の定式化が必要になるものと思われる．
第2回,平成22年8月4日
離散ひび割れモデル
i
b b'
j
i
ひび割れ
b
j
a
k
k
a a'
b
Kn
a
b'
Ks
a'
ジョイント要素
ひびわれ面での特性（コンクリート標準示方書による）
GF  10(d max)1/ 3  f ck '
d max ：粗骨材の最大寸法(mm)
f ck ' ：圧縮強度の特性値
（設計基準強度）（N/mm2）
f tk ：引張強度の特性値
f tk  0.23f ck '2 / 3
k n1  0
ω：クラック幅
kn2  0
ひび割れ軟化特性
ひび割れ分散モデル
i
i
En
ひび割れ
n
ｔ
j
j
k
dσcr  Ecr dε cr
dσcr  d n d t
d nt 
dε cr  d n d t
d nt 
En
Gc
E '
n

Ecr   0
0

Gc
0
Ec
0
0 

0 
Gc 

k
3次元応力状態での主応力の方向
z
σ33
σ 32
σ31
σ 23
σ 13
σ11
σ22
σ
σ12
21
y
x
ｘ－ｙ－ｚ空間
主応力空間
固有値と固有ベクトル
11  
12
13
 21  22  
 23  0
 31
 32
 33  
 3  I1 2  I 2  I 3  0
n=(l,m,n)
σ
σ1２
y(2)
σ11
主応力面
σ13
x(1)
(11   i )li  12mi  13ni  0
 21li  ( 22   i )mi   23ni  0
 31li   32mi  ( 33   i )ni  0
mi  23 i  13 21   2311

li  2312  13 22  13 i
ni  32 i  1213   3211

li 13 32  13 33  13 i
z(3)
li 2  mi 2  ni 2  1
li  
1
1  (mi / li ) 2  (ni / li ) 2
主応力の方向
li  0, mi  0, ni  0
li  0, mi  0, ni  0
li  0, mi  0, ni  0
li  0, mi  0, ni  0
2次元応力状態
ds
b
τ xy
dy
θ
θ
1 
σｘ
a
 x  y
2
c
τ yx
σｙ
2 
dx
 x  y
2
σx'
σy'
τy'x'
2α
σ1
0'
τxy
σｙ
τxy
σｘ
σ
τx'y'
2θ
2
 x  y 
   xy2
 

2


σ２
σ2
2
 x  y 
   xy2
 

2


σp'
α
p
τxy
y
σp
τx'y' σ
1
σｘ
σ1 τx'y'σ σ２
ｙ
σx
τ
2 xy
2  tan1
 x  y
0
X
2
 x  y 
   xy2
R  

2


計算例
h
σ分布
x
τ分布
t
B  
y
Ma h
Pah
( )  
I
2
4I
 A B  
P
2bh
a
L/2
L/2
主応力の大きさと方向
2
B
Pah P  ah  2  1  2
 B 
B
2
1 
 

  B  
    ,
2
4I
2  I   bh 
 2 
2
B
Pah P  ah  2  1  2
 B 
B
2
2 
 

  B  
   
2
4I
2  I   bh 
 2 
 B  tan1
1
2
 B' 
 2I 
1

 tan1
2
B 2
 abh 
2 B
 2I 
1

  B    tan1
2
2
2 
 abh 
