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第2回、平成22年8月4日
ー FEM解析のための連続体力学入門 -
2.主引張応力とひび割れ解析
解説者:園田 恵一郎
前回への質問1:ひずみのテンソル表示とベクトル表示
ベクトル表示(FEM解析)
テンソル表示:
11 12 13
ij 21 22 23
31 32 33
u i, j u j, i 1
ij
u i /x j u j/x i
2
2
ひずみエネルギーW
1
W ij ij
2
ε x y z xy xz yz T
x 11, y 22 , z 33
xy 12 21 212 xz 13 31 213
yz 23 32 2 23
ひずみエネルギーW
1 T
W σ ε
2
質問2:主応力の方向と主ひずみの方向は一致するの
か?
応力テンソルとひずみテンソルの座標変換則は同じである.
2次元応力
の場合
x
1
1
( x y ), y ( y x )
E
E
xy
xy
G
G
E
2(1 )
では
等方性体と言う.
3次元応力状態
x 2G
2G
y
z
2G
0
0
xy 0
xz 0
0
0
0
0
yz 0
等方性体:
E
(1 )(1 2 )
0
0
0
G
0
0
,G
0
0
0
0
G
0
0 x
0 y
0 z
0 xy
0 xz
G yz
E
2(1 )
質問3:応力不変量はどのような意義があるのですか?
I1 11 22 33
I 2 ( 11 22 22 33 33 11) 122 132 232
11 12 13
I 3 21 22 23
31 32 33
回答:応力やひずみはテンソル量であり,座標の取り方によってその成分が異な
る.したがって,鋼材の降伏やコンクリートのひび割れや破壊のような材料特性
を
応力成分で表現することができない.そこで,座標変換によって変わらない応力
やひずみである不変量によって材料特性を表すことが必要になる.
例:鋼の降伏条件であるミーゼスの条件:
J2 k 2 0
1
J 2 sij sij
2
K:せん断降伏応力度
sij ij s ij
s kk
3
応力不変量は何のために役立つのか?
鋼材の降伏規準
質問4:せん断応力の符号はどのように採るのですか?
せん断応力とは,一つの面に働く接線
y
方向の応力である.正面に働く座標の
正方向のせん断応力を正符号にする(約束).
n
r
σnn
σnr
σnr
τxy
t
τxy
x
y
σnt
σnt
τyz
z
τzy
直交する面の
せん断応力
τyz=τzy
2軸応力状態でのコンクリートの破壊基準
Ottosenの基準(1977)
f (I1 , J 2 , cos3 )
Ottosenの基準
実験値
a
J2
2
f c'
J2
2
f c'
:相似角
b
I1
f c'
1 0
Drucker-Prager式
π平面上
主応力空間
モール・クーロン式
Drucker-Prager式
f (I1, J 2 ) I1 J 2 k 0
1
f (I1 , J 2 , ) I1 sin J 2 sin( )
3
3
J2
cos( ) sin c cos 0, ただし 0
3
3
3
汎用ソフト:MSC.Markでの取り使いの留意点
適用降伏・破壊基準:
(1)線形モール・クーロン式(Drucker-Prager式)
材料係数:
c
3(1 12 )
2 1/ 2
f I1 J 12/ 2
3
sin
(1 3 2 )1/ 2
(2)放物線モール・クーロン式
3
0
と粘着力と内部摩擦角に関
連付けているが,これは平
面ひずみ問題のみに適用
できる.Tension cutoffが
必要である.
f (3J 2 3I1 )1/ 2 0
(3)Buyukozturk式
f 3I1 I12 3J 2 2 0
(注)高3軸圧縮応力問題には適用できない.
硬化則は等方硬化則,移動硬化則が紹介されているが,これらは適用できないので,前
述の混合硬化則の定式化が必要になるものと思われる.
第2回,平成22年8月4日
離散ひび割れモデル
i
b b'
j
i
ひび割れ
b
j
a
k
k
a a'
b
Kn
a
b'
Ks
a'
ジョイント要素
ひびわれ面での特性(コンクリート標準示方書による)
GF 10(d max)1/ 3 f ck '
d max :粗骨材の最大寸法(mm)
f ck ' :圧縮強度の特性値
(設計基準強度)(N/mm2)
f tk :引張強度の特性値
f tk 0.23f ck '2 / 3
k n1 0
ω:クラック幅
kn2 0
ひび割れ軟化特性
ひび割れ分散モデル
i
i
En
ひび割れ
n
t
j
j
k
dσcr Ecr dε cr
dσcr d n d t
d nt
dε cr d n d t
d nt
En
Gc
E '
n
Ecr 0
0
Gc
0
Ec
0
0
0
Gc
k
3次元応力状態での主応力の方向
z
σ33
σ 32
σ31
σ 23
σ 13
σ11
σ22
σ
σ12
21
y
x
x-y-z空間
主応力空間
固有値と固有ベクトル
11
12
13
21 22
23 0
31
32
33
3 I1 2 I 2 I 3 0
n=(l,m,n)
σ
σ12
y(2)
σ11
主応力面
σ13
x(1)
(11 i )li 12mi 13ni 0
21li ( 22 i )mi 23ni 0
31li 32mi ( 33 i )ni 0
mi 23 i 13 21 2311
li 2312 13 22 13 i
ni 32 i 1213 3211
li 13 32 13 33 13 i
z(3)
li 2 mi 2 ni 2 1
li
1
1 (mi / li ) 2 (ni / li ) 2
主応力の方向
li 0, mi 0, ni 0
li 0, mi 0, ni 0
li 0, mi 0, ni 0
li 0, mi 0, ni 0
2次元応力状態
ds
b
τ xy
dy
θ
θ
1
σx
a
x y
2
c
τ yx
σy
2
dx
x y
2
σx'
σy'
τy'x'
2α
σ1
0'
τxy
σy
τxy
σx
σ
τx'y'
2θ
2
x y
xy2
2
σ2
σ2
2
x y
xy2
2
σp'
α
p
τxy
y
σp
τx'y' σ
1
σx
σ1 τx'y'σ σ2
y
σx
τ
2 xy
2 tan1
x y
0
X
2
x y
xy2
R
2
計算例
h
σ分布
x
τ分布
t
B
y
Ma h
Pah
( )
I
2
4I
A B
P
2bh
a
L/2
L/2
主応力の大きさと方向
2
B
Pah P ah 2 1 2
B
B
2
1
B
,
2
4I
2 I bh
2
2
B
Pah P ah 2 1 2
B
B
2
2
B
2
4I
2 I bh
2
B tan1
1
2
B'
2I
1
tan1
2
B 2
abh
2 B
2I
1
B tan1
2
2
2
abh