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－摩擦－ 箱の横滑り
●滑りのメカニズム
・下図で
Ｔ：滑動力（すべり面に平行な力／せん断力） ・・＞ Ｔ＝横力Ｆ
Ｎ：拘束力（すべり面に垂直な力／垂直力） ・・・＞ Ｎ＝自重Ｗ
Ｔf：摩擦抵抗力（箱に床から作用する滑り抑止力）
・・・ 拘束力Ｎに比例する ・・・＞ Ｔf＝μＮ
μ：摩擦係数（μ＝tanφ，φ：摩擦角）
横力Ｆ
Ｔ
Ｎ＝W（自重）
Ｔf＝μＮ
※φ：｢すべり角｣に対応
次図でブロックがすべり
出す時の傾斜角
θ＝φ （Ｆs＝1）
※摩擦抵抗力Ｔf は、滑り面に働く垂直力N（拘束力）に比例する
－摩擦－ ブロック滑り
●ブロック滑りのメカニズム
・滑動力成分：Ｔ＝Ｗsinθ
・拘束力成分：Ｎ＝Ｗcosθ
Ｔ＝Ｗsinθ
θ
θ
Ｔf＝μＮ
・摩擦抵抗力：
Ｔf＝μＮ＝μＷcosθ
Ｎ＝Ｗcosθ
Ｗ
●すべり安全率：
W cos  tan  tan 
Fs 


T
W sin 
tan 
Tf
※Ｆs＝1 （θ＝φ）
で滑る
・・・＞ 摩擦抵抗はブロック重量Ｗ，接触面積Ａに無関係
※斜面上のブロックは（外力の作用がなくても）自重だけで滑る
－摩擦－ 例題-(1)-
●問題
重りＱが角α傾斜する床上で重りＰと滑車を介して連結
されている。床の摩擦角をφとして、滑り出す限界の力
比Ｐ/Ｑを求めよ。α＞φ とする。
＊Ｐ/Ｑ大の時
＊Ｐ/Ｑ小の時
Ｑ
Ｐ
α
※重りＱは、Ｐ/Ｑ大のとき滑り上がり、Ｐ/Ｑ小のとき滑り落ちる
－摩擦－ 例題-(1)解答-
①Ｐ/Ｑ小 ～ Ｑが滑り落ちる
②Ｐ/Ｑ大 ～ Ｑが滑り上がる
Ｐ－Ｔ－μＮ＝0
T－Ｐ－μＮ＝0
↓ 両条件とも、Ｔ＝Ｑsinα，Ｎ＝Ｑcosα ↓
(Ｐ/Ｑ)min＝sinα－μcosα
Ｐ/Ｑ小
Ｐ
Ｔ
Ｔf＝μＮ
R
(Ｐ/Ｑ)max＝sinα＋μcosα
Ｐ/Ｑ大
Ｑ
Ｎ
α
α
Ｐ Ｑ Ｎ
落ちる
Ｔ
Ｔf＝μＮ
（反力：R＝N）
R
α
上がる
α
※Ｐ/Ｑ値により２つの滑り出し条件（摩擦抵抗力の方向が異なる）
－摩擦－ 例題-(2)-
●問題
重さＷ1及びＷ2の２つのブロックを糸でつなぎ、上のブ
ロックを図のように引張るとき、滑りを発生させる引張力
Ｐの最小値とその方向αを求めよ。
Ｐmin
Ｗ1
α
Ｗ2
※各ブロックに作用する力を矢印で描くことが解答の第一歩
－摩擦－ 例題-(2)解答-
＊各ブロックが滑り出す条件式
①： Ｐcosα－Ｆcosβ＝Ｓ1＝μ(Ｗ1－Ｐsinα＋Ｆsinβ)
②： Ｆｃosβ＝Ｓ2＝μ(Ｗ2－Ｆsinβ)
両式からＦ，βを消去し、Ｐの最小条件を調べる （①＋②）
Ｐ＝(Ｗ1＋Ｗ2)・sinφ/cos(α－φ)
→ Ｐmin＝(Ｗ1＋Ｗ2)sinφ （α＝φのとき）
① Ｗ1
② Ｗ2
Ｆ
β
Ｓ2
α
Ｆ
Ｓ1
Ｐmin
・糸の張力Ｆ
・傾角β
※①，②を結ぶ糸の張力Ｆと傾斜角βは、Ｐminを代入して逆算する
－摩擦－ 例題-(3)-
●問題
２つのブロックが糸に結ばれて角度αの斜面上にある。
各ブロックの摩擦係数が異なるとき、Ｗ1＝Ｗ2＝Ｗとして、
ブロックが滑り始める角度αを求めよ。
②
Ｗ2
①
μ2
Ｗ1
μ1
α
※ブロック①，②が滑り出す２つの条件式を立て、連立して解く
－摩擦－ 例題-(3)解答-
＊糸の張力をＦと置くと、各ブロックのすべり条件は
①： Ｔ－F＝μ1Ｎ
← Ｔ＝Ｗsinα，Ｎ＝Ｗcosα
②： Ｔ＋Ｆ＝μ2Ｎ
①＋②でＦを消去して整理すると
2tanα＝μ1＋μ2 → tanα＝(μ1＋μ2)/2
Ｗ
Ｔ
μ2Ｎ
Ｎ ②
Ｆ
Ｗ
Ｆ
Ｎ
①
Ｔ
μ1Ｎ
α
※式①，②とも、すべり面に平行な方向の力のつり合い条件式
－図心・荷重中心－ 単純図形の図心
＊長方形
＊三角形
ｂ/2
C
ｂ/2
ｈ
C
C
ｈ/3
ｂ/2
ａ/2 ａ/2
＊２つの対称軸
C
＊楕円形（円形）
ｂ/2
＊直方体
＊点対称
C
※図心＝幾何学的な中心、重心＝重力の中心（自重の合力が通る点）
－図心・荷重中心－ 任意形状の図形
●断面一次モーメントと図心位置
・個々の要素のモーメントの和
・全面積×図心位置
Gx  ( x  dA)   x  dA  A  xc
 xc
x  dA


 dA
yc
y  dA


 dA
・同様に
dＡ
y
ｃ（ｘｃ，ｙｃ）
・全面積： A  dA 
x
 dA
※個々の要素のモーメントの和は、図形全体のモーメントに等しい
－図心・荷重中心－ 三角形の図心-(1)-
●三角形の図心位置を求める
＊三角形頂点からの図心位置
ｈ
ａｙ
図心：ｙc
ｙ
2
A  yc  M  yc  h
3
ｄｙ
Ａｙ
・三角形の全面積： A 
ah
2
・頂点から ｙ位置の微小面積Ａｙ
ａ
・三角形の頂点回りの断面一次モーメント
a 
Ay  a y  dy   y   dy
h 
h
a 2
a  y3 
ah 2
a 
M   Ay  y   Ay  y    y   dy  y   y dy    
h 
h0
h  3 0
3
0
0
h
h
h
※全面積Ａ×図心ｙc＝全図形の断面一次モーメントＭ（微小Mの和）
－図心・荷重中心－ 三角形の図心-(2)-
●下辺からの図心位置 ～ 二等分線との関係
二等分線
＊下辺からの図心位置
ｈ
Ａｙ
図心：ｙc
ｄｙ
ｙ
ah
1
 yc  M  yc  h
2
3
・下辺から ｙ位置の微小面積Ａｙ
a

Ay   ( h  y )   dy
h

ａ
・下辺回りの断面一次モーメント
h
a
a  hy
y 
ah 2
a

M    (h  y ) dy  y   (h  y ) y  dy  
  
h
h0
h 2
3 0
6

0
h
h
2
※三角形の図心高さｙcは、辺に垂直な線上で（h/3 or 2h/3）
3
－図心・荷重中心－ 図心の求め方-(1)-
●２つの三角形に分割
ａ
・三角形(１) 面積：Ａ1＝ａｈ/2
図心：ｙ1＝(2/3)ｈ
・三角形(２) 面積：Ａ2＝ｂｈ/2
ｈ
Ａ1
1
図心：ｙ2＝(1/3)ｈ
＊全面積：Ａ＝Ａ1＋Ａ2
＝(ａ＋ｂ)ｈ/2
＊図心計算：Ａ×ｙc＝Ａ1×ｙ1＋Ａ2×ｙ2 →
（断面１次モーメントのつり合い）
ＡＡ2
2
ｙc
ｂ
2a  b
yc 
h
3(a  b)
※複雑な図形の図心は、図心が容易に知れる図形に分割して求める
－図心・荷重中心－ 図心の求め方-(2)-
●２つの三角形と四角形に分割
・三角形(１) 面積：Ａ1＝ｂ1ｈ/2
図心：ｙ1＝(1/3)ｈ
・四角形
面積：Ａ2＝ｂ2ｈ
ｈ
図心：ｙ2＝(1/2)ｈ
Ａ1
Ａ2
Ａ2
ｙc
Ａ3
・三角形(２) 面積：Ａ3＝ｂ3ｈ/2
図心：ｙ3＝(1/3)ｈ
ｂ1
＊ｂ2＝ａ， ｂ1＋ｂ3＝ｂ－ａ として →
ｂ2
ｂ3
2a  b
yc 
h
3(a  b)
※ｙcを求める場合、分割した各図形の図心（ｙi）も下辺から測る
－図心・荷重中心－ 図心の求め方-(3-1)-
●図形の”和” として求める場合 （①＝②＋③）
10
①
ｘc
ｙc
8
10
22
30
8
26
②
③
③Ａ3＝220
ｘ3＝21，ｙ3＝19
②Ａ2＝208
ｘ2＝13，ｙ2＝4
26
428×ｘc＝208×13＋220×21 → ｘc＝17.1
428×ｙc＝208×4＋220×19
※ｘc，ｙcは左下隅点から測っている
→ ｙc＝11.7
－図心・荷重中心－ 図心の求め方-(3-2)-
●図形の”差” として求める場合 （①＝②－③）
ｘc
10
③Ａ3＝352，ｘ3＝8，ｙ3＝19
①
③
ｙc
8
26
30
②
26
16
②Ａ2＝780， ｘ2＝13，ｙ2＝15
428×ｘc＝780×13－352×8 → ｘc＝17.1
428×ｙc＝780×15－352×19 → ｙc＝11.7
※面積も断面１次モーメントも差で計算する
22
－図心・荷重中心－ 図心の求め方-(4-1)-
●図形の和・差として求める
・面積： Ａ1＝Ａ2＋Ａ3－Ａ4
・図心： Ａ1×ｘc＝Ａ2×ｘ2＋Ａ3×ｘ3－Ａ4×ｘ4 → ｘc
①
ｘc
＝
②
ｘ2
ｘ3
③
－
④
ｘ4
※面積・図心とも、図形①＝三角形②＋四角形③－三角形④ で求める
－図心・荷重中心－ 図心の求め方-(4-2)-計算例
（問）擁壁の図心位置（ｘｃ，ｙc）を例示した方法で求めよ。
（Ｈ＝5.4m，Ｂ＝3.0m，ｂ＝0.6m）
ｂ
＊数値表
Ａi (m2)
ｘi(m)
ｙi (m)
Ａi・ｘi
Ａi・ｙi
図形②
図形③
Ｈ
1
0.3
ｙc
図形④
合計
Ａ
O
ｘc
Ｂ
Ａ・ｘc Ａ・ｙc
＊答え
ｘc＝2.60m，ｙc＝2.10m
※数値表を作成して、穴埋め整理しながら計算する
－図心・荷重中心－ 合力と荷重中心-(1)-
荷重強度 ｑ（ｘ）
ｑ
●合力Ｑ → 分布の面積
Q   dQ   dQ   q ( x)dx
A
B
●合力Ｑの作用位置 ｘc
→ 分布の図心
Q  xc   dM  dQ  x
ｘ
ｑ（ｘ）
  q( x)dx  x   q( x) x  dx
xc
q( x) x  dx  q( x) x  dx



Q
 q( x)dx
ｘc
ｘ
Ｑ
ａ
dＱ
ｑ（ｘ）
A
ｂ
dｘ
※分布荷重の合力は分布の面積、荷重の中心は分布の図心で求まる
B
－図心・荷重中心－ 合力と荷重中心-(2)-
ｘc
●不連続荷重
Q  Q1  Q2
Q1  x1  Q2  x2
xc 
Q
ｘ2
ｘ1
Ｑ1：正荷重
Q  Q1  Q2
・合力もモーメントも符号を考慮
して加算する
Ｑ2
Ｑ1
●正・負の荷重
Q1  x1  Q2  x2
xc 
Q
Ｑ
ｘ1
Ｑ
Ｑ2：負荷重
ｘc
ｘ2
※不連続や正負の分布荷重は、分割して個々の合力の加減算で求める
－図心・荷重中心－ 例題-(1)線荷重-
●線荷重の中心：ｘc
Ｑi (kN)
ｘi(m)
Qi・ｘi
左分布
7.68
3.2
24.6
右分布
3.84
5.6
21.5
合計
11.5
46.1
3.2kN/m
＊左分布の計算：
4.8m
2.4m
ｘ
Ｑ＝11.5kN
Ｑ1＝7.68kN
Ｑ2＝3.84kN
2 x 7.68kN
 3.2 
q( x)  
x 
3
 4.8 
 q( x) xdx  
4.8
0
3.2m
4.01m
4.8
x 
 2x 
Q    dx   
0
 3 
 3 0
2
4.8
5.6m
 2x2 

dx
 3 
4.8
24.6kN-m
 2 x3 


9

0
※分布荷重の合力は分布の面積、荷重の中心は分布の図心で求まる
－図心・荷重中心－ 例題-(2)水圧合力・作用位置-
●問題
図の水門に作用する水圧の合力と作用位置を求めよ。
ｈ1＝10ｍ，ｈ2＝20ｍ とする。
●水圧分布
ｈ1
ｚ
・深さｚの水圧ｐw（ｚ）
ｐw（ｚ）＝γw×ｚ
（γw＝9.80kN/m3）
ｐw1
ｈ2
H
水門
・ｐw1＝98.0kPa
・ｐw2＝196.0kPa
ｐw2
※水門に働く水圧は、上下辺が（ｐw1，ｐw2）、高さＨの台形分布
－図心・荷重中心－ 例題-(2)水圧合力・作用位置-
●（分割1）三角形と四角形
Ｐw1＝ｐw1×Ｈ＝980kN/m
ｚ1＝Ｈ/2＝5ｍ
Ｐw2＝(ｐw2－ｐw1)×Ｈ/2＝490kN/m
ｚ2＝(2/3)Ｈ＝6.67m
●（分割2）２つの三角形
Ｐw1＝ｐw1×Ｈ/2＝490kN/m
ｚ1＝Ｈ/3＝3.33ｍ
Ｐw2＝ｐw2×Ｈ/2＝196kN/m
ｚ2＝(2/3)Ｈ＝6.67m
→ Ｐw＝Ｐw1＋Ｐw2＝1470kN/m
ｚc＝(Ｐw1×ｚ1＋Ｐw2×ｚ2)/Ｐw＝5.56m
ｐw1
Pw1
ｚ1
Pw2
ｐw2
ｐw1
Pw1
ｚ
ｚ1
ｚ2
2
Pw2
ｐw2
※上記の深さ（ｚ1，ｚ2，ｚc）は、分布の上面から測った値とする
－滑動・転倒－ 滑動-せん断すべり-
●滑動（摩擦抵抗と粘着抵抗）
・すべり抵抗力Ｔf （滑動阻止力）
T f  c A   N  c A  N tan 
Ｎ：垂直力（拘束力）
Ａ：構造物の底面積
ｃ：粘着力・付着力（kPa）
μ：摩擦係数（＝tanφ）
（φ：摩擦角）
※Ｎ＝Ｗ（自重）
Ｔ＝Ｆ（横力）
ｃ，μ（φ）
Ｆ
Ｎ
Ｔ
すべり抵抗力：Ｔf
＊滑動安全率： Fs 
Tf
T
← 滑動力Ｔ
（水圧・土圧など）
※土質力学の安定問題は、構造体の｢滑動（横滑り)｣と｢転倒（倒壊)｣
－滑動・転倒－ 転倒-回転倒壊-
●転倒 （構造物の倒壊）
・転倒（左回り）モーメント
ＭD＝Ｆ×ｈ
転倒：ＭD
抵抗：ＭR
ａ
・抵抗（右回り）モーメント
Ｗ
ＭR＝Ｗ×ａ
Ｆ
※ａ，ｈ：モーメントの足の長さ
ｈ
＊転倒安全率：
MR
Fs 
MD
A
回転軸
※図の転倒は、点Ａ回りのモーメントを比較して安全性を評価する
－滑動・転倒－ 例題-(1)水圧による滑動・転倒-
●問題
コンクリート壁の水槽に満水状態で貯水があるとき、壁の滑
動と転倒に関する安全率を求めよ。
60cm
γc＝24kN/m3
3m
壁重量：W
H
xc
3m
水圧合力：F
zc
A
底面接触抵抗
ｃ＝48.0kPa
μ＝0.450
3.2m
※壁に働く力は水圧Fと壁の自重Wで、Fが滑動・転倒の作用を及ぼす
－滑動・転倒－ 例題-(1)水圧による滑動・転倒-
＊壁に作用する水圧
・ｐ＝γwＨ＝58.8kPa の三角形分布
・合力：Ｆ＝γwＨ2/2＝176ｋＮ
6ｍ
F＝176kN
・作用位置：ｚc＝Ｈ/3＝2ｍ
ｚc＝2ｍ
＊壁の重量と作用位置（点Ａから）
58.5kPa
・四角形：Ｗ1＝86.4kN/m，ｘ1＝2.9m
・三角形：Ｗ2＝93.6kN/m，ｘ2＝1.73m
ｘ1
↓
壁の全重量：Ｗ＝180kN/m
図心：ｘc＝2.29m
Ｗ1
ｘ2
A
Ｗ2
※壁は図心が明確な三角形と四角形に分割してWとｘを計算する
－滑動・転倒－ 例題-(1)水圧による滑動・転倒-
①滑動安全率
cA    (W1  W2 ) 48  3.2  0.450  (86.4  93.6)
Fs 

F
176
235

 1.34
176
②転倒安全率
W1  x1  W2  x2 86.4  2.9  93.6 1.73
Fs 

F  zc
176  2
412

 1.17
352
※壁の効果は（W1，ｘ1）と（W2，ｘ2 ）に分割したまま計算する
－滑動・転倒－ 例題-(2)土圧による滑動・転倒-
●問題
Ｌ型壁の土圧に対する滑動・転倒安全率を求めよ。
50cm
γc
h/4
＝24kN/m3
ｈ＝5ｍ
3h/4
50cm
A
3.0m
ｐa＝20kPa
※壁は直立部と前底部の２つの四角形に分割して計算
底面接触抵抗
ｃ＝27.0kPa
μ＝0.340
－滑動・転倒－ 例題-(2)土圧による滑動・転倒-
ｘ1
＊壁の重量と作用位置
ｘ2Ｗ2
・Ｗ1＝ｂｈγ＝60ｋＮ，ｘ1＝2.75ｍ
・Ｗ2＝ｂ(Ｂ－ｂ)γ＝30ｋＮ，ｘ2＝1.25ｍ
A
＊壁に作用する土圧
Ｐ1
・Ｐ1＝ｐa・(ｈ/4)/2＝12.5ｋＮ，ｙ1＝4.17m
・Ｐ2＝ｐa・(3ｈ/4)＝75.0ｋＮ，ｙ2＝1.88m
Fs (滑動) 
cA    (W1  W2 ) 166

 1.90
P1  P2
87.5
W1  x1  W2  x2 203
Fs (転倒) 

 1.05
P1  y1  P2  y2 193
※土圧分布も三角形と四角形に分割して計算
Ｗ1
Ｐ2
ｙ1
ｙ2
※Ｗ，Ｐは単位奥
行当りで計算