応力とひずみ - FEM勉強会(FEMST)
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Transcript 応力とひずみ - FEM勉強会(FEMST)
第1回、平成22年6月30日
ー FEM解析のための連続体力学入門 -
1. 応力とひずみ
解説者:園田 恵一郎
第1回勉強会の概要
1.1 応力とは?
1.2 ひずみとは?
1.3 応力とひずみの関係
1.4 テンソルとは何か?
1.5 テンソルの演算則
1.6 主応力と応力不変量
1.7 モール円について
1.8 FEM解析での応力不変量の意義
1.9 材料特性の応力不変量による表現
応力とは何ですか?
応力は物体に働く内力でひずみを起こす
力である。
応力の単位:N/mm2、kgf/cm2で
単位面積当たりの力である。
ひずみとは?
変位、変形との違い?
v
u
U
v
U
U
u
変位
剛体変位
変形
ひずみは単位長さの要素の変形量である。
ひずみの定義
微小変位・ひずみ場:
xx
u
v
w
, yy
, zz
x
y
z
2 xy
v u
w u
u w
, 2 yz
, 2 zx
x y
x y
z x
有限変位・ひずみ場:
2
2
2
u 1
v
w
u
xx
x 2 x
x
x
v u
x y
u u v v w w
x y x y x y
2 xy
ベクトル表示:
ε xx
yy zz 2 xy
2 yz
2 zx T
2次元問題
微小変位場における応力とひずみ
直応力と直ひずみ
n'
n
m'
m
u(x,y)
せん断応力と
せん断ひずみ
ベクトル表示:
変位
σ x y xy t , ε x
y xy T
応力とひずみの関係
(1)平面ひずみ問題(トンネル、地盤など) εz=0
y
σ
z
z
線形弾性
非線形弾性
0
x
0
x
y
弾塑性
(2)平面応力問題(板、平面はりなど) σz=0
ε
0
x
材料のσ-ε曲線
x
z
z
y
y
平面応力問題( z 0 )
x
E
y
2
xy 1
1 0 x
1 0
z
0 0 1 xy
3次元応力問題
平面ひずみ問題( z 0 )
x
1
E
y (1 )(1 2 ) 1
xy
0
0
0 x
0 z
1 2
xy
2
線形弾性体の場合
x 2G
0 0 0 x
2
G
0
0
0
y
y
E
E
z
2G 0 0 0 z
,
G
(1 )(1 2 )
2(1 )
0
0
0
G
0
0
xy
xy
xz 0
0
0
0 G 0 xz
0
0
0
0
0
G
yz
yz
テンソルとは何か?
一定の直交座標変換則に従う物理量
x3
x3'
方向余弦:
pij cos(e i ' , e j ) ,i=1,2,3, j=1,
3
xi ' pi1 x1 pi 2 x2 pi3 x3 pij x j
j 1
ベクトル:変位、速度、力など
u i ' pij u j , Fi ' pij F j , i 1,2,3, j 1,2,3
3
k 1 l 1
ij ' pik p jl kl pik p jl kl
k 1 l 1
1'3
e1
1'2
e1'
x1
ij ' pik p jl kl pik p jl kl
3
e2'
e3'
1'1
3
3
x2'
e3
2,3
e2
p11 cos1'1
p12 cos12
p13 cos1'3
x1'
応力テンソル(2階)
ひずみテンソル(2階)
x2
応力またはひずみテンソル(2階)の要素
応力テンソル σij、
x3
1
x1
P
2
第2添字(j)は方向
11 12 13
ij 21 22 23
31 32 33
第1添字(i)は作用面
x2
対称性:σij=σji
ひずみテンソル
変位ベクトル u u1
u2
u 3 T
1 u i u j
ij (
)
2 x j xi
11 12 13
ij 21 22 23
31
32
33
xy
1 u 2 u1
(
)
注意: 12 2 x
2
1 x 2
テンソルの演算則
スカラー:
a
ベクトル:
ai
3
xi ' pij x j
総和規約: xi ' pij x j
j 1
ひずみエネルギー:
1 3 3
1
W ij ij ij ij
2 i 1 j 1
2
u1 / x1
u i
u
i, j u 2 / x1
微分: x
j
u / x
1
3
u1 / x 2
u 2 / x 2
u 3 / x 2
釣り合い式: ij, j X i 0
材料の構成則:
2階のテンソル: aij
単位テンソル:
1 0 0
ij 0 1 0
0 0 1
ij Eijkl kl
u1 / x3
u 2 / x3
u 3 / x3
ui, i u1 / x1 u 2 / x2 u3 / x3
i1 i 2 i3
X i 0, i 1,2,3
x1
x 2
x3
Eijkl :弾性構成テンソル(4階)
'
E ijkl
p im p jn p kr p ls E mnrs
主応力と応力不変量
n=(m,n,l)
つりあい条件
Sz
Sx
S x 11l 21 m 31 n
S y 12 l 22 m 32 n
S z 13 l 23 m 33 n
σ 12
σ11
主応力面
S x l , S y m, Sz n
Sy
y(2)
σ 13
x(1)
( 11 )l 12 m 13 n 0
21l ( 22 )m 23 n 0
31l 32 m ( 33 )n 0
固有方程式
3 I 1 2 I 2 I 3 0
Cardanoの方法で3実根σの決定
応力不変量
z(3)
I 1 11 22 33
I 2 ( 11 22 22 33 33 11 ) 12 2 13 2 23 2
11 12 13
I 3 21 22 23
31 32 33
主応力の大きさと方向の求め方
Cardanoの方法
3 I 1 2 I 2 I 3 0
(1)
3次方程式: ax3 bx 2 cx d 0とすれば
x=
a 1, b I1 , c I 2 , d I 3
x (b/3a) を代入すれば、 3 3 p q 0
(2)
ただし、 p (3ac b 2 ) /(9a 2 ), q (2b3 9abc 27a 2 d ) /(27a 3 )
式(2)の3根は、 1 3 3 , 2 3 2 3 , 3 2 3 3
1
1
(1 i 3 ), , (q q 2 4 p 2
2
2
11 i
21
31
12
13
22 i
23
32
33
D (4 p 3 q 2 ) 0
l i 0
mi 0 i 1,2,3
n 0
i
3実根
より li , mi , ni
を決定
2次元応力場での座標変換
σy
τyx
θ
τ xy
p
σx
σx
τ xy
τ yx
σy
x'-y'座標系
x-y座標系
σx、σy:直応力、τxyτyx:せん断応力
σx’、σy’:直応力、τx’y’τy’x’:せん断応力
共役関係:τxy=τyx, τx’y’=τy’x’
座標変換による応力の特性
ds
b
τxy
θ
dy
θ
σx
a
τyx
応力
x xy
σ p
yx
y
σ' p T σ p T '
c
σy
変位:
dx
x' x' y '
σ ' p
y ' x ' y '
T: 座標変換行列
2階のテンソル
1階のテンソル(ベクトル)
モール円と主応力(2次元)
x ' x cos2 y sin 2 xy sin 2
1
2
xy ' ( y x ) sin 2 xy cos 2
σ2
σx'
σy
τx'y'
τ xy
τy'x'
σx
α
p
τ xy
σ2
2α
σ1
0'
τxy
R
σ
τx'y'
2θ
1
σx
τ
半径:
2
中心:
x y
2
2
1 2
2
1 2
2
σx
τx'y'
σ2
σy
σp'
σp
x y
xy 2
R
2
σ1
σ1
2
x y
xy 2
2
2
x y
xy 2
2
σy=20N/mm2
σx
p
τxy
σx =-50N/mm2
τ xy=40N/mm2
τxy
σy=20N/mm2
応力不変量:
1次 I1 x y
2次
2
x y
xy 2
I 2
2
モール円の描き方と主応力
の求め方
例題
P
σBm
B
y
B
x
B
A
0
τAs
σ Am
A
曲げ応力
σBm
τBs
σBm
20/5
せん断応力
σ Am
20/5
B
α'
σ Am
A
τBs
σ2
τBs
τ As
5 σ2
τBs=5N/mm
2
σ1
0'
2α
5
σBm=-20N/mm
0'
2
A
B
-20
τ
20
σ
5
2α'
σ1
α
2
σ Am =20N/mm
τ As=5N/mm
2
I 1 11 22 33
偏差応力:
I1
sij ij ij
3
1 3 3
偏差応力の2次不変量 J 2 sij sij
2 i 1 j 1
11 12 13
I 3 21 22 23
31 32 33
σ3
τmax
σ
P
σ2
Fuction( 1 , 2 , 3 ) 0,
σ1
τ
材料強度の特性
Function( I1 , I 2 , I 3 ) 0
3次元モール円と応力不変量の意義
応力不変量の意義?鋼材の降伏規準
2軸応力状態でのコンクリートの破壊基準
Ottosenの基準(1977)
f ( I 1 , J 2 , cos 3 )
Ottosenの基準
実験値
a
J2
2
f c'
J2
2
f c'
:相似角
b
I1
f c'
1 0
Drucker-Prager式
π平面上
主応力空間
モール・クーロン式
Drucker-Prager式
f (I1 , J 2 ) I1 J 2 k 0
1
f ( I 1 , J 2 , ) I 1 sin J 2 sin( )
3
3
J2
cos( ) sin c cos 0, ただし 0
3
3
3
汎用ソフト:MSC.Markでの取り使いの留意点
適用降伏・破壊基準:
(1)線形モール・クーロン式(Drucker-Prager式)
材料係数:
c
3(1 12 )
2 1/ 2
f I 1 J 12 / 2
3
(1 3 2 )1 / 2
sin
(2)放物線モール・クーロン式
0
3
と粘着力と内部摩擦角に関
連付けているが,これは平
面ひずみ問題のみに適用
できる.Tension cutoffが
必要である.
f (3J 2 3I1 )1/ 2 0
(3)Buyukozturk式
f 3I1 I12 3J 2 2 0
(注)高3軸圧縮応力問題には適用できない.
硬化則は等方硬化則,移動硬化則が紹介されているが,これらは適用できないので,前
述の混合硬化則の定式化が必要になるものと思われる.