Transcript 最短ネットワーク問題：シュタイナー問題

最短ネットワーク問題：シュタイナー問題
３－G ０２３１４５
長谷川 和弘
最短ネットワーク問題とは？
線的な施設の最適配置
（水道、電気、ガス、電話、石油パイプラインなど）
ボロノイ図
例 日本主要４６都市を結ぶ光ケーブル網
東京、名古屋、新潟の３都市を結ぶ
＜条件＞
２地点を結ぶケーブルは、ほぼ直線で結べる
ケーブル敷設コストは地形の影響を受けず、１ｋｍ
当たり１０００万円
ケーブルの途中どこでも分岐点を設置でき、分岐
点の敷設コストはなし
建設コストCを比較すると…
ａ：C＝（253km+261km）ｘ1000万/km＝51億4000万円
ｂ：C＝（252km+261km）ｘ1000万/km＝51億3000万円
ｃ：C＝（95km+238km+170km）ｘ1000万/km＝50億3000万円
距離を最短にするには？
→３点の分岐点を１２０度にする
ｄ：C＝（79km+210km+205km）ｘ1000万/km＝49億4000万円
分岐点を実際に求めるには？
トリチェリの作図法
１ 東京、名古屋、新潟を３頂点とする三角形ABCを書
く。
２ 辺AB、BC、CAのうち１つを選び、その辺を１辺とす
る正三角形を残りの頂点の反対側に作る。いま、辺
ABを選び、正三角形ABXをつくったとする。
３ 残りの頂点CとXを結びCXと正三角形ABXの外接
円との交点を求める。この点Sが求める分岐点の位
置で、点Sをシュタイナー点という。ちなみに
SA+SB+SC＝CXが成り立っている。
シュタイナー問題
平面上にP1、・・・、Pnが与えられたとき、これらを線
分で結ぶ最短ネットワークを作れ。ただし、任意の
点Q1、・・・、Qnを任意の位置に付け加えてもよい（ｎ、
ｍは自然数）
NP完全問題
ｎ＝３のときは先ほどの場合でOKだが、ｎが４以上の
場合はメルザグの方法が最も効率がよい。
P1～Pnがあり新たに付け加えた点Q1～Qnを少し
動かしてもネットワークが短くならない、また各点を
結ぶ線分のうち、どれを取り除いてもネットワークが
二つに分かれてしまうネットワークをT木と呼び、最
短ネットワークをS木と呼ぶ。
メルザグの方法は与えられたP1～Pnに対してT木
をすべて列挙し、長さ最小のS木を求めるというもの
である。
ちなみにT木の数はｎが増えるにつれ膨大になって
いくので、現在の計算機を使っても、ｎ＝２９までが、
解ける問題の大きさの限界だといわれている。
シュタイナー問題を発見的に解く方法
シュタイナー問題はｎ＝２９までしか解けないので、
日本全国の主要４６都市を結ぶ最短ネットワークは
解けない。そこで距離は同じか少し長くなるS’木を求
めることにする。
１ P1～Pnに適当なQ1～Qｍを付け加え最小木を作
る。
２ Q1～Qｍを少しずつ動かし、この最小木の長さ
を少しずつ減少させていく。
３ Q1～Qｍを少し動かしても長さが減らなくなった
ら、Qiを新たに付け加えたり削除したりする。そして
またQ1～Qｍを少しずつ動かし、この最小木の長さ
を少しずつ減少させていく。
４ この操作を繰り返し、もう付け加えたり、削除する
QiがなくなったらそれをS’木とする。
まとめ
最初に述べた計画の日本全国の主要４６都市を結
ぶ最短ネットワークは、最小木を用いると、
３４２５ｋｍ ｘ １０００万/ｋｍ ＝ ３４２億５０００万円
となり、S’木を用いると、
３２７５ｋｍ ｘ １０００万/ｋｍ ＝ ３２７億５０００万円
となり４％ネットワークを短くでき、１５億円コストダ
ウンが出来る。もちろん、実際の計画には他に考慮
すべき点が多々あるが、これは実際の計画をたてる
さいにひとつの目安を与えてくれるのではないだろ
うか。