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関数の初歩としての倍概念
－分数の乗法を目指す教材系列－
日本カリキュラム学会第25回（関西大学）大会
2014年6月29日10:50～11：15
自由研究発表 C103
正 田
良
国士舘大学文学部
関数の初歩としての倍概念
発表概要
倍操作を含む関数の初歩を、小学校の算数の中に正統に（意識的
に）、かつ、系統的に（数学的にも、認識論的にも）扱うことを提
案する。
分数の乗法は、単元の導入とねらいとが乖離する。子どもにとっ
て、実は授業者にとっても、量を表す数を扱っていたはずが、知ら
ないうちに、倍操作という数に比べて抽象度が高いものを扱わされ
ている。この抽象化は、分数を扱っている途中で無自覚に行われる
べきものではない。
その倍操作が関わる授業書のプランについて、DIMEプロジェクト
（1980年代のスコットランドの草の根の教材開発）を参考にしたも
のを例に提案する。
１．分数の乗法の教えにくさ
単元の冒頭では、例えば、
1
1
dL あります。
4
7
1
これで、 2 ㎡の壁を塗ることはできるでしょうか。
2
1dL で、1 ㎡の壁を塗ることができるペンキが、2
と文章題が提示される。これから扱おうとする計算操作に対応する事象を示し、
現実世界と計算とを関連付けるためである。
一方、この単元の目標としては、「分数の乗法は、分子どうしの積を分子と
して、分母どうしの積を分母とする分数である」ことを知り、約分などを含む
計算技能を習熟させることが挙げられる。
道草学習のすすめ
～公的カリキュラムへの挑戦！～
より(「分数の割り算」での検索)
「おもひでぽろぽろ」という映画がある。
ジブリの映画で
主人公のタエコが回想シーンの中でリンゴをフォークでつつきながら
「３分の１を４分の１で割るっていうのは…」とつぶやく印象的なシーンがあ
る。
それに対して、タエコの姉は「ひっくり返して、掛ければいいのよ。ほら、
こうして」と答える。
だけど、タエコは納得できないのだ。「えっ、だけど、リンゴ３分の１を４
分の１で割るんでしょ。だから、リンゴはうんと小さくなって‥‥。どうして
増えちゃうのよ」
しかし、算数の得意な姉は続ける。「そんなこと考えなくていいの、ひっく
り返せば…」と。このような思いをだれもが一度か二度、抱いたことがあるの
ではないだろうか。
http://blog.livedoor.jp/yoursong2005/archives/50621680.html
２. 帯分数と仮分数の対立
• 分数の定義
分数は、ペアノの公理によって定義される自然数体 N を用いて次のように定義
される。
整数： Z＝{ m  n | m  N,
n N
}，有理数：
Q=｛
m
| m Z，n N｝
n
• 括線の上と下で分けること（約分での便宜）
筆算を教える際にも、位を揃えて、くりあがりなどがしやすいように
という、形式を工夫することの「よさ」を教えている
（配布資料にはありませんが、予稿集によってこのページを補います）
（分数×分数）の前に関数の初歩を取り込む
• 分数を掛けるということを、数を掛けるのでは
なく、整数倍操作と等分操作の合成としてとら
えられるようにする。
• 被乗数に対する操作を、旗の図のような図と
して、形にする。
３.「倍概念」への注目
「倍」は小学校２年生では、何個分の言い換えとしての意
味しか持たない。しかし学年を経るにつれ、関数の初歩と
しての意味を取り込んでいく。
藤枝美智子（1983）は、「倍は、もともと関数なの
です。ですから量×量の乗法の意味がわかり使い
こなせるようになってから、5，6年生あたりでと
りあげた方がよいのです。」
４．関数を表す半具体物
関数は、
物－（量に注目）→ 数
－（数と数の関係に注目）→ 関数
－（ 関数の関係に注目）→ 関数の演算子
の抽象度系列の途中（礒田正美、1987）。
教具論：松下佳代(1985)
［具体物］－［準具体物］－［半具体物］－［記号］
ここでの準具体物としては、具体物との形態的類似性を持つものとして、半
具体物としては、記号との統辞体系の共通性が求められる。
以下、少し具体的に小石を並べます
３本の旗の合成を考えます。
×3
×2
÷3
入力
5
2
7
それぞれの出力を計算しましょう。
授業書を作成する試みについては、須田・酒井（2002）に啓発されることが大き
かった。須田・酒井は「単位分数」を基軸のひとつとしているが、ここでは、「関数
の初歩」としての四則という立場から、「倍」と「等分」とし、単位分数は、「倍」と
「等分」の合成の中での退化型として扱った。
旗の入れ替えと置き換えから、商分数へ
整理番号
メニュー項目
具体例
（１）
どちらも＋の 2 枚
[＋2]→[＋3]
＝[＋5]
加法の結合法則。
（２）
どちらも－の 2 枚
[－2]→[－3]
＝[－5]
減法は加法の逆と（１）。
（３）
＋
[＋5]→[－3]
＝[＋2]
[＋5]を[＋2]と[＋3]に分けて、後者
と
－
の混在
その根拠
を[－3]とキャンセルする。
※数の大小の場合によっ
て、[＋M]になったり[－
[＋5]→[－9]
＝[－4]
[－9]を[－5]→[－4]とみて、前者を
[＋5]とキャンセル。
M]になったりする。
（４）
どちらも×の 2 枚
[×2]→[×3]
＝[×6]
乗法の結合法則
（５）
どちらも÷の 2 枚
[÷2]→[÷3]
＝[÷6]
除法は乗法の逆と
（６）
×
[×12]→[÷4]
＝[×3]
[×12]を、[×3]→[×4]とみなして、
[÷3]→[×12]
＝[×4]
キャンセル。
[÷12]→[×4]
＝[÷3]
上と同様。
[×3]→[÷12]
＝[÷4]
と
÷
の混在
(1)
（７）
×
と
÷
の混在
(2)
（８）
×
と
÷
の混在
(3)割り切れない場合
[÷3]→[×2]
＝？
（資料 C 参照）
[÷3]→[×2]
（４）
。
とはものを 3 等分し
たものを、2 倍することです。これ
を分数で、『
2
にする』と言いまし
3
た。また、２倍にしてから３等分し
た結果です。
分数の乗法までに行っておきたい内容
そこで、
[×
A
C
] → [× ]
B
D
を示すことができる。
＝
[×Ａ]→[÷B]→[×C]→[÷D]
＝
[×Ａ]→[×Ｃ]→[÷B]→[÷D]
＝
[×（Ａ×Ｃ）]→[÷（Ｂ×Ｄ）]
＝
[×
Ａ Ｃ
]
Ｂ Ｄ
授業書全体の構想（その１）
配当時数
I
１.
主な内容
表１など
先習を要
との関連
する内容
06～12
等分除
・｛入力・出力の組｝から四則の１
13～15
包含除
回で表わされる操作を選ぶ。
資料 A
・「２倍してから５を足す」という
16～19
関数の初歩
数の対応
（２H）
・入力と操作から出力を当てる
・出力と操作から入力を当てる
II
２.
関数の合成と関数の逆
操作の合成
（１／１）
ような操作を扱う。
・入力と旗の並びから、出力、旗の
並びと出力から、入力を当てる
・入力と出力の組と、一か所を欠い
た旗の並びから、欠けた旗を当て
る。
授業書全体の構想（その２）
II
関数の合成と関数の逆（承前）
２.
操作の合成
（１／１）
・入力と出力の組となるように、並
べるべき旗の組を、適切に並べ直
す。
３.
逆操作
（１H)
・逆移動で表示される旗の裏。
20，21
４.
合成関数の逆
（２H）
・[×２]してから[＋３]の逆は、
23～25
[－３]してから[÷２]すること。
III
複数の旗を１本にまとめる
５．加法と減法の旗の
並び
（３H)
・ ［＋６］
と ［－２］ とを
表 ２ の
加法の交
並べる。それと同等な機能を持つ１
（１）～
換法則・結
本の旗を求める。
（３）
合法則
・並びから、それと同等な１本を当
てる。
・同等な１本と、並びのうちの１本
から、残りの１本を当てる。
・旗の並びが、
［+M］と［－N］ の
形のもののみのときには、旗の順を
自由に入れ替えることができるこ
と。
授業書全体の構想（その3）
６.乗法と除法の旗の並
（４H )
（資料 B の授業書）
表 ２ の
乗法の交
び（整数の範囲で割り
（４）～
換法則・結
切れる場合）
（７）
合法則
・分数の形式でまとめて、見通しよ
表 ２ の
同じ大き
く約分のような操作を行う。
（８）
さの分数
７.乗除法の旗の並びと
（２H）
商分数
・資料 C の授業書
８.分数倍の合成
（1H）
９.恒等変換
（1H)
・
［×M］は、
［×
［÷M］は、
［×
M
］と扱え、
1
1
］と扱える。
M
学習指導計画の提案と標準的な時間配当と比較
提案
東書
啓林
テーマ
内容の補足
復習と準備運動
小数のかけ算，割合など
1
操作の合成でのキャンセル
約分参照。また表 3
2
分数倍の合成
表3
III８.参照。
3
恒等変換（特殊な場合としての整数倍）
表3
III９.参照。
4
分数倍の逆操作
1
III７.参照。
5
1
2
分数を掛けることの意味
6
2
3
分数×分数の求め方（一般化）
3
5a
約分のある場合
提案では第 2 時に代える
7a
4
4
整数や帯分数を含む場合
提案では一部を第 3 時に
7b
6
5b
3 口の計算
7
6
逆数
8
7
練習
8
分数倍の意味。割合の第 2 用法
9
分数を使った面積の求め方
提案では第 5 時に扱う
積の大きさ
乗数が１未満だと縮小
8
5
10
9
9
11
確かめ
提案では第 4 時に代える
引用参考文献など
•
•
•
•
•
藤枝美智子（1983）「かけ算の導入」日本教職員組合（編）『さんすうの授業
第１階梯』一ッ橋書房､pp.149‐181。
礒田正美（1987）「関数の思考水準とその指導についての研究」『日本数学
教育学会誌』第69巻第3号，pp.2-12。
松下(野中）佳代(1985)「教具の構成に関する一考察」『教育方法学研究』
第11巻。
須田勝彦・酒井義信（2002）「学習プリント『倍と分布』と授業記録」『教授学
の探究』, 19: 25-75
（HSCAP http://hdl.handle.net/2115/13629）
正田 良（1989）『DIME授業書による楽しい数学』明治図書。
また、今回作成した授業書に関しては、二ノ宮夏奈・秋葉真子（国士舘大学文
学部初等教育専攻学生）との議論に負うところが大きい。ここに記して謝意を
表する。
連絡先など
正 田
良（しょうだ
りょう）
154-8515 世田谷区世田谷4-28-1
国士舘大学文学部初等教育専攻
[email protected]
この電子ファイルは、私のホームページの中の、「学会での発表」
http://kks-el01.sakura.ne.jp/ACD/index.htm に当分の間おくつも
りです。
ご清聴ありがとうございました。