Transcript Lista de exercícios: Funções – Problemas Gerais – Prof
Lista de exercícios: Funções – Problemas Gerais – Prof ºFernandinho Questões:
01.(Unesp) Apresentamos a seguir o gráfico do volume do álcool em função de sua massa, a uma temperatura fixa de 0°C. Baseado nos dados do gráfico, determine: a ) a lei da função apresentada no gráfico. b ) a massa (em gramas) de 30 cm 3 de álcool. 02.(Unesp) Ao ser inaugurada, uma represa possuía 8 mil 3 m de água. A quantidade de água da represa vem diminuindo anualmente. O gráfico mostra que a quantidade de água na represa 8 anos após a inauguração é de 5 mil 3 m . Se for mantida essa relação de linearidade entre o tempo e a quantidade de água em 3 m , determine em quantos anos, após a inauguração, a represa terá 2 mil 3 m . 03.(GV) Nos últimos anos, o salário-mínimo tem crescido mais rapidamente que o valor da cesta básica, contribuindo para o aumento do poder aquisitivo da população. O gráfico abaixo ilustra o crescimento do salário-mínimo e do valor da cesta básica na região Nordeste, a partir de 2005. Suponha que, a partir de 2005, as evoluções anuais dos valores do salário-mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste, possam ser aproximados mediante funções polinomiais do 1º grau, f(x) = a.x + b, em que x representa o número de anos transcorridos após 2005. a ) Determine as funções que expressam os crescimentos anuais dos valores do salário-mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste. b ) Em que ano, aproximadamente, um salário-mínimo poderá adquirir cerca de três cestas básicas, na região Nordeste? Dê a resposta aproximando o número de anos, após 2005, ao inteiro mais próximo.
04.(Unicamp) Em uma determinada região do planeta, a temperatura média anual subiu de 13,35ºC em 1995 para 13,8°C em 2010. Seguindo a tendência de aumento linear observada entre 1995 e 2010, qual deverá ser a temperatura média em 2012? 05.(Unicamp) O custo de uma corrida de táxi é constituído por um valor inicial Q 0 , fixo, mais um valor que varia proporcionalmente à distância D percorrida nessa corrida. Sabe-se que, em uma corrida na qual foram percorridos 3,6km, a quantia cobrada foi de R$8,25, e que em outra corrida, de 2,8km, a quantia cobrada foi de R$7,25. Com base nessas informações, calcule o valor inicial Q 0 . 06.(GV) Os gráficos abaixo representam as funções receita mensal R(x) e custo mensal C(x) de um produto fabricado por uma empresa, em que x é a quantidade produzida e vendida. Qual o lucro obtido ao se produzir e vender 1350 unidades por mês? 07.(Mack) A figura mostra os gráficos das funções custo total C(x) e receita total R(x) de uma empresa produtora de CDs. Se, produzindo e comercializando 960 CDs, o custo e a receita são iguais, qual será o lucro pela venda de 2000 CDs? (GV) O texto abaixo se refere às questões 08, 09 e 10. Paulo é um fabricante de brinquedos que produz determinado tipo de carrinho. A figura abaixo mostra os gráficos das funções custo total e receita, considerando a produção e venda de x carrinhos fabricados na empresa de Paulo. 08. Existem custos tais como: aluguel, folha de pagamento dos empregados e outros, cuja soma denominamos custo fixo, que não dependem da quantidade produzida, enquanto a parcela do custo que depende da quantidade produzida, chamamos de custo variável. A função custo total é a soma do custo fixo com o custo variável. Na empresa de Paulo, qual é o custo fixo de produção de carrinhos?
09. A função lucro é definida como sendo a diferença entre a função receita total e a função custo total. Paulo vai obter um lucro de R$2700,00 na produção e comercialização de quantos carrinhos? 10. A diferença entre o preço pelo qual a empresa vende cada carrinho e o custo variável por unidade é chamada de margem de contribuição por unidade. Portanto, no que diz respeito aos carrinhos produzidos na fábrica de Paulo, qual é a margem de contribuição por unidade? 11.(Unesp) Numa fazenda, havia 20% de área de floresta. Para aumentar essa área, o dono da fazenda decidiu iniciar um processo de reflorestamento. No planejamento do reflorestamento, foi elaborado um gráfico fornecendo a previsão da porcentagem de área de floresta na fazenda a cada ano, num período de dez anos. Esse gráfico foi modelado pela função f(x) ax bx 200 c , que fornece a porcentagem de área de floresta na fazenda a cada ano x, onde a, b e c são constantes reais. Com base no gráfico, determine as constantes a, b e c e reescreva a função f(x) com as constantes determinadas. 12.(Unesp) O desenvolvimento da gestação de uma determinada criança, que nasceu com 40 semanas, 50,6 cm de altura e com 3.446 gramas de massa, foi modelado, a partir da 20ª semana, aproximadamente, pelas funções matemáticas h(t) = 1,5t – 9,4 e p(t) 3,8t 2 72t 246 , onde t indica o tempo em semanas, t ≥ 20, h(t) a altura em centímetros e p(t) a massa em gramas. Admitindo o modelo matemático, determine quantos gramas tinha o feto quando sua altura era de 35,6 cm. 13.(GV) O gráfico de uma função quadrática f(x) tem as seguintes características: - O vértice é o ponto (4, - 1). - Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5, 0). Qual é o ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas? 14.(Unesp) Qual é a expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado abaixo?
15.(Unicamp) Durante um torneio paraolímpico de arremesso de peso, um atleta teve seu arremesso filmado. Com base na gravação, descobriu-se a altura (y) do peso em função de sua distância horizontal (x), medida em relação ao ponto de lançamento. Alguns valores da distância e da altura são fornecidos na tabela abaixo. Seja y(x) = ax 2 bx c , a função que descreve a trajetória (parabólica) do peso. a ) Determine os valores de a, b e c. b ) Calcule a distância total alcançada pelo peso nesse arremesso. 16.(Unicamp) Uma grande preocupação atual é a poluição, particularmente aquela emitida pelo crescente número de veículos automotores circulando no planeta. Ao funcionar, o motor de um carro queima combustível, gerando a ) Considere um carro que, trafegando a uma determinada velocidade constante, emite 2,7 kg de CO a cada litro 2 de combustível que consome. Nesse caso, quantos quilogramas de CO ele emitiu em uma viagem de 378 km, 2 sabendo que fez 13,5 km por litro de gasolina nesse percurso? b ) A quantidade de para o carro em questão, a função c(v) que fornece a quantidade de para velocidades entre 20 e 40 km/h, seja dada por uma função do segundo grau. Determine essa função com base nos dados da tabela abaixo. 17.(Unicamp) Um jogador de futebol chuta uma bola a 30m do gol adversário. A bola descreve uma trajetória parabólica, passa por cima da trave e cai a uma distancia de 40m de sua posição original. Se, ao cruzar a linha de gol, a bola estava a 3m do chão, qual foi a altura máxima por ela alcançada? 18.(Unesp) O gráfico representa uma função f que descreve, aproximadamente, o movimento (em função do tempo t em segundos) por um certo período, de um golfinho que salta e retorna à água, tendo o eixo das abscissas coincidente com a superfície da água. a ) Sabendo que a parte negativa do gráfico de f é constituída por segmentos de retas, determine a expressão matemática de f nos instantes anteriores à saída do golfinho da água. Em que instante o golfinho saiu da água? b ) A parte positiva do gráfico de f é formada por parte de uma parábola, dada por f(t) 3 4 t 2 6t 9 quantos segundos o golfinho ficou fora da água e a altura máxima, em metros, atingida no salto. . Determine
19.(GV) Quando o preço do ingresso para uma peça de teatro é p reais, o número de pessoas que comparecem, por apresentação, é x. Sabe-se que p relaciona-se com x mediante a equação p = 800 – 4x. Nessas condições, qual é a receita máxima que se pode obter, por apresentação? 20.(GV) Segundo um analista de mercado, nos últimos 7 anos, o preço médio dos imóveis por metro quadrado (em R$100) pode ser representado pela equação abaixo (em que t representa o tempo, em anos, variando de t = – 3 em 2004 a t = 3 em 2010): Preço(t) = 3 t 2 6 t 50 De acordo com o analista, houve uma crise no mercado imobiliário nesse período, em um ano em que o preço dos imóveis por metro quadrado atingiu o valor Maximo, decaindo no ano seguinte. Em que ano ocorreu a referida crise? 21.(Unesp) Um ônibus de 40 lugares transporta diariamente turistas de um determinado hotel para um passeio ecológico pela cidade. Se todos os lugares estão ocupados, o preço de cada passagem é de R$ 20,00. Caso contrário, para cada lugar vago será acrescida a importância de R$ 1,00 ao preço de cada passagem. Assim, o faturamento da empresa de ônibus, em cada viagem é dada pela função f(x) = (40 – x).(20 + x), onde x indica o número de lugares vagos (0 ≤ x ≤ 40). Determine: a ) quantos devem ser os lugares vagos no ônibus, em cada viagem, para que a empresa obtenha faturamento máximo. b ) o faturamento máximo obtido em cada viagem. 22.(Unicamp) Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, a R$ 15,00 o quilograma. Uma pesquisa de opinião revelou que, a cada real de aumento no preço do quilo, o restaurante deixa de vender o equivalente a 5 kg de comida. Responda às perguntas abaixo, supondo corretas as informações da pesquisa e definindo a receita do restaurante como o valor total pago pelos clientes. a ) Em que caso a receita do restaurante será maior: se o preço subir para R$ 18,00 / kg ou para R$ 20,00 / kg? b ) Formule matematicamente a função f(x), que fornece a receita do restaurante como função da quantia x, em reais, a ser acrescida ao valor atualmente cobrado pelo quilo da refeição. c ) Qual deve ser o preço do quilo da comida para que o restaurante tenha a maior receita possível? 23.(GV) Uma loja de departamentos compra cartuchos para uma determinada impressora jato de tinta a R$28,00 a unidade e prevê que, se cada cartucho for vendido a x reais, serão vendidos 200 – 2x cartuchos por mês. a ) Encontre uma fórmula que fornece o lucro mensal em função do preço de venda x de cada cartucho. b ) Estabeleça matematicamente o intervalo dos valores de x para os quais existe efetivamente lucro. c ) Para que o lucro seja máximo, qual deve ser o preço de venda x de cada cartucho? d ) Qual será o lucro máximo e quantos cartuchos serão vendidos mensalmente ao preço que maximiza esse lucro?
24.(GV) A Editora Progresso decidiu promover o lançamento do livro “Descobrindo o Pantanal” em uma Feira Internacional de Livros, em 2012. Uma pesquisa feita pelo departamento de Marketing estimou a quantidade de livros adquirida pelos consumidores em função do preço de cada exemplar. Considere que os dados da tabela possam ser expressos mediante uma função polinomial do 1º grau y = a.x + b, em que x representa a quantidade de livros vendida e y, o preço de cada exemplar. a ) Que preço de venda de cada livro maximizaria a receita da editora? b ) O custo unitário de produção de cada livro é de R$8,00. Visando maximizar o lucro da editora, o gerente de vendas estabeleceu em R$75,00 o preço de cada livro. Foi correta a sua decisão? Por quê?
Resolução
25.(GV) A editora fez também um estudo sobre o lançamento do livro em duas versões: capa dura e capa de papelão. A pesquisa mostrou que, se a versão capa dura for vendida por x reais e a versão capa de papelão por y reais, serão vendidos, no total, 130 x 70 y ( x 2 y 2 ) exemplares das duas versões. Por uma questão de estratégia, o gerente de vendas decidiu que a versão capa dura deve custar o dobro da versão capa de papelão. a ) Qual deve ser o preço de venda de cada versão, de modo que a quantidade de livros vendida seja a maior possível? b ) Nas condições do item a, quantos exemplares a editora estima vender no total? 26.(Fuvest) Sejam f(x) = 2x – 9 e g(x) x 2 5x 3 . Qual é o valor da soma dos valores absolutos das raízes da equação f(g(x)) = g(x)? 27.(GV) Sejam f e g duas funções de em , tais que f(x) = 2x e g(x) = 2 – x. Qual é o valor de x na seguinte equação: f(g(x)) + g(f(x)) = f(f(x)) + g(g(x)). 28.(Mack) As funções f(x) = 3 – 4x e g(x) = 3x + m, onde m é uma constante, são tais que f(g(x)) = g(f(x)), qualquer que seja x real. Nessas condições, qual é o valor da constante m? 29.(Anglo) Sendo f(x) = 2x 2 x 1 e g(x) = x – 2 funções de em calcule: a ) o valor de f g f g g(3) . b ) os valores reais de x para que se tenha f(g(x)) 2g(x). 30.(Espm) Considere as funções f(x) = log 2 x a > 0 e f(g(2a)) = 3, quanto vale f(a)? e g(x) = x 2 2x , definidas para todo x real estritamente positivo. Se 31.(Mack) Sejam as funções f e g de em , definidas por f(x) = x 2 g ( f ( 4 )) expressão y = ( f ( 4 )) 2 ? f ( 0 ) g ( f ( 0 )) 4 x 10 e g(x) = – 5x + 20. Qual é o valor da 32.(Mack) Se f(x) = a x 2 , g(x) = b x , e f(g(2)) = 2, calcule o valor de f(g(0)). 33.(Anglo) Para um número real fixo α , a função f(x) = α.x - 2 é tal que f(f(1))= -3. Qual é o valor de α? 34.(Unesp) Determine a função inversa de f(x) = x 1 . x 35.(Espm) Seja f(x) = x 1 1 solução da equação f(x) = f uma função real definida para x > 0 e seja 1 ( x ) ? f 1 ( x ) a sua função inversa. Qual é a 36. (Anglo) Considere a função f(x) = x 2 4x 3 , de domínio A = , 2 e contra domínio B = 1 , . a ) Esboce o gráfico de f(x). b ) Obtenha a função f 1 (x) . 37.(Anglo) Sendo A = 1 , , determine o conjunto B, dado que f: A B , f(x) = x 2 2x 10 é uma função bijetora e, nessas condições, obtenha também a função f 1 (x) . 38.(Anglo) Seja f : A B com A 5 , 8 e f (x) = x 2 10x 21 . Sabe-se ainda que f(x) é bijetora. Obtenha: a ) o conjunto imagem de f(x). b ) a função inversa f 1 (x) .
39.(Anglo) Seja f: A B com A = x / 4 x 6 e f(x) = x 2 4x 5 . Sabe-se ainda que a função f é bijetora. a ) Esboce o gráfico de f(x). b ) Obtenha o conjunto-imagem de f(x). c ) Obtenha a função f 1 (x) inversa de f(x). d ) Esboce o gráfico de f 1 (x) . 40.(Fuvest) Considere a função quadrática f(x) = x 2 2x 2 , definida para todo x real, tal que x ≥ – 1. Encontre para a função f(x) a sua função inversa f -1 (x) . 41.(GV) A curva de Gompertz é o gráfico de uma função expressa por N C.A
k t , em que A, C e K são constantes. É usada para descrever fenômenos como a evolução do aprendizado e o crescimento do número de empregados de muitos tipos de organizações. Suponha que, com base em dados obtidos em empresas de mesmo porte, o Diretor de Recursos Humanos da Companhia Nacional de Motores (CNM), depois de um estudo estatístico, tenha chegado à conclusão de que, após t anos, a empresa terá N(t) 10000.
0,01 0 , 5 t funcionários (com t ≥ 0). a ) Segundo esse estudo, qual é o número inicial de funcionários empregados pela CNM? b ) Qual será o número de funcionários que estarão empregados na CNM, após dois anos? c ) Depois de quanto tempo a CNM empregará 1000 funcionários? 42.(Unifesp) Sob determinadas condições, o antibiótico gentamicina, quando ingerido, é eliminado pelo organismo à razão de metade do volume acumulado a cada 2 horas. Daí, se k é o volume inicial da substância no organismo, t pode-se utilizar a função f(t) = k .
1 2 2 para estimar a sua quantidade depois de um tempo t, em horas. Neste caso, qual será o tempo mínimo necessário para que uma pessoa conserve 2 mg desse antibiótico no organismo, tendo ingerido inicialmente 128 mg numa única dose? 43.(Fuvest) Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação m(t) c.a
k.t
em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) é a massa em gramas, m 0 é a quantidade de massa inicial e, c e k são constantes positivas. Sabe-se que no prazo de 10 anos a quantidade inicial dessa substância foi reduzido a 20%. A que porcentagem de m 0 ficará reduzida a massa da substância, em 20 anos? 44.(Unifesp) A figura 1 representa um cabo de aço preso nas extremidades de duas hastes de mesma altura h em relação a uma plataforma horizontal. A representação dessa situação num sistema de eixos ortogonais supõe a plataforma de fixação das hastes sobre o eixo das abscissas; as bases das hastes como dois pontos, A e B; e considera o ponto O, origem do sistema, como o ponto médio entre essas duas bases (figura 2). O comportamento do cabo é descrito matematicamente pela função f(x) 2 x 1 2
x
, com domínio A , B a ) Nessas condições, qual a menor distância entre o cabo e a plataforma de apoio? .
b ) Considerando as hastes com 2,5 m de altura, qual deve ser a distância entre elas, se o comportamento do cabo seguir precisamente a função dada? 45.(Fuvest) a ) Esboce, num mesmo sistema de coordenadas, os gráficos de f(x) = b ) Baseado nos gráficos da parte a, resolva a inequação: 2 x 2x. x 2 e g(x) = 2x. c ) Qual é o maior valor: 2 2 ou 2 2 ? Justifique. 46.(Unicamp) As populações de duas cidades, A e B, são dadas em milhares de habitantes pelas funções A(t) log 8 (1 t) 6 e B(t) log 2 (4t 4) , onde a variável t representa o tempo em anos. Qual é a população de cada uma das cidades nos instantes t = 1 e t = 7? 47.(Unesp) Numa fábrica, o lucro originado pela produção de x peças é dado em milhares de reais pela função L(x) log 10 (100 x) k , com k uma constante real. a ) Sabendo que não havendo produção não há lucro, determine k. b ) Determine o número de peças que é necessário produzir para que o lucro seja igual a mil reais. 48.(Ibmec) Na figura abaixo, está representada, fora de escala, uma parte do gráfico da função y log 3 x do gráfico, calcule aproximadamente o valor de x na equação 9 x 15 . . A partir 49.(Unesp) Considere as funções f(x) x 2 e g(x) log 2 x , para x > 0. a ) Represente, num mesmo sistema de coordenadas, os gráficos das duas funções, colocando os pontos cujas abscissas são x = 1, x = 2, x = 4 e x = 8. b ) Baseado na representação gráfica, dê o conjunto solução da inequação: x 2 log 2 x . c ) Qual é o maior: 2 ou log 2 ? Justifique sua resposta. 50.(Unesp) O brilho de uma estrela percebido pelo olho humano, na Terra, é chamada de magnitude aparente da estrela. Já a magnitude absoluta da estrela é a magnitude aparente que a estrela teria se fosse observada a uma distância padrão de 10 parsecs (1 parsec é aproximadamente 3.10
13 km). As magnitudes aparente e absoluta de uma estrela são muito úteis para se determinar sua distância ao planeta Terra. Sendo m a magnitude aparente de uma estrela e M a magnitude absoluta de uma estrela, a relação entre M e m é dada aproximadamente pela seguinte fórmula: M m 5.log
3 (3.d
0,48 ) , onde d é a distância da estrela em parsecs. A estrela Rigel tem aproximadamente magnitude aparente 0,2 e magnitude absoluta – 6,8. Determine a distância, em quilômetros, de Rigel ao planeta Terra. 51.(Unicamp) A escala de um aparelho de medir ruídos é definida como R d 10.
12 log 10 I , em que R d é a W/m 2 medida do ruído, em decibéis, e I é a intensidade sonora, em . O ruído dos motores de um avião a jato equivale a 160 decibéis, enquanto o tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade atinge 80 decibéis, que é o limite a partir do qual o ruído passa a ser nocivo ao ouvido humano.
a ) Determine a intensidade sonora máxima que o ouvido humano suporta sem sofrer qualquer dano. b ) Calcule a razão r entre as intensidades sonoras do motor de um avião a jato e do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade. 52.(Unesp) Considere as funções f(x) 5 log 2 (1 x) , definida para x < 1, e g(x) = x 2 4x 4 , definida para 7 todo x real. Resolva a equação g(x) = f . 8 53.(Unesp) O altímetro dos aviões é um instrumento que mede a pressão atmosférica e transforma esse resultado em altitude. Suponha que a altitude h acima do nível do mar, em quilômetros, detectada pelo altímetro de um avião seja dada, em função da pressão atmosférica p, em atm, por h(t) = 20.log
1 p . Num determinado instante, a pressão atmosférica medida pelo altímetro era 0,4 atm. Considerando a aproximação log 2 = 0,3, qual era a altitude h do avião nesse instante, em quilômetros? 54.(Fuvest) Tendo em vista as aproximações log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, qual é o maior número inteiro n, satisfazendo a inequação 10 n 12 418 ? 55.(Unicamp) Uma bateria perde permanentemente sua capacidade ao longo dos anos. Essa perda varia de acordo com a temperatura de operação e armazenamento da bateria. A função que fornece o percentual de perda anual de capacidade de uma bateria, de acordo com a temperatura de armazenamento, t (em ºC), tem a forma P(t) = a.10
b.t
, em que a e b são constantes reais positivas. A tabela abaixo fornece, para duas temperaturas específicas, o percentual de perda de uma determinada bateria de íons de Lítio. Com base na expressão de P(t) e nos dados da tabela, determine as constantes a e b para a bateria em questão. Se necessário, use log 2 = 0,30, log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70. 56.(Unesp) Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência natural a se desintegrar (emitindo partículas e se transformando em outro elemento). Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade original desse elemento diminui. Suponhamos que certa quantidade de um elemento radioativo com inicialmente m 0 gramas se decomponha segundo a equação matemática: m(t) m 0 .10
t 70 , onde m(t) é a quantidade de massa radioativa no tempo t (em anos). Usando a aproximação log 2 = 0,3, determine: a ) log 8. b ) quantos anos demorará para que esse elemento se decomponha até atingir um oitavo da massa inicial. 57.(Unesp) Um determinado lago foi tomado por uma vegetação. Em 1990, a área coberta pela planta era de 160 m 2 , e a partir de então o aumento anual da área coberta pela vegetação foi de 60%. Determine: a ) a área, em 2 m , coberta pela vegetação n anos mais tarde. b ) usando log 16 = 1,2, quantos anos se passaram até que uma área de 2560 2 m fosse coberta. 58.(Unicamp) Um capital de R$12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre: a ) o capital acumulado após 2 anos.
b ) o número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial. (Se necessário, use log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477) 59.(Unesp) A função p(t) 9 1 8 12.3
0,1.
expressa, em função do tempo t (em anos), aproximadamente, a população, em milhões de habitantes, de um pequeno país, a partir de 1950 (t = 0). Um esboço do gráfico dessa função, para 0 ≤ t ≤ 80, é dado na figura abaixo. a ) Determine aproximadamente quantos habitantes tinha o país em 1950. b ) De acordo com esse modelo matemático, calcule em que ano a população atingiu 12 milhões de habitantes. (Use as aproximações log 3 2 0,6 e log 3 5 1,4 ). 60.(Unesp) A temperatura média da Terra começou a ser medida por volta de 1870 e em 1880 já apareceu uma diferença: estava (0,01)°C (graus Celsius) acima daquela registrada em 1870 (10 anos antes). A função t(x) (0,01).2
(0,05).x
, com t(x) em °C e x em anos, fornece uma estimativa para o aumento da temperatura média da Terra (em relação àquela registrada em 1870) no ano (1880 + x), x ≥ 0. Com base na função, determine em que ano a temperatura média da Terra terá aumentado 3°C. (Use as aproximações log 2 3 1,6 e log 2 5 2,3 ) 61.(Unesp) A função f(x) = 500.
x 5 4 10 , com x em anos, fornece aproximadamente o consumo anual de água no mundo, em 3 km , em algumas atividades econômicas, do ano 1900 (x = 0) ao ano 2000 (x = 100). Determine, utilizando essa função, em que ano o consumo de água quadruplicou em relação ao registrado em 1900. Use as aproximações log 2 = 0,3 e log 5 = 0,7. 62.(Unicamp) O sistema de ar condicionado de um ônibus quebrou durante uma viagem. A função que descreve a temperatura (em graus Celsius) no interior do ônibus em função de t, o tempo transcorrido, em horas, desde a quebra do ar condicionado, é T(t) = (T 0 T ext ).10
t/4 T ext , onde T é a temperatura interna do ônibus enquanto a 0 refrigeração funcionava, e T ext é a temperatura externa (que supomos constante durante toda a viagem). Sabendo que T = 21ºC e 0 T ext = 30ºC, responda às questões abaixo. a ) Calcule a temperatura no interior do ônibus transcorridas 4 horas desde a quebra do sistema de ar condicionado. b ) Calcule o tempo gasto, a partir do momento da quebra do ar condicionado, para que a temperatura subisse 4ºC. Se necessário, use log 2 = 0,30, log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70. 63.(Unifesp) Pesquisa feita por biólogos de uma reserva florestal mostrou que a população de uma certa espécie de animal está diminuindo a cada ano. A partir do ano em que se iniciou a pesquisa, o número de exemplares desses animais é dado aproximadamente pela função f(t) = 750.2
0,05t , com t em anos, t 0. a ) Determine, com base na função, em quantos anos a população de animais estará reduzida à metade da população inicial. b ) Considerando log 5 2,3 2 3 1,6 e log 2 , e supondo que nada seja feito para conter o decrescimento da população, determine em quantos anos, de acordo com a função, haverá apenas 40 exemplares dessa espécie de animal na reserva florestal. 64.(Unicamp) Uma barra cilíndrica é aquecida a uma temperatura de 740ºC. Em seguida, é exposta a uma corrente de ar a 40ºC. Sabe-se que a temperatura no centro do cilindro varia de acordo com a função: T ( t ) T 0 T ar .
10 t 12 T ar , sendo t o tempo em minutos, T a temperatura inicial e 0 T a temperatura do ar. ar
Baseado nessa função, qual será o tempo requerido para que a temperatura no centro atinja 140ºC? Use para cálculos log 7 = 0,85. 65.(GV) Um capital A de R$10000,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 20% ao ano; simultaneamente, um outro capital B, de R$5000,00, também é aplicado a juros compostos, à taxa de 68% ao ano. Utilize a tabela abaixo para resolver. Depois de quanto tempo os montantes se igualam? 66.(GV) Meia-vida de uma grandeza que decresce exponencialmente é o tempo necessário para que o valor dessa grandeza se reduza à metade. Uma substância radioativa decresce exponencialmente de modo que sua quantidade, daqui a t anos, é Q A.
0,975 t . Adotando os valores ln 2 = 0,693 e ln 0,975 = - 0,025, qual é o valor aproximado da meia-vida dessa substância? 67.(GV) O diretor de uma editora estima que, se x exemplares de um novo livro de Cálculo para o Ensino Superior forem entregues aos professores para análise, as vendas do livro no primeiro ano serão de aproximadamente f(x) 1000.
15 24e 0,003x exemplares. Quantos exemplares a editora deverá distribuir para análise, para vender cerca de 9000 exemplares no primeiro ano? Use a aproximação ln 2 = 0,69 para responder a questão. 68.(Unesp) Em 2010, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realizou o último censo populacional brasileiro, que mostrou que o país possuía cerca de 190 milhões de habitantes. Supondo que a taxa de crescimento populacional do nosso país não se altere para o próximo século, e que a população se estabilizará em torno de 280 milhões de habitantes, um modelo matemático capaz de aproximar o número de habitantes (P), em milhões, a cada ano (t), a partir de 1970, é dado por: P(t) 280 190.e
0,019.(t 1970) . Baseado nesse modelo, e tomado a aproximação para o logaritmo natural ln 14 95 1,9 , em que ano a população brasileira será 90% da suposta população de estabilização? 01. a ) y b ) m 5 .x
4 24 g 02. 16 anos
Gabarito:
03. a ) S(x) 42x 300 C(x) 6x 154 b ) ano 2012 04. 13,86°C 05. Q 0 = R$3,75 06. 1750 07. 2600 08. R$ 2400,00 09. 850 carrinhos 10. R$ 6,00 11. a 100, b 1, c f(x) 100x x 10 200 10 12. 1.506 g 13. (0, 15) 14. f ( x ) 2 x 2 2 x 4 15. a ) a 0,1, b 1 c 1,1 b ) 11 metros 16. a ) 75,6 kg b ) c(v) v 2 2 40v 1000
17. 4 m 18. a ) y 2t 4 e t 2 b ) t 4 e h 3 a ) x 10 21. b ) R$ 900,00 a ) R$ 18,00 22. b ) f(x) (15 x).(100 5x) c ) R$ 17,50 19. R$ 40000,00 23. 20. 2008 a ) L ( x ) 2 x b ) S 2 256 x 28 , 100 5600 c ) R $ 64 , 00 d ) R $ 2592 , 00 e 72 cartuchos 24. a ) R $ 65 , 00 b ) Não 6 28. m = - 5 Dura 25. a ) Papelão R $ 66 , 00 R $ 33 , 00 26. Soma = 7 b ) 5445 exemplares a ) 7 29. b ) S 5 2 , 3 30. f(a) = 1 2 27. x = 3 31. y = 13 4 32. 2 33. α = 1 36. f 1 (x) = 2 - x 1 40. f 1 (x) = - 1 + x 1 a ) 100 41. b ) 10 3,5 c ) 1 ano a ) 2 44. b ) 2 m 45. b ) S c ) 2 2 48. x= 1,25 49. b ) S 2 , 4 c ) Log 2 52. S = { } a ) 0,9 56. b ) 63 anos 60. 2044 37. f B 9 , 1 (x) 1 x 9 53. 8 km 61. 1960 57. a ) A 160.
n b ) 6 anos 34. f 1 ( x ) 1 1 x 38. b ) f a ) Im 4 , 5 1 (x) 5 4 x 42. t = 12 horas 46. A B : 2000 e 6000 : 3000 e 5000 35. x 5 2 1 39.
c ) f b ) Im 5 , 7 1 (x) 2 43. 4% 9 x a ) k 2 47. b ) 900 peças 50. d = 7 , 29 .
10 15 km 51. a ) I 10 4 b ) r W/m 10 8 2 54. n = 451 55. a = 1,6 e b = 0,02 58. a ) R$ 13.996,80 b ) 10 anos 62. a ) T 29,1 C b ) t 1,04 h 59. a ) 9,6 milhões b ) 1968 63. a ) 20 anos b ) 84 anos 64. 10,2 68. 2070 65. 2 anos 66. 27,7 anos 67. 460