resolução da prova de matemática do vestibular 2014 da fuvest-fase
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Transcript resolução da prova de matemática do vestibular 2014 da fuvest-fase
RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2014
DA FUVEST-FASE 2.
POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
M01 Dados m e n inteiros, considere a função f definida por f ( x) 2
m
, para
xn
a) No caso em que m = n = 2, mostre que a igualdade f ( 2 ) 2 se verifica.
b) No caso em que m = n = 2, ache as interseções do gráfico de f com os eixos coordenados.
c) No caso em que m = n = 2, esboce a parte do gráfico de f em que x
2, levando em conta as
informações obtidas nos itens a) e b). Utilize o par de eixos dado na página de respostas.
d) Existe um par de inteiros (m, )
´
RESOLUÇÃO:
(2, 2) tal que a condição f ( 2 ) 2 continue sendo satisfeita?
a) No caso em que m = n = 2, e
f ( x) 2
f ( 2)
2
2
2 2 42 2 2 2
(2 2 2)( 2 2)
f ( 2) 2
x2
2 2
2 2
2 2
( 2 2)( 2 2)
(2 2 2)( 2 2)
( 2 2)( 2 2)
444 2 2 2 2 2
2
24
2
RESPOSTA : Logo, f ( 2 ) 2
b) No caso em que m = n = 2, e
2
2x 2
que intercepta o eixo x no ponto A = (x, 0) e o eixo y no ponto
f ( x) 2
f ( x)
x2
x2
B = (0, y).
Determinação do ponto A:
2x 2
0 2 x 2 0 2 x 2 x 1 A 1, 0 .
x2
Determinação do ponto B:
02
y
1 B 0, 1
02
RESPOSTA: As interseções do gráfico de f com os eixos coordenados são os pontos 1 , 0 e 0 ,1 .
1
c) Pelos itens a e b o gráfico de f , no caso em que m = n = 2, e
1, 0 e 0, 1 .
f 0 ( x)
f 2 ( x)
2
, com x 2
x
2
, com x 2
x2
O gráfico de f1 (x) sofreu uma reflexão em
relação ao eixo x.
d)
f ( x) 2
, passa pelos pontos
f1 ( x)
2, 2 ,
2
, com x 2
x2
O gráfico de f0(x) se deslocou duas unidades
para a esquerda.
2
f ( x) 2
, com x 2
x2
O gráfico de f2 (x) se deslocou duas unidades
para cima determinando o gráfico de f(x).
m
2 x 2n m
2 2 2n m
, para f ( 2 ) 2
2
xn
xn
2 n
2 2 2n m 2 n 2 2 n 2 2 e 2 n m 2 n 2 e 4 m 2 n 2 e m 2
RESPOSTA: Não existe um par de inteiros (m, n) ≠ (2, 2), tal que a condição f ( 2 ) 2 continue
sendo satisfeita.
2
M02 Considere a circunferência de equação cartesiana x2 + y2 4y = 0 e a parábola α de equação y =
4 – x 2.
a) Determine os pontos pertencentes à interseção de com α.
b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a circunferência e a parábola α. Indique, no
seu desenho, o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem, simultaneamente, as inequações
x2 + y2 4y 0 e y 4 – x2.
RESOLUÇÃO:
2
2
2
2
2
( y 4)( y 1) 0
x y 4 y 0
x 4 y y
4 y 4 y y
y 4 e x 0
a)
2
2
2
y 4 ou y 1
y 1 e x 3
y 4 x
x 4 y
y 5y 4 0
RESPOSTA: Os pontos pertencentes à interseção de com α são:(0 , 4 ), ( 3, 0 ) e (
3, 0 )
b) De x2 + y2 4y = 0, tem-se: x2 + (y – 2)2 4 = 0 a circunferência tem centro no ponto (0, 2) e
raio 2.
A parábola α de equação y = 4 – x2 tem vértice no ponto (0, 4). Como as raízes dessa função são – 2 e 2, a
parábola intercepta o eixo x nos pontos (– 2, 0) e (2, 0)
RESPOSTA: O conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem, simultaneamente, as inequações
x2 + y2 4y 0 e y 4 – x2, está representado pela região destacada na figura abaixo.
M03 Os coeficientes a, b e c do polinômio p( x) x3 ax 2 bx c são reais. Sabendo que 1 e 1 + ai,
com a > 0, são raízes da equação p( x) 0 e que o resto da divisão de p(x) por (x – 1) é 8, determine
a) o valor de a;
b) o quociente de p(x) por (x + 1).
i é a unidade imaginária, i 2 1.
3
RESOLUÇÃO:
Sendo reais as raízes do polinômio p( x) x3 ax 2 bx c , se duas de suas ra es s o 1 e 1 + ai. então
a terceira raiz é 1 ai.
Pode-se escrever p( x) x 1x 1 ai x 1 ai .
a) Se o resto da divisão de p(x) por (x – 1) é 8, então:
p(1) 1 11 1 ai 1 1 ai 8 p(1) 2 ai ai , com a 0 2a 2 8 a 2 .
RESPOSTA: a = 2.
b) Sendo a = , p( x) x 1x 1 2i x 1 2i
qx
p( x) x 1x 1 2i x 1 2i
q( x) x 1 2i x 1 2i
x 1
x 1
q( x) x 12 2i 2 x 2 2 x 1 4 x 2 2 x 5
RESPOSTA: q (x) x 2 2 x 5
M04 Uma bola branca está posicionada no ponto Q de uma
mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha, no ponto P,
conforme a figura ao lado. A reta determinada por P e Q
intersecta o lado L da mesa no ponto R. Além disso, Q é o
ponto médio do segmento PR , e o ângulo agudo formado
por PR e L mede 60°. A bola branca atinge a vermelha, após
ser refletida pelo lado L. Sua trajetória, ao partir de Q, forma
um ângulo agudo θ com o segmento PR e o mesmo ângulo
agudo α com o lado L antes e depois da reflexão. Determine
a tangente de α e o seno de θ.
RESOLUÇÃO:
Os triângulos retângulos I e II são semelhantes e compõem o triângulo retângulo PUR.
1 x
Como, RS = QRsen30° RS = x .
2 2
4
Sendo semelhantes os triângulos retângulos I e II, PR = 2QR RU = 2RS RU = x SU = RS =
No triângulo I, QS = RStg60° QS =
x 3
PU =
2
x
.
2
x 3
x 3.
2
2
Os triângulos retângulos IV e V são semelhantes, sendo PU = 2QS UT = 2ST.
x
x
x
Na figura III vê-se que SU = ST + UT = ST + 2ST SU = 3ST
3ST ST UT .
2
6
3
Pelo triângulo IV: t gα
QS x 3 x x 3 6
:
. 3 3.
ST
2
6
2 x
No triângulo V: PT 2 PU 2 UT 2 PT 2 3x 2
x2
PT
9
28x 2
2x 7
PT
9
3
No triângulo V:
PT
x
2x 7
PU
2 x 7 3 3 3 21
, PU x 3 e UT , então, sen
x 3:
3
PT
3
14
3
2 7
UT x 2 x 7
1
7
:
.
PT 3
3
2 7 14
No triângulo V:
30 90 120 sen sen120 cos cos 120sen
e cos
se nθ
3
7 1 3 21 4 21
21
2 14 2 14
28
7
RESPOSTA: t gα 3 3 e se nθ
21
7
M05 Um recipiente hermeticamente fechado e opaco contém bolas azuis e bolas brancas. As bolas de
mesma cor são idênticas entre si e há pelo menos uma de cada cor no recipiente. Na tentativa de descobrir
quantas bolas de cada cor estão no recipiente, usou‐se uma balança de dois pratos. Verificou‐se que o
recipiente com as bolas pode ser equilibrado por:
i) 16 bolas brancas idênticas às que estão no recipiente ou
ii) 10 bolas brancas e 5 bolas azuis igualmente idênticas às que estão no recipiente ou
iii) 4 recipientes vazios também idênticos ao que contém as bolas.
Sendo PA, PB e PR, respectivamente, os pesos de uma bola azul, de uma bola branca e do recipiente na
mesma unidade de medida, determine
P
P
a) os quocientes A e R ;
PB PB
b) o número nA de bolas azuis e o número nB de bolas brancas no recipiente.
5
RESOLUÇÃO:
a) As afirmativas i), ii) e iii) podem ser representadas pelas igualdades:
i) nA PA nB PB PR 16 PB ;
ii) nA PA nB PB PR 10 PB 5 PA ;
iii) nA PA nB PB PR 4 PR
De i) e ii) tem-se: 10 PB 5 PA 16 PB 5 PA 6 PB
De i) e iii) tem-se: 4 PR 16 PB
5 PA 6 PB
P
6
A
5 PB 5 PB
PB 5
4 PR 16 PB
P
R 4
4 PB
4 PB
PB
RESPOSTA: PA 6 e PR 4 .
PB
b) De
5
PB
PA 6
P
6P
tem-se PA B , e de R 4 tem-se PR 4PB
PB 5
PB
5
Substituindo os valores de PA e PR na igualdade nA PA nB PB PR 16 PB :
6P
6P
n A B nB PB 4 PB 16 PB 10 PB 5 B 16 PB 6n A 5nB 60
5
5
6n A 60 5nB 6n A 5(12 nB )
De 6n a 512 nB , com na Z * e nB Z * conclui-se que: n a é múltiplo de 5 e 12 nB é múltiplo
de 6. Como 12 nB 0 nB 6 6na 512 6 na 5
RESPOSTA: O número de bolas azuis é 5 e o de bolas brancas é 6.
M06 Considere o triângulo equilátero ΔAOOBO de lado 7cm.
a) Sendo A1 o ponto médio do segmento AO BO , e B1 o ponto
simétrico de A1 em relação à reta determinada por O e BO,
determine o comprimento de OB1 .
b) Repetindo a construção do item a), tomando agora como
ponto de partida o triângulo ΔA1OB1, pode‐se obter o
triângulo ΔA2OB2 tal que A2 é o ponto médio do segmento
A1B1 e B2 o ponto simétrico de A2 em relação à reta
determinada por O e B1.
Figura obtida após aplicar o
procedimento duas vezes.
Repetindo mais uma vez o procedimento, obtém‐se o triângulo ΔA3OB3. Assim, sucessivamente, pode‐se
construir uma sequência de triângulos Δ AnOBn tais que, para todo n 1, An é o ponto
médio de An 1Bn 1 , e Bn , o ponto simétrico de An em relação à reta determinada por O e Bn – 1 , conforme
figura ao lado.
Denotando por an, para n 1 , o comprimento do segmento An 1 An , verifique que a1, a2, a3, … é uma
progressão geométrica. Determine sua razão.
c) Determine, em função de n, uma expressão para o comprimento da linha poligonal A0 A1 A2.... An,
n 1.
O ponto P’ é simétrico ao ponto P em relação à reta r se o segmento PP'
é perpendicular à reta r e a interseção de r e é o ponto médio de PP' .
6
RESOLUÇÃO
a) Sendo equilátero o triângulo AOOBO e A1 o ponto médio do
segmento AO BO , o segmento OA1 é a altura desse triângulo, logo,
l 3 7 3
2
2
Como B1 é o ponto simétrico de A1 em relação à reta determinada
pelos pontos O e BO, OA1A2 é um triângulo retângulo congruente
ao triângulo OA2B1. Os três ângulos do triângulo OA1B1 são
congruentes, logo ele é equilátero e OA1 = OB1.
OA1
7 3
cm.
2
b) Se os triângulos AnOBn são todos equiláteros, os segmentos
RESPOSTA: o triângulo OA1B1 é equilátero e OB1 =
OAn , com n 0 são lados desses triângulos e os segmentos
OAn 1 alturas desses mesmos triângulos.
Como an, para n 1 , é o comprimento do segmento An 1 An ,
7
1 7
7
3 7 3
3
, a2 =
,
2 2
2 2
4
2
7 3
n 1
2
3
7 3
1 2
7 3
21
a3 =
… an =
2 2
2
2
8
2 2
a1 =
3
2
RESPOSTA: É uma P.G. de razão
c) Os comprimentos dos segmentos que formam a poligonal A0 A1 A2.... An são, em cm:
2
3
4
7 7
3 7 3 7 3 7 3
7 3
,
,
,
,
,......,
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
n 1
que formam uma P.G. de n termos.
O comprimento da poligonal A0 A1 A2.... An é:
n
7 3
1
n
2 2
7 1 3 2
Sn
2 2 2 3
3
1
2
n
3
71
2 3
n
2
3
71
2 3
2
2 3 2 3
n
3
RESPOSTA: 71
2 3 cm
2
7