Transcript ExerciciosGeometria PlanaXX
Geometria Plana Parte I
1
.
(Fuvest 2014) Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB = AC.
A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto, igual a a) 24 cm b) 13 cm c) 12 cm d) 9 cm e) 7 cm 2
.
(Insper 2014) Considere o retângulo ABCD da figura, de dimensões AB = b e AD = h, que foi dividido em três regiões de áreas iguais pelos segmentos
EF
e GH.
As retas
EF, BD
e GH são paralelas. Dessa forma, sendo
AE = x
e
AF = y,
a razão
x b
é igual a a) 2 2 .
3 b) c) 2 2 .
2 3 .
d) 4 6 .
e) 3 6 .
3
.
(Fuvest 2014) Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum, conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25 metros. Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina. a) 1.600 m 2 b) 1.800 m 2 c) 2.000 m 2 d) 2.200 m 2 e) 2.400 m 2 4
.
(Fuvest 2014) O triângulo
AOB
é isósceles, com
OA = OB,
e
ABCD
é um quadrado. Sendo θ a medida do ângulo ˆ pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se Dados os valores aproximados: tg 14 ° ≅ 0,2493 , tg 15 ° ≅ 0,2679 tg 20 ° ≅ 0,3640 , tg 28 ° ≅ 0,5317 a)
14
θ b)
15
θ c) d)
20
θ
25
θ e)
30
θ
28 ° 60 ° 90 ° 120 ° 150 °
5
.
(Insper 2014) As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) ocorrem em ringues com a forma de octógonos regulares com lados medindo um pouco menos de 4 metros, conhecidos como “Octógonos”. Medindo o comprimento exato de seus lados, pode-se calcular a área de um “Octógono” decompondo-o, como mostra a figura a seguir, em um quadrado, quatro retângulos e quatro triângulos retângulos e isósceles.
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A medida do lado do quadrado destacado no centro da figura é igual à medida a do lado do “Octógono”. Se a área desse quadrado é S, então a área do “Octógono” vale a) b)
S( 2 + 2).
c) d)
2S( 2 + 2).
e)
4S( 2 + 1).
6
.
(Insper 2014) Um retângulo tem comprimento X e largura Y, sendo X e Y números positivos menores do que 100. Se o comprimento do retângulo aumentar
Y%
e a largura aumentar
X%,
então a sua área aumentará a) X + Y + XY 100 %.
b) XY c) X + + Y X + 100 + 100 Y %.
XY %.
d) (X + Y)%.
e) (XY)%.
7
.
(Insper 2014) Um polígono regular possui n lados, sendo n um número par maior ou igual a 4. Uma pessoa uniu dois vértices desse polígono por meio de um segmento de reta, dividindo-o em dois polígonos convexos P 1 e P 2 , congruentes entre si. O número de lados do polígono P 1 é igual a a)
n 2 + 2.
b)
n 2 + 1.
c)
n .
2
d)
n 2 − 1.
e)
n 2 − 2.
8
.
(Fgv 2013) Na figura, AC e
BD
são diagonais do quadrado ABCD de lado x, M e N são pontos médios de
AB
e BC , respectivamente. a) Calcule a área da região sombreada na figura, em função de x. b) Calcule o perímetro do quadrilátero PQRS, em função de x. 9
.
(Fgv 2013) Um funcionário do setor de planejamento da Editora Progresso verificou que as livrarias dos três clientes mais importantes estão localizadas nos pontos
) ( ) ( )
sendo que as unidades estão em quilômetros. a) Em que ponto a) b) c)
)
deve ser instalado um depósito para que as distâncias do depósito às três livrarias sejam iguais? b) Qual é a área do quadrado inscrito na circunferência que contém os pontos A, B e C?
10
.
(Enem 2013) Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O. A imagem que representa a nova figura é: d) e)
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.
(Ita 2013) Em um triângulo de vértices A, B e C, a altura, a bissetriz e a mediana, relativamente ao vértice C, dividem o ângulo em quatro ângulos iguais. Se ℓ é a medida do lado oposto ao vértice C, calcule: a) A medida da mediana em função de ℓ .
b) Os ângulos ˆ ˆ e ˆ 12
.
(Espm 2013) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, BDE é um triângulo equilátero e BDF é um triângulo isósceles, onde AF = AB. A medida do ângulo α é: 14
.
(Enem 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados. a) 120° b) 135° c) 127,5° d) 122,5° e) 110,5° 13
.
(Fgv 2013) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 4 cm, e M é ponto médio de CD . Sabe-se ainda que BD é arco de circunferência de centro A e raio 4 cm, e
CD
é arco de circunferência de centro M e raio 2 cm, sendo P e D pontos de intersecção desses arcos. Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? a) 1 m b) 2 m c) 2,4 m d) 3 m e)
2 6 m
15
.
(Unesp 2013) Uma semicircunferência de centro
O
e raio
r
está inscrita em um setor circular de centro
R,
conforme a figura.
C
e raio A distância de P até CB , em centímetros, é igual a a) 4 5 b) 19 25 c)
3 4
d) 7 10 e) 17 25
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O ponto D é de tangência de BC com a semicircunferência. Se AB = s, demonstre que
R r r s.
16
.
(Unesp 2013) A figura, fora de escala, representa o terreno plano onde foi construída uma casa.
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Sabe-se do quadrilátero ABEF que: • Seus ângulos
ˆ
e são retos. •
AF
mede 9 m e
BE
mede 13 m. • o lado
EF
é 2 m maior que o lado
AB
. Nessas condições, quais são as medidas, em metros, dos lados
AB
e
EF?
Parte II
1
.
(Uerj 2014) Considere uma placa retangular
ABCD
de acrílico, cuja diagonal
AC
mede
40cm.
Um estudante, para construir um par de esquadros, fez dois cortes retos nessa placa nas direções AE e
AC,
de modo que = 45° e = 30°, conforme ilustrado a seguir: comprimentos dos dentes de ambas têm valores desprezíveis. A medida, em centímetros, do raio da engrenagem menor equivale a: a) 2,5 b) 3,0 c) 3,5 d) 4,0 TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Após serem medidas as alturas dos alunos de uma turma, elaborou-se o seguinte histograma: Após isso, o estudante descartou a parte triangular
CAE,
restando os dois esquadros. Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível e que 3 = 1,7, a área, em cm , do triângulo
CAE
equivale a: a) 80 b) 100 c) 140 d) 180 2
.
(Uerj 2014) Uma máquina possui duas engrenagens circulares, sendo a distância entre seus centros A e B igual a
11cm,
como mostra o esquema: 3
.
(Uerj 2014) Sabe-se que, em um histograma, se uma reta vertical de equação x = x 0 divide ao meio a área do polígono formado pelas barras retangulares, o valor de x 0 corresponde à mediana da distribuição dos dados representados. Calcule a mediana das alturas dos alunos representadas no histograma. 4
.
(Pucrj 2013) De uma folha de papelão de lados de medidas 23 e 14 foram retirados, dos quatro cantos, quadrados de lado de medida 3 para construir uma caixa (sem tampa) dobrando o papelão nas linhas pontilhadas. Sabe-se que a engrenagem menor dá
1000
voltas no mesmo tempo em que a maior dá
375
voltas, e que os
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a) Determine o perímetro da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. b) Determine a área da folha de papelão após a retirada dos quatro cantos. c) Determine o volume da caixa formada. 5
.
(G1 - cftrj 2013) Considerando que, na figura a seguir, o quadrado ABDE e o triângulo isósceles BCD (BC=CD) têm o
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mesmo perímetro e que o polígono ABCDE tem 72cm de perímetro, qual é a medida de BC? por dois triângulos isósceles congruentes, AMN e BMN, e por um parafuso acionado por uma manivela, de modo que o comprimento da base MN possa ser alterado pelo acionamento desse parafuso. Observe a figura: a) 15,5cm b) 16cm c) 17,4cm d) 18cm 6
.
(Ime 2013) Seja um triângulo
ABC
.
AH
é a altura relativa de
BC
, com
H
localizado entre
B
e
C
. Seja
BM
a mediana relativa de
AC
. Sabendo que
BH = AM = 4,
a soma dos possíveis valores inteiros de
BM
é a) 11 b) 13 c) 18 d) 21 e) 26 7
.
(Pucrj 2013) O retângulo DEFG está inscrito no triângulo isósceles ABC, como na figura abaixo: Considere as seguintes medidas: AM = AN = BM = BN = 4 dm; MN = x dm; AB = y dm.
O valor, em decímetros, de y em função de x corresponde a: a) 16 – 4x 2 b) 64 – x 2 c)
16 – 4x
2
2
d)
64 – 2x
2
2
9
.
(Uerj 2013) Dois terrenos, A e B, ambos com a forma de trapézio, têm as frentes de mesmo comprimento voltadas para a Rua Alfa. Os fundos dos dois terrenos estão voltados para a Rua Beta. Observe o esquema: Assumindo
= 12,
altura do triângulo ABC é: a)
35 4
b)
150 7
c)
90 7 = 15 ,
a d)
180 7
e) 28 5 8
.
(Uerj 2013) Um modelo de macaco, ferramenta utilizada para levantar carros, consiste em uma estrutura composta
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As áreas de A e B são, respectivamente, proporcionais a 1 e 2, e a lateral menor do terreno A mede 20 m. Calcule o comprimento x, em metros, da lateral maior do terreno B.
Parte III
1
.
(Ufjf 2012) Em um trapézio
ABCD
, com lados
AB
e CD paralelos, sejam
M
o ponto médio do segmento CD e S 1 a área do triângulo
BMC.
a) Considere
P
o ponto de interseção do segmento
AM
com
BD.
Sabendo que a área do triângulo
DPM
é um quarto da área do triângulo
BMC,
deduza a relação existente entre a altura
H
do triângulo
BMC
relativa à base MC e altura
h
do triângulo
DPM
relativa à base
MD.
b) Sabendo que CD = 2 e AB = 6, calcule a área do trapézio em função da altura
H
do triângulo
BMC.
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2
.
(Ufjf 2011) No retângulo
ABCD
mostrado na figura abaixo,
E
pertence ao segmento DC ,
M
e
N
são os pontos médios dos segmentos
AD
e
BC
, respectivamente,
F
e
G
são os pontos de interseção do segmento
MN
com os segmentos
EA
e
EB
, respectivamente. 4
.
(Ufjf 2007) Considere o paralelogramo ABCD, a seguir, de área 24 cm 2 . Sejam M o ponto médio do segmento CD, E o ponto de interseção entre os segmentos AC e BM e AB = 8 cm. Sabendo que a área do triângulo
EFG
mede 5 cm 2 e que
H
é um ponto do segmento
MN
, qual é a medida da área do triângulo ABH?
a) 5 cm 2 b)
15 2 cm
2 c) 10 cm 2 d) 5 5 cm 2 e) 15 cm 2 3
.
(Ufjf 2007) Na figura a seguir, encontra-se representado um trapézio retângulo ABCD de bases AB e CD, onde ADN = NDC = ACB = â. a) Calcule a altura do paralelogramo com relação à base CD. b) Encontre a área da figura plana hachurada em cinza. 5
.
(Ufjf 2006) Seja o triângulo de base igual a 10 m e altura igual a 5 m com um quadrado inscrito, tendo um lado contido na base do triângulo. O lado do quadrado é, em metros, igual a: a) 10/3. b) 5/2. c) 20/7. d) 15/4. e) 15/2. 6
.
(Ufjf 2006) Uma mesquita possui uma abóboda semiesférica de 4 m de raio, cujo centro dista 7 m do chão e 5 m das paredes laterais. A figura a seguir representa um corte em perfil, em que um menino, afastado 6 m da parede lateral, mirando em A, vê o ponto B na abóboda. Considere as seguintes afirmativas: I. AD × NC = AN × CD II. AB × DN = BC × AN III. DN × BC = AC × AD As afirmativas corretas são: a) todas. b) somente I e II. c) somente I e III. d) somente II e III. e) nenhuma.
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Considerando-se os olhos do menino a 1 m do chão e desprezando-se a espessura das paredes para o cálculo, a altura do ponto B ao chão é: a) (21 − b) (19 2 − 2 7) 7 ) m. m.
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c) (17 − 2 7 ) m. (8 + d) e) 8 m. 2 7 ) m. 7
.
(Ufjf 2006) Testes efetuados em um pneu de corrida constataram que, a partir de 185.600 voltas, ele passa a se deteriorar, podendo causar riscos à segurança do piloto. Sabendo que o diâmetro do pneu é de 0,5 m, ele poderá percorrer, sem riscos para o piloto, aproximadamente: a) 93 km. b) 196 km. c) 366 km. d) 592 km. e) 291 km. 8
.
(Ufjf 2002) Na figura a seguir, as retas r e s são perpendiculares e as retas m e n são paralelas. Então, a medida do ângulo α, em graus, é igual a: a) 70. b) 60. c) 45. d) 40. e) 30. 9
.
(Ufjf 2002) Uma janela foi construída com a parte inferior retangular e a parte superior no formato de um semicírculo, como mostra a figura a seguir. Se a base da janela mede 1,2 metros e a altura total 1,5 metros, dentre os valores adiante, o que melhor aproxima a área total da janela, em metros quadrados, é: a) 1,40. b) 1,65. c) 1,85. d) 2,21. e) 2,62.
Parte IV
1
.
(Uerj 2013) Para confeccionar uma bandeirinha de festa junina, utilizou-se um pedaço de papel com 10 cm de largura e 15 cm de comprimento, obedecendo-se às instruções abaixo. 1. Dobrar o papel ao meio, para marcar o segmento MN, e abri-lo novamente: 3. Desfazer a dobra e recortar o triângulo ABP. 2. Dobrar a ponta do vértice B no segmento AB’, de modo que B coincida com o ponto P do segmento MN:
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A área construída da bandeirinha APBCD, em cm 2 , é igual a: a) ( −
3
)
Página 7
b) c) d) ( (
50 3
− − −
3 3 3
) ) ) 2
.
(Uerj 2012) Para construir a pipa representada na figura abaixo pelo quadrilátero ABCD, foram utilizadas duas varetas, linha e papel. a) 3,1 b) 3,3 c) 3,5 d) 3,6 4
.
(Uerj 2010) Observe a figura a seguir, que representa um quadrado ABCD, de papel, no qual M e N são os pontos médios de dois de seus lados. Esse quadrado foi dividido em quatro partes para formar um jogo. As varetas estão representadas pelos segmentos
AC
e BD.
A linha utilizada liga as extremidades A, B, C e D das varetas, e o papel reveste a área total da pipa. Os segmentos
AC
e BD são perpendiculares em E, e os ângulos
ˆ
e
ˆ
são retos. Se os segmentos AE e
EC
medem, respectivamente, 18 cm e 32 cm, determine o comprimento total da linha, representada por
AB
+
BC
+
CD
+
DA.
3
.
(Uerj 2012) A figura abaixo representa um círculo de centro O e uma régua retangular, graduada em milímetros. Os pontos A, E e O pertencem à régua e os pontos B, C e D pertencem, simultaneamente, à régua e à circunferência. O jogo consiste em montar, com todas essas partes, um retângulo cuja base seja maior que a altura. O retângulo PQRS, mostrado a seguir, resolve o problema proposto no jogo. Calcule a razão PS .
PQ 5
.
(Uerj 2008) Considere um setor circular AOC, cujo ângulo central è é medido em radianos. A reta que tangencia o círculo no extremo P do diâmetro CP encontra o prolongamento do diâmetro AB em um ponto Q, como ilustra a figura. Considere os seguintes dados
Segmentos
AB
Medida (cm)
1,6 ED 2,0
EC
4,5 O diâmetro do círculo é, em centímetros, igual a:
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Sabendo que o ângulo è satisfaz a igualdade tgè = 2è, calcule a razão entre a área do setor AOC e a área do triângulo OPQ.
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Parte V
1
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(Fuvest 2014) Uma circunferência de raio 3 cm está inscrita no triângulo isósceles ABC, no qual AB = AC.
A altura relativa ao lado BC mede 8 cm. O comprimento de BC é, portanto, igual a a) 24 cm b) 13 cm c) 12 cm d) 9 cm e) 7 cm 2
.
(Fuvest 2014) O triângulo AOB é isósceles, com
OA = OB,
e
ABCD
é um quadrado. Sendo θ a medida do ângulo
ˆ
pode-se garantir que a área do quadrado é maior do que a área do triângulo se Dados os valores aproximados:
tg 14 ° ≅ 0,2493 , tg 15 ° ≅ 0,2679 tg 20 ° ≅ 0,3640 , tg 28 ° ≅ 0,5317
a)
14
b)
15
c)
20
d)
25
e)
30 28
°
60
°
90
°
120
°
150
° 3
.
(Insper 2014) As disputas de MMA (Mixed Martial Arts) ocorrem em ringues com a forma de octógonos regulares com lados medindo um pouco menos de 4 metros, conhecidos como “Octógonos”. Medindo o comprimento exato de seus lados, pode-se calcular a área de um “Octógono” decompondo-o, como mostra a figura a seguir, em um quadrado, quatro retângulos e quatro triângulos retângulos e isósceles. 4
.
(Fuvest 2013) Um teleférico transporta turistas entre os picos
A
e
B
de dois morros. A altitude do pico
A
é de 500 m, a altitude do pico
B
é de 800 m e a distância entre as retas verticais que passam por
A
e
B
é de 900 m. Na figura,
T
representa o teleférico em um momento de sua ascensão e x e y representam, respectivamente, os deslocamentos horizontal e vertical do teleférico, em metros, até este momento. a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o seu deslocamento vertical é igual a 20 m? b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de 1,5 m/s, quanto tempo o teleférico gasta para ir do pico
A
ao pico
B
? 5
.
(Unicamp 2013) Em um aparelho experimental, um feixe
laser
emitido no ponto P reflete internamente três vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo, considere que o comprimento do segmento PB é de 6 cm, o do lado AB é de 3 cm, o polígono ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são congruentes, como se indica em cada ponto da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ? A medida do lado do quadrado destacado no centro da figura é igual à medida a do lado do “Octógono”. Se a área desse quadrado é S, então a área do “Octógono” vale a)
S(2 2
+
1).
b)
S( 2
+
2).
c)
2S( 2
+
1).
d)
2S( 2
+
2).
e)
4S( 2
+
1).
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a) 12 cm. b) 15 cm. c) 16 cm. d) 18 cm. 6
.
(Insper 2013) No triângulo ABC da figura, M é ponto médio de AB e P e Q são pontos dos lados
BC
e
AC,
respectivamente, tais que
BP
=
AQ
=
a
e
PC
=
QC
=
4a.
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Os segmentos
AP, BQ
e
CM
interceptam-se no ponto O e a área do triângulo BOM é 5 cm triângulo BOP, assinalado na figura, é igual a a) 5 cm 2 . b) 6 cm 2 . 2 . Dessa forma, a área do c) 8 cm 2 . d) 9 cm 2 . e) 10 cm 2 .