LISTA DE EXERCÍCIOS DE POLIEDROS - GABARITO

1) Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais. Quantas faces têm de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 ângulos retos?

Solução. Encontramos o número de vértices pela fórmula da soma dos ângulos das faces: S = (V – 2).360º



S S

  (

V

32 (  2 ).

360 º 90 º )  2880 º 

V

 2  2880 º 

V

360 º  2  8  10

Utilizando a relação de Euler A + 2 = F + V e, substituindo pelos valores , calculamos o número de vértices.

 

A V

 15  10 

F

 15  2  10  7

Considerando “x” o número de faces quadrangulares e “y” o de faces pentagonais forma-se um sistema onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de faces.

 

x

4 2 

x y

  5

y

2 7  15 

x

4

x

 

y

5  7

y

   (  4 ) 30    4

x

4

x

  5

y

 4

y

  30  28 

y x

  2 7  2  5

Logo possui 5 faces quadrangulares e 2 pentagonais.

2) Calcule em graus a soma dos ângulos das faces de um: a) tetraedro b) hexaedro c) octaedro

Solução. Em cada caso utiliza-se a fórmula S: (V – 2).360º a) tetraedro possui 4 vértices. Logo,

S

 (

V

 2 ).

360 º 

S

 d) dodecaedro e) icosaedro ( 4  2 ).

360 º 

S

 2 .( 360 º )  720 º

. b) hexaedro possui 8 vértices. Logo,

S

 (

V

 2 ).

360 º 

S

 ( 8  2 ).

360 º 

S

 6 .( 360 º )  2160 º

. c) octaedro possui 6 vértices. Logo,

S

 (

V

 2 ).

360 º 

S

 ( 6  2 ).

360 º 

S

 4 .( 360 º )  1440 º

. d) dodecaedro possui 20 vértices. Logo,

S

 (

V

 2 ).

360 º 

S

 ( 20  2 ).

360 º 

S

 18 .( 360 º )  6480 º

. e) icosaedro possui 12 vértices. Logo,

S

 (

V

 2 ).

360 º 

S

 ( 12  2 ).

360 º 

S

 10 .( 360 º )  3600 º

.

3) Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais. Quantas têm de cada espécie, se a soma dos ângulos das faces é 64 retos?

Solução. Problema semelhante ao número (1). i)



S S

  (

V

64 (  2 ).

360 º 90 º )  5760 º 

V

 2  5760 360 º º 

V

 2  16  18

ii)

A



V

  28  18

F

 28  2  18  12

ii) Considerando “x” o número de faces triangulares e “y” o de faces heptagonais forma-se um sistema onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de faces.

 

x

3

x

2  

y

 7

y

2 12  28 

x

 3

x



y

 12 7

y

   (  3 ) 56    3

x

3

x

  7

y

 3

y

  56  36  4

x y

  20  12  5 

y

7  5

iii) Logo possui 7 faces triangulares e 5 heptagonais.

4) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 720º. Calcule o número de faces, sabendo que é 2/3 do número de arestas?

Solução. Calculando o número de vértices, temos:

720 º  (

V

 2 ).

360 º 

V

 2  720 º 360 º 

V

 2  2  4

. Pela relação de Euler, A + 2 = V + F. Substituindo pelas informações, vem:

 

V F

 4  2 3 .

A



A

 2  4  2 3 .

A

 3

A

 6  12  2

A

 3

A

 2

A

 12  6   

A F

 6  2 3 ( 6 )  4

. Logo, F = 4.

5) Um poliedro apresenta faces triangulares e quadrangulares. A soma dos ângulos das faces é igual a 2160°. Determine o número de faces de cada espécie desse poliedro, sabendo que ele tem 15 arestas.

Solução. Problema semelhante ao número (3). i)



S S

  (

V

 2 ).

360 º 2160 º 

V

 2  2160 360 º º 

V

 2  6  8

ii)



A V

 15  8 

F

 15  2  8  9

iii) Considerando “x” o número de faces triangulares e “y” o de faces quadrangulares forma-se um sistema onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de faces.

 

x

3

x

2  

y

 4

y

2 9  15 

x

3

x

 

y

4  9

y

   (  3 )  30   3

x

3

x

  4

y

 3

y

  30  27 

y

 3

x

 9  3  6

Logo possui 6 faces triangulares e 3 quadrangulares.

6) Da superfície de um poliedro regular de faces pentagonais tiram-se as três faces adjacentes a um vértice comum. Calcule o número de arestas, faces e vértices da superfície poliédrica que resta.

Solução. O poliedro em questão é o dodecaedro. Repare que nas 3 faces retiradas, na verdade, só são suprimidos 1 vértice e as três arestas internas. A superfície poliédrica restante ainda possui os limites com “novas” arestas. i) O número inicial de faces é 12. O final será 12 – 3 = 9. ii) O número inicial de arestas é dado por:

A



nF

2  5 ( 12 ) 2  30

. O final será 30 – 3 = 27. ii) O número inicial de vértices é:

V



A

 2 

F

 30  2  12  20

. O final será 20 – 1 = 19.

7) Numa molécula tridimensional de carbono, os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais regulares, como em uma bola de futebol. Qual é o número de átomos de carbono na molécula? E o número de ligações entre esses átomos?

Solução. O nº de faces é F = 12 + 20 = 32 faces. Logo o número arestas será O número de vértices é dado por

V



A

 2 

F

 90  2  32

A



nF

 5 ( 12 )  6 ( 20 )  90

.

2 2  60

. Logo há 60 átomos ligados entre si por 90 arestas (ligações).

8) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares , 1 face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais.

Solução. O número total de faces do poliedro é F = 3 + 1 + 1 + 2 = 7. Calculando o número de arestas em função das faces, temos:

A



nF

 2 3 ( 3 )  4 ( 1 )  5 ( 1 )  6 ( 2 ) 2  30 2  15 .

Substituindo os valores na relação de Euler vem:

V



A

 2 

F

 15  2  7  10

. Logo há 10 vértices.

9) Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces têm esse poliedro?

Solução. Pelas informações, F = V. Utilizando a relação de Euler, temos: 10 + 2 = 2V. Logo V = 6. Logo o número de faces é o mesmo. Isto é, há 6 faces.

10) Num poliedro convexo o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces desse poliedro?

Solução. De acordo com as informações, temos:

A



A

 2

V



V

 6 

F



V

 6  2 

V



F



F

 8 .

11) Um poliedro convexo apresenta faces quadrangulares e triangulares. Calcule o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares é igual a 5.

Solução. Considerando o número de faces quadrangulares e “y” o de triangulares concluímos, de acordo com as informações que A = 4x e y = 5. Temos:

A

 4

y

 4

y

 5 ( 2 4 )  3 2

y

 8

y

 20  3

y

 5

y

 20 

y

 4

. Logo há 5 + 4 = 9 faces.

12) Determine o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo formado por 5 ângulos triedros, sete ângulos tetraédricos, nove ângulos pentaédricos e oito ângulos hexaédricos.

Solução. Um ângulo triédrico contém um vértice onde concorrem 3 arestas. Da mesma forma o tetraédrico contém um vértice onde concorrem 4 arestas, o mesmo ocorrendo com os pentaédricos (5 arestas) e hexaédricos (6 arestas). De acordo com a expressão para o total de arestas em função do número de arestas que concorrem a um vértice, temos:

 

V A

  5  7

nV

2   9  8  29 5 ( 3 )  7 ( 4 )  9 ( 5 ) 2  8 ( 6 )  136 2  68 .



F



A

 2 

V



F

 68  2  29  41

Logo há 29 vértices, 68 arestas e 41 faces.

13) Um poliedro convexo possui 1 ângulo pentaédrico, 10 ângulos tetraédricos, e os demais triédricos. Sabendo que o poliedro tem: número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares, 11 faces pentagonais, e no total 21 faces, calcule o número de vértices do poliedro convexo.

Solução. Considerando V o número total de vértices e o número de arestas concorrendo a cada vértice, temos:

A



nV

2  1 ( 5 )  10 ( 4 )  (

V

2  11 )( 3 )  5  40  3

V

 33 2  3

V

 2 12

.

Aplicando a relação de Euler sabendo o número de faces e utilizando a expressão do número de arestas, vem:

A

 2 

V



F F

 21  3

V

 12  2 

V

2  21  3

V

 12  4  2

V

 42 

V

 42  16  26 .

14) Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Sabendo que o número de faces triangulares e quadrangulares são diretamente proporcionais aos números 2 e 3 e que o número de arestas é o dobro do número de vértices, calcule o número total de faces desse poliedro.

Solução. Considerando “k” a constante de proporcionalidade, podemos escrever: - número de faces triangulares = 2k - número de faces quadrangulares = 3k Como cada face triangular possui 3 arestas e cada face quadrangular possui 4 arestas, o número total de arestas é

A



nF

 2 2

k

( 3 )  3

k

( 4 ) 2  6

k

 12

k

2  9

k

. Aplicando a relação de Euler A + 2 = V + F, vem:

 

F A

 2  9

k k

 3

k



V

 5

k

 9 2

k

 9

k

 2  9

k

2  5

k

 18

k

 4  9

k

 10

k

 19

k

 18

k

 4 

k

 4

. Substituindo o valor de “k” no número de faces, temos: F = 5(k) = 5(4) = 20.

EXERCÍCIOS:

1. ( CEFET - PR ) Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Logo, a soma dos ângulos internos de todas as faces será: (a) 3240º (b) 3640º (c) 3840º (d) 4000º (e) 4060º 2. ( CEFET - PR ) O número de vértices de um poliedro convexo de 10 faces quadrangulares é: (a) 32 (b) 12 (c) 20 (d) 15 (e) 18 3. ( PUC - SP ) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares? (a) 4 (b) 3 (c) 5 (d) 6 (e) 8 4. ( ITA - SP ) Um poliedro convexo tem 13 faces. De um dos seus vértices partem 6 arestas; de 6 outros vértices partem, de cada um, 4 arestas, e finalmente, de cada um dos vértices restantes partem 3 arestas. O número de arestas desse poliedro é: (a) 13 (b) 17 (c) 21 (d) 24 (e) 27 5. ( PUC - PR ) O número de vértices de um poliedro de 8 faces triangulares e de 4 faces quadrangulares é igual a : (a) 10 (b) 12 (c) 40 (d) 20 (e) 8 6. ( PUC - PR ) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1440º, então o número de arestas desse poliedro é: (a) 12 (b) 8 (c)6 (d)20 (e) 4 7. O número de vértices de um poliedro convexo constituído por doze faces triangulares é: (a) 4 (b) 12 (c) 10 (d) 6 (e) 8 8. ( CESGRANRIO - RJ ) Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal. O número d e vértices desse poliedro é : (a) 6 (b) 7 (c) 8 (d) 9 (e) 10

9. ( CESGRANRIO - RJ ) Considere o poliedro regular de faces triangulares que não possui diagonais. A soma dos ângulos das faces desse poliedro vale, em graus: (a)180 (b) 360 (c) 540 (d) 720 (e) 900 10. ( PUC - SP ) O número de vértices de um poliedro convexo que tem 8 faces triangulares e 4 faces quadrangulares é igual a: (a) 10 (b) 12 (c) 40 (d) 20 (e) 8. 11. ( PUC - CAMP ) Se um poliedro convexo possui 16 faces triangulares, o seu número de vértices é: (a) 24 (b) 20 (c) 16 (d) 12 (e) 10 12. ( PUC - SP ) Um poliedro convexo de 33 arestas possui faces triangulares e hexagonais. Sendo 6840 a soma dos ângulos internos das faces, o número de faces triangulares e hexagonais é, respectivamente: (a) 4 e 10 (b) 7 e 7 (c) 6 e 8 (d) 5 e 9 (e) 8 e 6 4) 1) Sabendo que a soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro regular é 3600 0 , podemos afirmar que este poliedro é um: (dica: calcule o nº de vértices). (a) Hexaedro (b) Tetraedro (c) Icosaedro (d) Octaedro (e) Dodecaedro 2) Qual a área total do sólido abaixo: use St = 2 (a .b + b.c + c.a ) 6 m 3 m 24 m 3) Qual o n.º de arestas de um poliedro convexo que tem 9 faces e 8 vértices? (a) 25 (b) 15 (c) 22 (d) 33 (e) 11 Calcule a diagonal do Cubo de aresta 10 m. Use D =

a

2 

b

2 

c

2 5) Um poliedro convexo possui 20 faces e 30 arestas. Qual o n.º de vértices deste poliedro. (a) 2 (b) 12 (c) 42 (d) 25 (e) 102

6) Determine a diagonal do paralelepípedo abaixo. D = 6 m 3 m 24 m

Exercícios

a

2 

b

2 

c

2 1) (UFPA) Um poliedro convexo tem 6 faces e 8 vértices. O número de arestas é: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 2) (PUC-SP) O número de vértices de um poliedro convexo que possui 12 faces triangulares é: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 3) (Cesgranrio) Um poliedro convexo é formado por 80 faces triangulares e 12 pentagonais. O numero de vértices do poliedro é: a) 80 c) 50 b) 60 d) 48 4) (Acafe-SC) Um poliedro convexo tem 15 faces triangulares, 7 faces pentagonais e 2 faces hexagonais. O número de vértices desse poliedro é: a) 25 b) 48 c)73 d) 96 5) (Puccamp SP) O “cubo octaedro” é um poliedro que possui 6 faces quadrangulares e 8 triangulares. O número de vértices desse poliedro é: a) 16 b) 14 c) 12 d) 10

GABARITO

1) d 2) b 3) b 4) a 5) c 1) Determinar a área total, o volume e a diagonal do paralelepípedo de dimensões 3cm, 4 cm e 5 cm. 2) O volume de um cubo mede 27 cm 3 . Calcule. a) sua área total b) sua diagonal da face c) sua diagonal 3) Um prisma regular triangular tem arestas laterais de 6 cm e arestas de base de 4 cm. Obter: a) O seu volume b) A sua área lateral c) A sua área total