Transcript Exercícios - Poliedros
LISTA DE EXERCÍCIOS DE POLIEDROS - GABARITO
1) Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais. Quantas faces têm de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é 32 ângulos retos?
Solução. Encontramos o número de vértices pela fórmula da soma dos ângulos das faces: S = (V – 2).360º
S S
(
V
32 ( 2 ).
360 º 90 º ) 2880 º
V
2 2880 º
V
360 º 2 8 10
Utilizando a relação de Euler A + 2 = F + V e, substituindo pelos valores , calculamos o número de vértices.
A V
15 10
F
15 2 10 7
Considerando “x” o número de faces quadrangulares e “y” o de faces pentagonais forma-se um sistema onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de faces.
x
4 2
x y
5
y
2 7 15
x
4
x
y
5 7
y
( 4 ) 30 4
x
4
x
5
y
4
y
30 28
y x
2 7 2 5
Logo possui 5 faces quadrangulares e 2 pentagonais.
2) Calcule em graus a soma dos ângulos das faces de um: a) tetraedro b) hexaedro c) octaedro
Solução. Em cada caso utiliza-se a fórmula S: (V – 2).360º a) tetraedro possui 4 vértices. Logo,
S
(
V
2 ).
360 º
S
d) dodecaedro e) icosaedro ( 4 2 ).
360 º
S
2 .( 360 º ) 720 º
. b) hexaedro possui 8 vértices. Logo,
S
(
V
2 ).
360 º
S
( 8 2 ).
360 º
S
6 .( 360 º ) 2160 º
. c) octaedro possui 6 vértices. Logo,
S
(
V
2 ).
360 º
S
( 6 2 ).
360 º
S
4 .( 360 º ) 1440 º
. d) dodecaedro possui 20 vértices. Logo,
S
(
V
2 ).
360 º
S
( 20 2 ).
360 º
S
18 .( 360 º ) 6480 º
. e) icosaedro possui 12 vértices. Logo,
S
(
V
2 ).
360 º
S
( 12 2 ).
360 º
S
10 .( 360 º ) 3600 º
.
3) Um poliedro convexo de 28 arestas possui faces triangulares e heptagonais. Quantas têm de cada espécie, se a soma dos ângulos das faces é 64 retos?
Solução. Problema semelhante ao número (1). i)
S S
(
V
64 ( 2 ).
360 º 90 º ) 5760 º
V
2 5760 360 º º
V
2 16 18
ii)
A
V
28 18
F
28 2 18 12
ii) Considerando “x” o número de faces triangulares e “y” o de faces heptagonais forma-se um sistema onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de faces.
x
3
x
2
y
7
y
2 12 28
x
3
x
y
12 7
y
( 3 ) 56 3
x
3
x
7
y
3
y
56 36 4
x y
20 12 5
y
7 5
iii) Logo possui 7 faces triangulares e 5 heptagonais.
4) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo é 720º. Calcule o número de faces, sabendo que é 2/3 do número de arestas?
Solução. Calculando o número de vértices, temos:
720 º (
V
2 ).
360 º
V
2 720 º 360 º
V
2 2 4
. Pela relação de Euler, A + 2 = V + F. Substituindo pelas informações, vem:
V F
4 2 3 .
A
A
2 4 2 3 .
A
3
A
6 12 2
A
3
A
2
A
12 6
A F
6 2 3 ( 6 ) 4
. Logo, F = 4.
5) Um poliedro apresenta faces triangulares e quadrangulares. A soma dos ângulos das faces é igual a 2160°. Determine o número de faces de cada espécie desse poliedro, sabendo que ele tem 15 arestas.
Solução. Problema semelhante ao número (3). i)
S S
(
V
2 ).
360 º 2160 º
V
2 2160 360 º º
V
2 6 8
ii)
A V
15 8
F
15 2 8 9
iii) Considerando “x” o número de faces triangulares e “y” o de faces quadrangulares forma-se um sistema onde uma das equações envolve o número de arestas em função do número de faces.
x
3
x
2
y
4
y
2 9 15
x
3
x
y
4 9
y
( 3 ) 30 3
x
3
x
4
y
3
y
30 27
y
3
x
9 3 6
Logo possui 6 faces triangulares e 3 quadrangulares.
6) Da superfície de um poliedro regular de faces pentagonais tiram-se as três faces adjacentes a um vértice comum. Calcule o número de arestas, faces e vértices da superfície poliédrica que resta.
Solução. O poliedro em questão é o dodecaedro. Repare que nas 3 faces retiradas, na verdade, só são suprimidos 1 vértice e as três arestas internas. A superfície poliédrica restante ainda possui os limites com “novas” arestas. i) O número inicial de faces é 12. O final será 12 – 3 = 9. ii) O número inicial de arestas é dado por:
A
nF
2 5 ( 12 ) 2 30
. O final será 30 – 3 = 27. ii) O número inicial de vértices é:
V
A
2
F
30 2 12 20
. O final será 20 – 1 = 19.
7) Numa molécula tridimensional de carbono, os átomos ocupam os vértices de um poliedro convexo de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais regulares, como em uma bola de futebol. Qual é o número de átomos de carbono na molécula? E o número de ligações entre esses átomos?
Solução. O nº de faces é F = 12 + 20 = 32 faces. Logo o número arestas será O número de vértices é dado por
V
A
2
F
90 2 32
A
nF
5 ( 12 ) 6 ( 20 ) 90
.
2 2 60
. Logo há 60 átomos ligados entre si por 90 arestas (ligações).
8) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares , 1 face quadrangular, 1 pentagonal e 2 hexagonais.
Solução. O número total de faces do poliedro é F = 3 + 1 + 1 + 2 = 7. Calculando o número de arestas em função das faces, temos:
A
nF
2 3 ( 3 ) 4 ( 1 ) 5 ( 1 ) 6 ( 2 ) 2 30 2 15 .
Substituindo os valores na relação de Euler vem:
V
A
2
F
15 2 7 10
. Logo há 10 vértices.
9) Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces têm esse poliedro?
Solução. Pelas informações, F = V. Utilizando a relação de Euler, temos: 10 + 2 = 2V. Logo V = 6. Logo o número de faces é o mesmo. Isto é, há 6 faces.
10) Num poliedro convexo o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces desse poliedro?
Solução. De acordo com as informações, temos:
A
A
2
V
V
6
F
V
6 2
V
F
F
8 .
11) Um poliedro convexo apresenta faces quadrangulares e triangulares. Calcule o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares é igual a 5.
Solução. Considerando o número de faces quadrangulares e “y” o de triangulares concluímos, de acordo com as informações que A = 4x e y = 5. Temos:
A
4
y
4
y
5 ( 2 4 ) 3 2
y
8
y
20 3
y
5
y
20
y
4
. Logo há 5 + 4 = 9 faces.
12) Determine o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo formado por 5 ângulos triedros, sete ângulos tetraédricos, nove ângulos pentaédricos e oito ângulos hexaédricos.
Solução. Um ângulo triédrico contém um vértice onde concorrem 3 arestas. Da mesma forma o tetraédrico contém um vértice onde concorrem 4 arestas, o mesmo ocorrendo com os pentaédricos (5 arestas) e hexaédricos (6 arestas). De acordo com a expressão para o total de arestas em função do número de arestas que concorrem a um vértice, temos:
V A
5 7
nV
2 9 8 29 5 ( 3 ) 7 ( 4 ) 9 ( 5 ) 2 8 ( 6 ) 136 2 68 .
F
A
2
V
F
68 2 29 41
Logo há 29 vértices, 68 arestas e 41 faces.
13) Um poliedro convexo possui 1 ângulo pentaédrico, 10 ângulos tetraédricos, e os demais triédricos. Sabendo que o poliedro tem: número de faces triangulares igual ao número de faces quadrangulares, 11 faces pentagonais, e no total 21 faces, calcule o número de vértices do poliedro convexo.
Solução. Considerando V o número total de vértices e o número de arestas concorrendo a cada vértice, temos:
A
nV
2 1 ( 5 ) 10 ( 4 ) (
V
2 11 )( 3 ) 5 40 3
V
33 2 3
V
2 12
.
Aplicando a relação de Euler sabendo o número de faces e utilizando a expressão do número de arestas, vem:
A
2
V
F F
21 3
V
12 2
V
2 21 3
V
12 4 2
V
42
V
42 16 26 .
14) Um poliedro convexo possui apenas faces triangulares e quadrangulares. Sabendo que o número de faces triangulares e quadrangulares são diretamente proporcionais aos números 2 e 3 e que o número de arestas é o dobro do número de vértices, calcule o número total de faces desse poliedro.
Solução. Considerando “k” a constante de proporcionalidade, podemos escrever: - número de faces triangulares = 2k - número de faces quadrangulares = 3k Como cada face triangular possui 3 arestas e cada face quadrangular possui 4 arestas, o número total de arestas é
A
nF
2 2
k
( 3 ) 3
k
( 4 ) 2 6
k
12
k
2 9
k
. Aplicando a relação de Euler A + 2 = V + F, vem:
F A
2 9
k k
3
k
V
5
k
9 2
k
9
k
2 9
k
2 5
k
18
k
4 9
k
10
k
19
k
18
k
4
k
4
. Substituindo o valor de “k” no número de faces, temos: F = 5(k) = 5(4) = 20.
EXERCÍCIOS:
1. ( CEFET - PR ) Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro pentagonais. Logo, a soma dos ângulos internos de todas as faces será: (a) 3240º (b) 3640º (c) 3840º (d) 4000º (e) 4060º 2. ( CEFET - PR ) O número de vértices de um poliedro convexo de 10 faces quadrangulares é: (a) 32 (b) 12 (c) 20 (d) 15 (e) 18 3. ( PUC - SP ) Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares? (a) 4 (b) 3 (c) 5 (d) 6 (e) 8 4. ( ITA - SP ) Um poliedro convexo tem 13 faces. De um dos seus vértices partem 6 arestas; de 6 outros vértices partem, de cada um, 4 arestas, e finalmente, de cada um dos vértices restantes partem 3 arestas. O número de arestas desse poliedro é: (a) 13 (b) 17 (c) 21 (d) 24 (e) 27 5. ( PUC - PR ) O número de vértices de um poliedro de 8 faces triangulares e de 4 faces quadrangulares é igual a : (a) 10 (b) 12 (c) 40 (d) 20 (e) 8 6. ( PUC - PR ) Se a soma dos ângulos das faces de um poliedro regular é 1440º, então o número de arestas desse poliedro é: (a) 12 (b) 8 (c)6 (d)20 (e) 4 7. O número de vértices de um poliedro convexo constituído por doze faces triangulares é: (a) 4 (b) 12 (c) 10 (d) 6 (e) 8 8. ( CESGRANRIO - RJ ) Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 1 face hexagonal. O número d e vértices desse poliedro é : (a) 6 (b) 7 (c) 8 (d) 9 (e) 10
9. ( CESGRANRIO - RJ ) Considere o poliedro regular de faces triangulares que não possui diagonais. A soma dos ângulos das faces desse poliedro vale, em graus: (a)180 (b) 360 (c) 540 (d) 720 (e) 900 10. ( PUC - SP ) O número de vértices de um poliedro convexo que tem 8 faces triangulares e 4 faces quadrangulares é igual a: (a) 10 (b) 12 (c) 40 (d) 20 (e) 8. 11. ( PUC - CAMP ) Se um poliedro convexo possui 16 faces triangulares, o seu número de vértices é: (a) 24 (b) 20 (c) 16 (d) 12 (e) 10 12. ( PUC - SP ) Um poliedro convexo de 33 arestas possui faces triangulares e hexagonais. Sendo 6840 a soma dos ângulos internos das faces, o número de faces triangulares e hexagonais é, respectivamente: (a) 4 e 10 (b) 7 e 7 (c) 6 e 8 (d) 5 e 9 (e) 8 e 6 4) 1) Sabendo que a soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro regular é 3600 0 , podemos afirmar que este poliedro é um: (dica: calcule o nº de vértices). (a) Hexaedro (b) Tetraedro (c) Icosaedro (d) Octaedro (e) Dodecaedro 2) Qual a área total do sólido abaixo: use St = 2 (a .b + b.c + c.a ) 6 m 3 m 24 m 3) Qual o n.º de arestas de um poliedro convexo que tem 9 faces e 8 vértices? (a) 25 (b) 15 (c) 22 (d) 33 (e) 11 Calcule a diagonal do Cubo de aresta 10 m. Use D =
a
2
b
2
c
2 5) Um poliedro convexo possui 20 faces e 30 arestas. Qual o n.º de vértices deste poliedro. (a) 2 (b) 12 (c) 42 (d) 25 (e) 102
6) Determine a diagonal do paralelepípedo abaixo. D = 6 m 3 m 24 m
Exercícios
a
2
b
2
c
2 1) (UFPA) Um poliedro convexo tem 6 faces e 8 vértices. O número de arestas é: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 2) (PUC-SP) O número de vértices de um poliedro convexo que possui 12 faces triangulares é: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 3) (Cesgranrio) Um poliedro convexo é formado por 80 faces triangulares e 12 pentagonais. O numero de vértices do poliedro é: a) 80 c) 50 b) 60 d) 48 4) (Acafe-SC) Um poliedro convexo tem 15 faces triangulares, 7 faces pentagonais e 2 faces hexagonais. O número de vértices desse poliedro é: a) 25 b) 48 c)73 d) 96 5) (Puccamp SP) O “cubo octaedro” é um poliedro que possui 6 faces quadrangulares e 8 triangulares. O número de vértices desse poliedro é: a) 16 b) 14 c) 12 d) 10
GABARITO
1) d 2) b 3) b 4) a 5) c 1) Determinar a área total, o volume e a diagonal do paralelepípedo de dimensões 3cm, 4 cm e 5 cm. 2) O volume de um cubo mede 27 cm 3 . Calcule. a) sua área total b) sua diagonal da face c) sua diagonal 3) Um prisma regular triangular tem arestas laterais de 6 cm e arestas de base de 4 cm. Obter: a) O seu volume b) A sua área lateral c) A sua área total