Transcript Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμ

Ο θείος Πέτρος
και η εικασία του Γκόλντμπαχ
Σελίδες 208-243
Δημήτρης Σιούγκρο
Μαίρη Σταυρακάκη
Κατερίνα Χουτζιούμη
Αν δεν υπηρχαν τα Μαθηματικα,
γιατι θα επρεπε να τα επινοησουμε ;

Η προφανης οσο και απλοϊκη απαντηση ειναι : για να μετραμε

Δηλαδη για να μπορουμε να μεριζουμε τη μεριζομενη πραγματικοτητα
και να την μεταφερουμε

Η πραγματικοτητα προφανως και δεν εχει αριθμους

Και ουτε υπαρχουν αριθμοι που να κυκλοφορουνε ελευθερα μεσα στον
κοσμο

Μεσα στον κοσμο υπαρχουν συνολα πραγματων

Τα οποια μπορουμε να ενωνουμε αλλά και να διασπουμε, κανοντας
πραξεις προσθεσης και αφαιρεσης στο μυαλο μας

Αρα οι αριθμοι ειναι κατασκευασματα του μυαλου μας, για να μπορουμε
να χειριζομαστε καλυτερα και αποτελεσματικοτερα την πραγματικοτητα

Η δικη σας η αποψη ;
Frank Adams'






1930-1989
Σπούδασε μαθηματικά στο
Κεμπριτζ.
Ασχολήθηκε με τη Θεωρία
μέτρου.
Απάντησε στο πρόβλημα της
εικασίας της ύπάρξης Hδομών στην σφαίρα.
Αλγεβρική Τοπολογία
1965 Ψυχιατρικά προβλήματα.
Άλαν Τιούρινγκ
5







6
Γεννήθηκε το1912 στο Λονδίνο
Γονείς ο Julius Turing (Δημόσιος Υπάλληλος στην Ινδία ) και η Ethel
Stoney ( Ιρλανδή γεννημένη στο Μάντρας της Ινδίας )
Στα πρώτα παιδικά του χρόνια αναδεικνύονται τα χαρακτηριστικά ενός
ευφυούς παιδιού αλλά αδέξιου και ακατάστατου.
Η βασική του εκπαίδευση είχε πολλές διακυμάνσεις όσον αφορά το
επίπεδο της .
Σε ηλικία 14 ετών βρέθηκε οικότροφος στο σχολείο Sherborne , σε ένα
περιβάλλον όπου τα μαθηματικά ήταν<< υπερβολικά υποτιμημένα
>>.Ένας από τους δασκάλους του πίστευε ότι τα μαθηματικά ότι ήταν
μια<< ταπεινή και πονηρή επιστήμη>> .Ο Turing έκανε από μόνος του
μικρές έρευνες και μελετούσε τη θεωρία της Σχετικότητας.
Κέρδισε υποτροφία
Σπούδασε Μαθηματικά στο Κings College στο Cambridge
Οικουμενικές
μηχανές
Τούρινγκ
7
Κουρτ Γκέντελ

Το 1902 ο γερμανός μαθηματικός Γκότλομπ Φρέγκε
(Gottlob Frege) προσπάθησε να δημιουργήσει ένα
σύστημα συμβολικής λογικής που να αποτελεί τη βάση
όλων των μαθηματικών. Το σύστημα του
χαρακτηριζόταν από απόλυτη αυστηρότητα, είχε τον
ελάχιστο δυνατό αριθμό αυθαίρετων παραδοχών και η
δόμηση του γινόταν με απόδειξη βήμα βήμα. Όμως ο
γνωστός βρετανός μαθηματικός και φιλόσοφος
επεσήμανε στον Γκότλομπ Φρέγκε μια αντίφαση που
είχε το σύστημα του. Τελικά ο Φρέγκε κατάλαβε ότι όλη
του η εργασία ήταν άχρηστη, αφού δεν μπορούσε να
αντιμετωπίσει ή να εξαλείψει αυτή την αντίφαση.
Αργότερα απέτυχαν κι άλλοι μαθηματικοί να
θεμελιώσουν τα μαθηματικά σε μια τυπική λογική βάση.

Το 1931 ο Κουρτ Γκέντελ έθεσε τέλος σε όλα αυτά τα
επιχειρήματα με το Θεώρημα της Μη Πληρότητας ή του
Γκέντελ όπως λέγεται. Ο Γκέντελ μετέφρασε τα σύμβολα
της συμβολικής λογικής σε αριθμούς κατά συστηματικό
τρόπο και απέδειξε ότι είναι πάντα δυνατόν να βρεθεί
ένας αριθμός στον οποίο δεν μπορούμε να καταλήξουμε
αρχίζοντας από τους άλλους αριθμούς του συστήματος.

Ο Γκέντελ τελικά καταλήγει στην εξής διατύπωση για το
θεώρημα της μη πληρότητας: κάθε σύστημα αξιωμάτων
περιλαμβάνει προτάσεις τις οποίες δεν μπορούμε να
διερευνήσουμε αν είναι αληθείς ή ψευδείς, με τα μέσα
που μας δίνει το ίδιο το σύστημα. Με άλλα λόγια, για να
μπορέσουμε να αποδείξουμε τις αξιωματικές αυτές
προτάσεις πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ένα άλλο
σύστημα αξιωμάτων ακόμα πιο ευρύ, που να περιέχει το
προηγούμενο. Έτσι όμως, μένουμε και πάλι με την
αδυναμία μας να αποδείξουμε το ευρύτερο αυτό
σύστημα, και χρειαζόμαστε κάτι ακόμα ευρύτερο. Τελικά
φαίνεται ότι η γνώση μας για το κάθε τι πάντα θα
απαιτεί περισσότερα στοιχεία, που αναγκαστικά θα μας
δίνονται μόνο απ' έξω από το υπό μελέτην σύστημα.
Τελικά φαίνεται ότι η γνώση μας για το κάθε τι πάντα θα απαιτεί περισσότερα
στοιχεία, που αναγκαστικά θα μας δίνονται μόνο απ' έξω από το υπό μελέτην
σύστημα
Ο
Γκέντελ τελικά καταλήγει στην εξής διατύπωση για το θεώρημα της μη
πληρότητας: κάθε σύστημα αξιωμάτων περιλαμβάνει προτάσεις τις οποίες
δεν μπορούμε να διερευνήσουμε αν είναι αληθείς ή ψευδείς, με τα μέσα που
μας δίνει το ίδιο το σύστημα. Με άλλα λόγια, για να μπορέσουμε να
αποδείξουμε τις αξιωματικές αυτές προτάσεις πρέπει να χρησιμοποιήσουμε
ένα άλλο σύστημα αξιωμάτων ακόμα πιο ευρύ, που να περιέχει το
προηγούμενο. Έτσι όμως, μένουμε και πάλι με την αδυναμία μας να
αποδείξουμε το ευρύτερο αυτό σύστημα, και χρειαζόμαστε κάτι ακόμα
ευρύτερο. Τελικά φαίνεται ότι η γνώση μας για το κάθε τι πάντα θα απαιτεί
περισσότερα στοιχεία, που αναγκαστικά θα μας δίνονται μόνο απ' έξω από
το υπό μελέτην σύστημα.
Με αυτό το θεώρημα, ο Γκέντελ έθεσε τέλος στην αναζήτηση της
βεβαιότητας στα μαθηματικά, αποδεικνύοντας ότι δεν υπάρχει
βεβαιότητα και δεν μπορεί να υπάρξει.
Όπως ακριβώς είχε κάνει ο Χάιζενμπεργκ στην φυσική.
Το Θεώρημα της μη-πληρότητας, αποδεικνύει ουσιαστικά ότι ακόμη και στα
μαθηματικά, το απώτατο προπύργιο του ορθολογισμού, η αποδεικτική δύναμη
της Λογικής έχει όρια. Ότι δηλαδή σε κάθε θεωρία, όσο καλο-δομημένη κι αν
είναι, με όσα μη-αντιφατικά αξιώματα κι αν εξοπλισθεί, θα μείνουν πάντα
αλήθειες μη-αποδείξιμες, απροσπέλαστες απ’ τη μέθοδο του «ένα και ένα
κάνουν δύο». Αυτό φυσικά διόλου δεν σημαίνει ότι το Θεώρημα δείχνει πως η
Λογική είναι σαθρό εργαλείο. Καθόλου. Βάζει όμως φραγμό στην
παντοδυναμία της.
Ή με άλλα λόγια λέει ότι ανεξάρτητα από το πόσο σκληρά προσπαθείτε, ποτέ
δεν θα είσαστε σε θέση να μειώσετε όλα μαθηματικά για να εφαρμόσετε
σταθερούς κανόνες. Ανεξάρτητα από πόσους κανόνες και διαδικασίες
γράφετε, θα υπάρχουν πάντα μερικά αληθινά γεγονότα που δεν θα μπορείτε
να αποδείξετε.
Ωστόσο, το θεώρημα του Γκέντελ δεν επηρεάζει τα συνήθη μαθηματικά. Δύο
συν δύο εξακολουθούν να κάνουν τέσσερα.
Μερικοί επιστήμονες, όπως ο μαθηματικός και φυσικός της Οξφόρδης Roger
Penrose, έχουν χρησιμοποιήσει το θεώρημα της Μη Πληρότητας για να
υποστηρίξουν ότι ο ανθρώπινος εγκέφαλος δεν λειτουργεί σαν τον
υπολογιστή, και ειδικότερα ότι δεν είναι επιτεύξιμη η τεχνητή νοημοσύνη.
Σύμφωνα με την ερμηνεία του Penrose του θεωρήματος του Γκέντελ, τα
μαθηματικά έχουν ένα στοιχείο που είναι απολύτως δημιουργικό.
Από μια άλλη άποψη το θεώρημα αυτό δείχνει πως για να μπορέσει να
καταλάβει πλήρως το σύμπαν πρέπει να το θεωρήσει παρατηρώντας το από
μια θέση έξω απ' αυτό. Μέσα στο σύμπαν υπάρχουν όρια για την κατανόηση
του. Μήπως λοιπόν είναι ανώφελο να ψάχνουμε για να βρούμε όλες τις
απαντήσεις για τον Κόσμο μας; μήπως τα μυστικά του Κόσμου είναι καλά
κρυμμένα για τις οντότητες που είναι μέσα σε αυτόν;
Το τέλος του

Η φοβία του για επικείμενη τροφική
δηλητηρίαση τον ωθεί σε αυτο-επιβεβλημένη
ασιτία. Τα τελευταία χρόνια της ζωής του έβλεπε
παντού συνομωσίες κι είχε αναπτύξει διάφορες
φοβίες, όπως π.χ. η έκλυση διαφόρων τοξικών
αερίων κατά την επίσκεψή του στο ψυγείο. Λίγο
πριν ξεψυχήσει, ο Γκέντελ έχει βάρος 33 κιλά.
Κουλουριασμένος σαν έμβρυο, πεθαίνει το
Σάββατο, 14 Ιανουαρίου του 1978, στη μία το
μεσημέρι.
Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά
To τελευταίο θεώρημα του Φερμά είναι
ένα από τα πιο γνωστά θεωρήματα στην
ιστορία των μαθηματικών και αποδείχτηκε
πρόσφατα από τους μαθηματικούς
Άντριου Γουάιλς και Richard Taylor.
Εκφράζεται ως εξής:
 Είναι αδύνατον να χωρίσεις οποιαδήποτε
δύναμη μεγαλύτερη της δεύτερης σε δύο
ίδιες δυνάμεις.

Χρησιμοποιώντας πιο επίσημη μαθηματική σημειογραφία, το τελευταίο θεώρημα
του Φερμά μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:
Αν ένας ακέραιος n είναι μεγαλύτερος του 2, τότε η xn + yn = zn δεν έχει λύση,
όπου x, y, και z θετικοί ακέραιοι.
Παρά το γεγονός ότι σχετίζεται αρκετά με το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο έχει
άπειρες λύσεις και εκατοντάδες αποδείξεις, η έξυπνη αυτή παραλλαγή του Φερμά
στάθηκε πολύ δυσκολότερο να αποδειχτεί. Επίσης, επειδή το συγκεκριμένο
πρόβλημα γίνεται πολύ εύκολα κατανοητό από τον καθένα (ως προς τη
διατύπωσή του), έχουν δημιουργηθεί κατά καιρούς οι περισσότερες λανθασμένες
αποδείξεις από οποιοδήποτε άλλο πρόβλημα στην ιστορία των μαθηματικών. Όλα
τα θεωρήματα που είχαν προταθεί από τον Πιέρ ντε Φερμά αποδείχτηκαν, είτε με
δικές του αποδείξεις, είτε με αποδείξεις άλλων μαθηματικών, στους επόμενους δύο
αιώνες που ακολούθησαν τις προτάσεις. Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά δεν
ήταν το τελευταίο που διατύπωσε, αλλά το τελευταίο που αποδείχτηκε. Υπάρχουν
πολλές εξισώσεις που έχουν μορφή παρόμοια με αυτή του τελευταίου θεωρήματος
του Φερμά.
Ένα παράδειγμα έιναι η εξής:
Υπάρχουν άπειροι θετικοί ακέραιοι αριθμοί x, y, και z, τέτοιοι ώστε xn + yn = zm,
όπου n και m πρώτοι μεταξύ τους φυσικοι αριθμοί.
Απόδειξη
Andrew Wiles
Ο Andrew Wiles, που είχε γοητευτεί από το τελευταίο θεώρημα του Φερμά από τα 10
του χρόνια, έβαλε ως στόχο να το αποδείξει. Βέβαια εργαζόταν με απόλυτη
μυστικοπάθεια για 7 περίπου χρόνια με ελάχιστη βοήθεια από κάποια εξωτερική πηγή.
Το 1993, ο Wiles ανακοίνωσε την απόδειξή του σε μία σειρά διαλέξεων που
παραδόθηκαν στο ινστιτούτο για την επιστήμη των μαθηματικών "Ισαάκ Νεύτωνας"
στις 21,22 και 23 Ιουνίου 1993. Κατέπληξε το ακροατήριό του με το πλήθος των ιδεών
και των σχεδιασμών που χρησιμοποίησε για την απόδειξή του. Προηγουμένως, ο Wiles
είχε επανεξετάσει την απόδειξη με ένα καθηγητή από το Πρίνστον, τον Nick Katz.
Όμως, η απόδειξη περιείχε ένα κενό σε ένα κρίσιμο τμήμα της. Ο Wiles και ένας πρώην
φοιτητής του, ο Richard Taylor, ξόδεψαν περίπου ένα χρόνο προσπαθώντας να βρουν
την απόδειξη του προβλήματος, υπό αυστηρή επιτήρηση από τα μέσα και τη
μαθηματική κοινότητα. Το Σεπτέμβρη του 1994, κατάφεραν να αναβιώσουν την
απόδειξη με μικρές διαφορές, απορρίπτοντας τεχνικές που ο Wiles είχε χρησιμοποιήσει
στις προηγούμενες προσπάθειές του.
Προβλήματα για τον 21ο αιώνα...
του Τεύκρου Μιχαηλίδη

Τον Αύγουστο του 1900, έγινε στο Παρίσι το Δεύτερο Διεθνές
Συνέδριο Μαθηματικών. Ο David Hilbert, ο κορυφαίος
μαθηματικός εκείνης της εποχής, σε μια ιστορική ομιλία παρουσίασε
τα 23 προβλήματα που κατά τη γνώμη του θα απασχολούσαν τα
μαθηματικά του 20ου αιώνα. Είτε γιατί ο Hilbert, με τη γνώση και
τη διορατικότητά του μπόρεσε να προβλέψει σωστά, είτε γιατί το
κύρος του επηρέασε τους συναδέλφους του, το γεγονός είναι ότι
αυτά τα 23 προβλήματα κυριάρχησαν σε μεγάλο βαθμό στα
μαθηματικά του εικοστού αιώνα. Κάποια από αυτά λύθηκαν
πλήρως ή εν μέρει, άλλα αναδιατυπώθηκαν και γενικεύτηκαν και
τέλος τρία περιμένουν ακόμα τη λύση τους, κληροδότημα του αιώνα
που πέρασε προς τη χιλιετία που άρχισε.
Τετάρτη 8 Αυγούστου 1900
Η Σορβόννη
2ο διεθνές συνέδριο
μαθηματικών
Σχετικά με τα
μελλοντικά προβλήματα
των μαθηματικών
8
15
17
13
90
1
7
25
9
8
Στο διεθνές συνέδριο μαθηματικών παρευρισκόταν και ένας
Έλληνας, ο Στέφανος Κυπάρισσος
Μινκόφσκι
Ράσελ - Πεάνο
Ανταμάρ
Λα Βαλέ Πουσέν
Κλάιν
Πουανκαρέ
Χίλμπερτ
Το αμφιθέατρο της Σορβόννης
Και ποιος ανάμεσά μας δε θα ήθελε να
ανασηκώσει το πέπλο πίσω από το οποίο
βρίσκεται κρυμμένο το μέλλον; Να ρίξει μια
ματιά στις μελλοντικές προόδους της
επιστήμης μας και να μάθει τα μυστικά των
εξελίξεων στους αιώνες που έρχονται; Να
μάθει ποιοι θα είναι οι συγκεκριμένοι στόχοι
προς τους οποίους οι κορυφαίες μαθηματικές
διάνοιες των επερχόμενων γενεών θα
στρέψουν τις προσπάθειές τους; Ποιες νέες
μεθόδους και πια νέα στοιχεία από το
πλούσιο κι ευρύ πεδίο της μαθηματικής
σκέψης θα αποκαλύψουν οι επόμενοι αιώνες;
Όσο ένας κλάδος της επιστήμης έχει πολλά ανοικτά
προβλήματα παραμένει ζωντανός: η έλλειψη
προβλημάτων προοιωνίζει την εξαφάνισή του ή
τουλάχιστον το τέλος της αυτόνομης παρουσίας του.
Η πεποίθηση της επιλυσιμότητας οποιουδήποτε
προβλήματος αποτελεί ισχυρή ενίσχυση για τον
ερευνητή. Ακούμε μέσα μας την αιώνια παραίνεση:
Εδώ είναι το πρόβλημα. Βρες τη λύση του.
Μπορείς να τη βρεις με καθαρή λογική, γιατί στα
μαθηματικά δεν υπάρχει ignorabimus
Τα 23 προβλήματα

1. Η υπόθεση του συνεχούς.

2. H μη αντιφατικότητα των αξιωμάτων της
αριθμητικής.

3. Ορισμός του ευκλείδειου όγκου.

4 - 5 Ταξινόμηση των νέων γεωμετριών

6. Αξιωματικοποίηση της φυσικής.

7 - 13 Προβλήματα θεωρίας αριθμών.
Ξεχωρίζουν:
8. Υπόθεση Riemann και εικασία του Goldbach
10. Διοφαντικές εξισώσεις

14 - 18 Προβλήματα άλγεβρας

19 - 23 Προβλήματα ανάλυσης - διαφορικών εξισώσεων
Το Clay Mathematics Institute της Μασσαχουσέτης, ένα ίδρυμα που
χρηματοδοτείται από
επιχειρηματία Landon Clay, βρήκε έναν καθαρά αμερικάνικο τρόπο για να
γιορτάσει την εκατονταετηρίδα αυτής της μνημειώδους ομιλίας και να
τραβήξει το ενδιαφέρον του κοινού αλλά
των πολιτικών προς τα μαθηματικά. Ανέθεσε σε τέσσερις κορυφαίους
μαθηματικούς (ανάμεσά
και ο Andrew Wiles που έλυσε πρόσφατα το πρόβλημα του Fermat, ένα
πρόβλημα που περίμενε τη λύση του για 350 χρόνια περίπου) να
συντάξουν ένα κατάλογο από επτά προβλήματα,
προβλήματα της νέας χιλιετίας». Για καθένα από αυτά, προσφέρεται
αμοιβή ενός εκατομμυρίου δολλαρίων (περίπου 400 εκατομμυρίων
δραχμών). Η επιτροπή συγκεντρώθηκε στο College de France της Γαλλίας
και επέλεξε έξι νέα προβλήματα, τα οποία ήρθαν να προστεθούν στο
ξακουστό κόσμημα της συλλογής του Hilbert που αντιστέκεται ακόμα.
(Πρόκειται για το όγδοο πρόβλημα, την κατανομή των πρώτων αριθμών
που συνδέεται με την υπόθεση του Riemann).
Παρά το αναμφισβήτητο κύρος των τεσσάρων μαθηματικών του Clay
Institute, και τη δεδομένη σοβαρότητα των επτά προβλημάτων, το
εγχείρημα δεν παύει να είναι κατά βάση επικοινωνιακό. Τα εκατομμύρια
δολλάρια που πανάξια θα εισπράξουν αυτοί που σε δέκα, πενήντα ή
πεντακόσια χρόνια θα λύσουν τα προβλήματα, στοχεύουν στο να
θυμίσουν στον κόσμο ότι τα μαθηματικά, εκτός από σχολικός βραχνάς ή
εργαλείο κοινωνικής επιλογής, είναι και μια ζωντανή επιστήμη, ή όπως
λέει ο Arthur Jaffe, ο ένας από τους τέσσερις του Clay Institute, «...η βάση
της επιστήμης και o αναντικατάστατoς μοχλός του επιπέδου ζωής μας...»
Χωρίς αυτά δεν θα είχαμε, «ούτε υπολογιστές, ούτε συστήματα εντοπισμού
των οχημάτων, ούτε ημιαγωγούς, ούτε γονιδιακή έρευνα, ούτε
νανοτεχνολογία...». Όμως οι ίδιοι οι μαθηματικοί που ασχολούνται με την
έρευνα, δεν
2
αναμένεται να αλλάξουν σε τίποτα τις συνήθειές τους ή να επηρεαστούν
στο έργο τους. Το πολύ πολύ μερικοί ακόμα μαικήνες, ζηλεύοντας το
κλέος του Clay να κάνουν μερικές, πάντα ευπρόσδεκτες, δωρεές στη
μαθηματική έρευνα.
Πολύ πιο σοβαρό, αλλά λιγότερο «εφετζίδικο», είναι το εγχείρημα της
Διεθνούς Μαθηματικής Ένωσης (IMU): Προς το τέλος της δεκαετίας του 90, οι
μαθηματικοί αναρωτήθηκαν ποιος θα μπορούσε να αναλάβει να κάνει μια
παρουσίαση αντίστοιχη με εκείνη του Hilbert για τον νέο αιώνα.
Διαπιστώθηκε, πράγμα που οι περισσότεροι το γνώριζαν ήδη, ότι τέτοιος
μαθηματικός δεν υπήρχε! Η διεύρυνση της μαθηματικής θεματολογίας καθώς
και η εξειδίκευση είχαν σαν συνέπεια, να μην υπάρχει σήμερα μαθηματικός
με επαρκή γνώση ολόκληρου του φάσματος της μαθηματικής έρευνας. Ίσως ο
Henri Poincaré και ο Hilbert να ήταν οι τελευταίοι «Μαθηματικοί». Τώρα πια
έχουμε, στην καλύτερη περίπτωση, «Αναλύστες», «Αριθμοθεωρητικούς»,
«Αλγεβριστές», ή, ακόμα χειρότερα, ειδικούς στις πεπερασμένες ομάδες, στην
Κ-θεωρία, στη μη μεταθετική γεωμετρία...
Έτσι λοιπόν, η IMU ανέθεσε σε μια τετραμελή επιτροπή, με επικεφαλής το
ρώσσο μαθηματικό V.I. Arnold, να συγκεντρώσει τις απόψεις των κορυφαίων
μαθηματικών του πλανήτη μας πάνω στο θέμα. Αυτοί με τη σειρά τους
απευθύνθηκαν σε 31 συναδέλφους τους, κορυφαίους ερευνητές,
ακαδημαϊκούς, κατόχους του Fields Medal (το αντίστοιχο του Nobel για τα
μαθηματικά), ζητώντας τους να περιγράψουν τις προοπτικές της επιστήμης
τους για τον 21ο αιώνα. Οι απαντήσεις τους, που σύμφωνα με την ομολογία
των συντονιστών της έκδοσης δεν καλύπτουν καν ολόκληρο το φάσμα των
μαθηματικών, συγκεντρώθηκαν σ’ ένα τόμο 450 σελίδων (η ομιλία του Hilbert
κατελάμβανε 57) και εκδόθηκε από την Αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία.
Τόσο τα επτά προβλήματα του Clay Institute όσο και τα υπόλοιπα, που
περιέχονται στον πιο πάνω τόμο, είναι προβλήματα μόνο για ειδικούς.
Ελάχιστοι μαθηματικοί είναι σε θέση να καταλάβουν έστω και μόνο τη
διατύπωση του συνόλου αυτών των προβλημάτων. Πόσο μάλλον το ευρύ
κοινό. Υπάρχουν όμως και προβλήματα, που τουλάχιστον η διατύπωσή τους
είναι κατανοητή ακόμα και στον απόφοιτο της Τρίτης Γυμνασίου. Θα
κλείσουμε αυτή την παρουσίαση απαριθμώντας μερικά από αυτά. Με μια
προειδοποίηση. Όσο πιο εύκολη και απλή είναι η διατύπωσή τους, τόσο πιο
δύσκολη, σύνθετη και εξειδικευμένη είναι η λύση τους!
Ίσως το διασημότερο πρόβλημα στην ιστορία των μαθηματικών είναι το
πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, δηλαδή το πρόβλημα της
κατασκευής, με κανόνα και διαβήτη, ενός τετραγώνου που να έχει το ίδιο
εμβαδόν με ένα δοσμένο κύκλο. Παρόλο που το πρόβλημα του
τετραγωνισμού - χωρίς διευκρίνηση της μεθόδου - υπάρχει ήδη σε
Αιγυπτιακούς παπύρους του
17ου π.Χ. αιώνα, στη σημερινή του μορφή, με σαφείς περιορισμούς πρέπει
να διατυπώθηκε γύρω στον 5ο π.Χ. αιώνα, στην Αρχαία Ελλάδα. Η τελική,
αρνητική λύση δόθηκε το 1882 μ.Χ. όταν με το θεώρημα Hermite –
Lindemann αποδείχθηκε ότι δεν είναι δυνατός ο τετραγωνισμός του
κύκλου με κανόνα και διαβήτη. Μ’ ένα διάστημα 2300 ετών από την πρώτη
του σαφή διατύπωση μέχρι την τελική του λύση, ο τετραγωνισμός του
κύκλου είναι αδιαμφισβήτητα το μακροβιότερο πρόβλημα στην ιστορία
των μαθηματικών. Από κοντά και τα δύο άλλα διάσημα προβλήματα της
αρχαιότητας, ο χωρισμός με αποκλειστική χρήση κανόνα και διαβήτη μιας
τυχαίας γωνίας σε τρία ίσα μέρη (η τριχοτόμηση της γωνίας) και η
κατασκευή ενός κύβου που να έχει όγκο διπλάσιο από ένα δοσμένο κύβο
(το «Δήλειο Πρόβλημα» του διπλασιασμού του κύβου, πάντα με κανόνα
και διαβήτη).
Ας έρθουμε τώρα σε πιο σύγχρονα προβλήματα. Ποιος είναι ο ελάχιστος
αριθμός χρωμάτων που χρειάζονται για να χρωματίσουμε ένα επίπεδο
χάρτη, έτσι ώστε δυο γειτονικές χώρες να μην έχουν το ίδιο χρώμα; Είναι
αρκετά φανερό από το διπλανό σχήμα, ότι τρία χρώματα δεν επαρκούν. Ήδη
από το 1850 είχε, σχετικά εύκολα, αποδειχθεί, ότι πέντε χρώματα αρκούν για
οποιονδήποτε χάρτη. Δεν είχε όμως βρεθεί κανένα παράδειγμα στο οποίο να
είναι απαραίτητα τα πέντε χρώματα. Έτσι διατυπώθηκε η εικασία, που έγινε
γνωστή ως το πρόβλημα των τεσσάρων χρωμάτων, ότι τέσσερα χρώματα
επαρκούν. Χρειάστηκαν 126 χρόνια, μέχρι να αποδειχθεί τελικά ότι η εικασία
αυτή είναι αληθινή. Το θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων είναι μάλιστα το
πρώτο πρόβλημα στην ιστορία των μαθηματικών που λύθηκε με ουσιαστική
βοήθεια από τους ηλεκτρονικούς υπολογιστές.
Μια αναφορά σε διάσημα προβλήματα με απλή διατύπωση, δε θα ήταν
ποτέ πλήρης αν δεν περιελάμβανε και το «Τελευταίο Θεώρημα του
Fermat»: Η εξίσωση x2+y2=z2 έχει όσες ακέραιες λύσεις θέλουμε. (x=3, y=4,
z=5 ή ακόμα x=5, y=12, z=13). Αυτό ήταν άλλωστε γνωστό και στους
Βαβυλώνιους ήδη από τη 2η χιλιετία π.Χ. Ο γάλλος «ερασιτέχνης»
μαθηματικός Pierre Fermat γύρω στο 1637, (τον καιρό δηλαδή του Ντ’
Αρτανιάν), διαβάζοντας τη λατινική μετάφραση των «Αριθμητικών» του
Διόφαντου, σημείωσε στο περιθώριο ότι για καμιά άλλη δύναμη, αυτή η
εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις. (Δηλαδή η εξίσωση xν+yν=zν δεν έχει
ακέραιες λύσεις για κανένα ν μεγαλύτερο του 2). Το πρόβλημα του Fermat
είναι πιθανότατα το πρώτο πρόβλημα στην ιστορία των μαθηματικών που
«επικηρύχθηκε». Το 1908, ανακοινώθηκε ότι ο Paul Wolfskehl, ένας μάλλον
άσημος αλλά αρκετά πλούσιος μαθηματικός, είχε κληροδοτήσει το ποσό
των 100.000 μάρκων για να προσφερθεί από το Πανεπιστήμιο του
Göttingen σε όποιον αποδείξει το θεώρημα 3
4
του Fermat. Χρειάστηκε να περάσουν ακόμη 87 χρόνια, δηλαδή συνολικά
περισσότερα από 350 χρόνια μέχρι το 1995, όταν ο Andrew Wiles έδωσε
την τελική απόδειξη.
Ας δούμε τέλος μερικά προβλήματα που
παραμένουν ακόμα ανοικτά:

1. Η εικασία του Goldbach: Σε μια επιστολή του προς τον
Eüler το 1742, ο ρώσσος μαθηματικός Christian
Goldbach διατύπωνε την εικασία ότι κάθε άρτιος (ζυγός)
ακέραιος μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως
άθροισμα δύο πρώτων. Η εικασία του Goldbach, εκτός
από ένα πολύ δύσκολο πρόβλημα με απλή διατύπωση
είναι χωρίς αμφιβολία και το αγαπημένο παιδί των
λογοτεχνών. Εμφανίζεται σε τρία τουλάχιστον
μυθιστορήματα, σ’ ένα από αυτά μάλιστα στον τίτλο.
2. Το πρόβλημα των τέλειων αριθμών. Ένας αριθμός ονομάζεται τέλειος αν
είναι ίσος με το άθροισμα των γνησίων διαιρετών του. Για παράδειγμα το 6
και το 28: 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14. Όλοι οι τέλειοι αριθμοί που είναι
γνωστοί σήμερα είναι άρτιοι. Είναι ανοικτό πρόβλημα αν υπάρχουν
περιττοί (μονοί) τέλειοι αριθμοί. Ακόμη, είναι ανοικτό το αν υπάρχουν
άπειροι τέλειοι αριθμοί. Με δεδομένο ότι τα προβλήματα των τέλειων
αριθμών αποδίδονται στους Πυθαγορείους, είναι τα παλαιότερα ανοικτά
ακόμα προβλήματα στα Μαθηματικά. Πάλι στους Πυθαγόρειους
οφείλονται και οι φίλοι αριθμοί. Δυο αριθμοί λέγονται φίλοι αν ο καθένας
ισούται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του άλλου. για παράδειγμα
το 220 και το 284. 284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 (όλοι οι διαιρέτες
του 220)
220=1+2+4+71+142 (όλοι οι διαιρέτες του 284).
Δε γνωρίζουμε σήμερα αν τα ζευγάρια των φίλων αριθμών είναι άπειρα ή
πεπερασμένα.
3. Προβλήματα με πρώτους αριθμούς (θυμίζουμε ότι πρώτος είναι
ένας αριθμός που δεν έχει άλλους διαιρέτες εκτός από τον εαυτό του
και τη μονάδα – το 2, το 3, το 5 είναι πρώτοι ενώ το 4, το 6, το 9, το
15 δεν είναι). Για παράδειγμα:
• υπάρχουν άπειρα ζευγάρια διδύμων πρώτων; (δηλαδή ζευγάρια
πρώτων αριθμών που να διαφέρουν κατά δύο μονάδες, όπως το 3
και το 5, το 5 και το 7, το 17 και το 19)
• υπάρχουν άπειροι πρώτοι ρ τέτοιοι ώστε να είναι πρώτος και ο
2ρ+1 (όπως για παράδειγμα το 2, το 3, το 5)
• Υπάρχει πάντα ένας πρώτος αριθμός ανάμεσα στα τετράγωνα
δυο διαδοχικών ακεραίων;
Η εικασία του Πουανκαρέ...σήμερα!

Ουάσινγκτον: Η λύση σε ένα από τα δυσκολότερα προβλήματα Μαθηματικών από
έναν ιδιόρυθμο Ρώσο ερευνητή έρχεται πρώτη στο Top 10 των επιστημονικών
εξελίξεων του 2006 που συνέταξε και φέτος το περιοδικό Science.

O 40χρονος Γριγκόρι Πέρελμαν -γνωστός και ως «Γκρίσα»- απέδειξε την Εικασία
του Πουανκαρέ, μια μαθηματική υπόθεση στον δύσκολο κλάδο της Τοπολογίας
που διατύπωσε το 1904 ο Γάλλος μαθηματικός, φυσικός και φιλόσοφος Ζιλ Ανρί
Πουανκαρέ.

H Εικασία προβλέπει ότι μια τρισδιάστατη σφαίρα είναι ο μόνος κλειστός
τρισδιάστατος χώρος που δεν έχει οπές. Θεωρείται κεντρικό πρόβλημα τόσο στα
Μαθηματικά όσο και στη Φυσική καθώς αφορά τα σχήματα που είναι δυνατόν να
έχει το Σύμπαν.

Η λύση, έκτασης σχεδόν 500 σελίδων, δημοσιεύθηκε ανεπίσημα το 2002 ωστόσο
μόλις φέτος επιβεβαιώθηκε εν μέρει από την ακαδημαϊκή κοινότητα.

Τον Αύγουστο, ο Πέρελμαν έγινε ο πρώτος άνθρωπος που αρνήθηκε το Μετάλλιο
Φιντς, τη μεγαλύτερη διάκριση των Μαθηματικών, και άφησε να εννοηθεί ότι θα
αρνηθεί και το έπαθλο του ενός εκατ. δολαρίων που προσφέρει το Ινστιτούτο
Μαθηματικών Clay στις ΗΠΑ.
Η Εικασία του Πουανκαρέ κορυφαίο
επιστημονικό επίτευγμα του 2006
Από το εξώφυλλο του
Science.
 Η Εικασία του
Πουανκαρέ αφορά τα
δυνατά σχήματα του
Σύμπαντος

Αντρέ Βέιλ






1906-1998
Γεννήθηκε στο Παρίσι
Εβραϊκής καταγωγής
Σε ηλικία 16 ετών μαθαίνει
σανσκριστικά για να διαβάσει
το Bhagarda Gita.
Το 1928 τελειώνει το
διδακτορικό του υπό την
επίβλεψη του Hadamard.
1930-32 δίδαξε στο
Μουσουλμανικό Πανεπιστήμιο
στην Ινδία.
Αντρέ Βέιλ
Είναι ιδρυτικό μέλος της ομάδας Nikola Bourbaki μαζί με τον Dieudonne
Μαζί με άλλους Γάλλους μαθηματικούς ξεκίνησαν το1930 μια προσπάθεια να
δώσουν μια ενιαία περιγραφή των Μαθηματικών.Η επιρρόη της ομάδας των
Bourbaki ήταν πολύ μεγάλη στην διαμόρφωση μιας αντίληψης για πιο
αυστηρά δομημένα μαθηματικά.
 Στην προσπάθεια να αποφύγει να συμμετάσχει στον 2ο Παγκόσμιο Πόλεμο
κατέφυγε στην Φινλανδία ,εκεί συνελήφθη ως κατάσκοπος των Σοβιετικών
(βρέθηκαν στο σπίτι του σημειώσεις μαθηματικών στα ρώσικα ).
Παραδόθηκε στην Γαλλία οπού και καταδικάστηκε σε θάνατο .Περιμένοντας την
εκτέλεση του ασχολήθηκε με τα μαθηματικά και έγραψε σπουδαία έργα.
Δέχτηκε να καταταγεί στον Γαλλικό στρατό και μετά κατάφερε να δραπετεύσει
για τις Ηνωμένες Πολιτείες.
 Στην συνέχεια εργάστηκε σε διάφορα Πανεπιστήμια στις Η.Π.Α άλλα και στο
Σαν Πάολο της Βραζιλίας.

Ρόμπερτ Οπενχάιμερ

Ο Ρόμπερτ Οπενχάιμερ (Julius Robert
Oppenheimer, 22 Απριλίου 1904 - 18
Φεβρουαρίου 1967) ήταν ένας Αμερικανικός
θεωρητικός φυσικός.

Σπούδασε στα πανεπιστήμια του Χάρβαρντ
και Καίμπριτζ. Έγινε καθηγητής στο
πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας. Ασχολήθηκε
με τη κβαντική φυσική των υποατομικών
σωματιδίων και τις πυρηνικές αντιδράσεις.

Έγινε γνωστός για το ρόλο του ως διευθυντής
του Σχεδίου Μανχάτταν, την προσπάθεια της
κατασκευής του πρώτου πυρηνικού όπλου στο
μυστικό εργαστήριο στο Λος Άλαμος στην
πολιτεία του Νέου Μεξικού. Ως "πατέρας της
ατομικής βόμβας", υποστήριξε την
χρησιμοποίησή της, που κατέστρεψε τις
ιαπωνικές πόλεις της Χιροσίμα και του
Ναγκασάκι το 1945 κατά την διάρκεια του Β'
Παγκοσμίου Πολέμου
Gilberte Pascal: The life of Pascal

Blaise Pascal's sister, Gilberte Pascal, wrote The life of Pascal which was printed in J
Chevalier (ed.), Pascal, Oeuvres Complète (Libraire Gallimard, 1954). We give below
some extracts from Gilberte Pascal's biography of her brother:

[My father Etienne knew] mathematics fills and satisfies the soul, [so] he did not
want my brother to learn anything about it, so that he would not neglect Latin and
other languages. ...

But since my father had been so careful to conceal all these [mathematical objects]
from him that he did not even know their names, he ws forced to invent his own
manes. Thus he called a circle a 'round' and a line a [rod], and similarly for all the
rest. Using these names, he set up axioms and finally complete proofs. And since, in
this matter, one proceeds from one thing to another, he continued to make progress
and pushed his investigations to the point where he reached the thirty-second
proposition of Book I of Euclid [sum of the angles of a triangle is 180q]. And just as
he was occupied with this, my father happened to enter the room in which he was
working, without my brother hearing him. He found my brother so busy that for
some time he was not aware of my father's entrance. It is impossible to say who was
the more surprised; the son when he saw his father and thought of the explicit
prohibition the latter had uttered, or the father, when he found his son thus occupied.
The astonishment of the father was even greater, however, when he asked his son
whet he was doing and the latter answered that he was investigating a certain matter
- which turned out to be Proposition 32 of Book I of Euclid. my father was so shocked
by the greatness and ability of this genius that he left him without saying a word. ...
When Blaise Pascal was twelve years old, Etienne let him read Euclid. Gilberte
Pascal describes this as follows:
He used only his hours of recreation on this study, since he was learning Latin
according to the rules my father had laid down for him. Since, however, he found
in this science the truth, which he had always so passionately sought, it satisfied
him so completely that he threw his whole soul into the work. Thus no matter
how little time he had left for it, he made such strides that at the age of sixteen he
wrote a paper on the conic sections which was considered such an important
intellectual achievement that it was said that nothing so powerful had been seen
since Archimedes.
However Pascal gave up mathematics when he was twenty-four years old. Gilberte Pascal
describes how this came about:
When he was not yet twenty-four years old, Divine Providence induced him to read pious
books, and God enlightened him so much by this reading of holy works that he saw clearly
that the Christian religion requires us to live only for God and to have no other goal but
Him. And this truth seemed to him so enlightening, so necessary and so useful, that it put
an end to all his investigations.
«Όμφακες εισί»





Μια αλεπού πεινασμένη είδε πάνω σ' ένα δέντρο πλεγμένη μια
κληματαριά γεμάτη χοντρόρωγα, κατακίτρινα σταφύλια. Τα ζήλεψε και
πολύ επιθυμούσε να τα δοκιμάσει, μα πώς ν' ανεβεί. Οι αλεπούδες δεν
είναι γατιά, να πιάνουνται με τα νύχια τους και ν' ανεβαίνουν όπου τους
γουστάρει. Ωστόσο, δοκίμασε κάμποσες φορές. Πιάστηκε από δω,
πιάστηκε από κει, τίποτα δεν κατάφερνε. Καθότανε μόνο κάτω, σήκωνε
τα μάτια της στα σταφύλια, τα κοίταζε καλά καλά κι ο καημός τους την
έτρωγε. Στα κατατελευταία απελπισμένη, για να παρηγορηθεί, κορόιδεψε
η ίδια τον εαυτό της:
- Δε βαριέσαι, δεν πειράζει, ας πάμε παρακάτω... Εξάλλου αυτά δεν
τρώγονται.Αγίνωτα είναι ακόμη...
Τα σταφύλια, ακούοντάς τη, μοιάζανε να την ειρωνεύονται, να την
περιγελούν.
- Ακούς εκεί... Είμαστε, λέει, αγίνωτα!... Εμείς, κυρα-αλεπού, αγίνωτα
δεν είμαστε. Γλυκά σαν το μέλι είμαστε. Μα αφού δε μας φτάνεις, τι να
πεις... μας λες αγίνωτα, για να ξεγελάσεις την ανημποριά σου!"
(Ο γνωστός μύθος του Αισώπου "Αλεπού και Σταφύλια", σε απόδοση
Έλλης Αλεξίου)