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Matrices
Lic. Mat. Helga Kelly Quiroz Chavil
Definición de Matriz
Una matriz es un arreglo rectangular de números en
filas y columnas, encerrados entre corchetes o
paréntesis.
Ejemplo:
Tipos de Matrices
Matriz Cuadrada
Se llama así a la matriz que tiene el mismo
número de filas y columnas.
Ejemplo:
Es una matriz cuadrada de orden 3x3 o simplemente
diremos que tiene orden 3.
Matriz Nula
Si todos sus elementos son cero. También se
denomina matriz cero y se denota por
Por ejemplo, la matriz
sería la matriz:
0=
Matriz Identidad:
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos
nulos excepto los de la diagonal principal que son
iguales a 1. También se le denomina matriz unidad y
normalmente se le representa por la letra I:
Matriz Escalar
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos
nulos excepto los de la diagonal principal que son
iguales. Por ejemplo:
Transpuesta de una matriz
Dada una matriz A, se llama transpuesta de A a
la matriz que se obtiene cambiando
ordenadamente las filas por las columnas. Se
representa por
. Por ejemplo:
Sea
entonces
Propiedades
𝑇
𝑇
𝑇
1.(𝐴 + 𝐵) = 𝐴 + 𝐵
2.(AT)T = A.
𝑇
𝑇
3. (𝐾𝐴) = 𝐾𝐴 (si K es un
escalar)
𝑇
𝑇 𝑇
4. (𝐴𝐵) = 𝐵 𝐴
OPERACIONES CON MATRICES
Adición de matrices
Ejemplo 1:
Calcular la matriz C=A+B,
Diferencia de Matrices
Ejemplo 1:
Calcular la matriz C=A - B, si:
Multiplicación de una matriz por un escalar
Ejemplo:
Sea K = 5
Hallar KA.
y
A=
Producto de dos matrices
Dos matrices A y B se dicen multiplicables si
el número de columnas de A coincide con el
número de filas de B.
Es decir :
Am x n x Bn x p = C m x p
Ejemplo
a. Hallar AxB, si
b.
Si
c. Si A=
y
y B=
Calcular AxB.
Calcular A.B
Determinante de una matriz
El determinante es una función que aplicada a una matriz cuadrada
asigna a esta un valor numérico. Dada una matriz cuadrada su
determinante se denota como:
Se lee “determinante de A”.
Determinante de una matriz de orden 2x2
Sea la matriz
entonces el determinante de A es :
Ejemplo:
Calcular el determinante de
Determinante de una matriz de orden 3
Sea la matriz
Entonces el determinante de la matriz A es:
Ejemplo
Sea
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones
lineales de la forma:
a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + · · · + a1n xn = b1
a21x1 + a22 x2 + a23 x3 + · · · + a2n xn= b2
.
.
am1x1 + am2 x2 + am3 x3 + · · · + amn xn =bm
En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas.
Características del sistema
a : Matriz de coeficientes.
ij
xi : Vector columna de incógnitas
bj : Vector columna de términos independientes.
La matriz:
A=
se llama matriz de coeficientes.
La matriz:
x=
se llama matriz de incógnitas.
La matriz:
B=
se llama matriz de términos independientes.
Ejemplo
El sistema:
x+y−z =5
x+y
=7
x + 2y − z = 12
escrito matricialmente es?
Tipos de sistemas
Según el número de soluciones, los sistemas se
clasifican en:
1) Sistema incompatible
No tiene soluciones
2) Sistema compatible determinado
Tiene
solución única
3) Sistema compatible indeterminado
infinitas soluciones.
Tiene
Regla de Cramer
La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de
ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que
cumplan las dos condiciones siguientes:
1. El número de ecuaciones es igual al número de
incógnitas.
2. El determinante de la matriz de los coeficientes
es distinto de cero.
Regla de Cramer
=
Llamemos Δ el determinante de la matriz de coeficientes.
Δ=
Sean: Δ 1, Δ 2 , Δ 3 , ... , Δ n los determinantes que
se obtiene al sustituir los coeficientes de la columna
de los términos independientes en la 1ª columna , en
la 2ª columna, en la 3ª columna y en la enésima
columna respectivamente.
Luego:
Δ1
X1=
Δ
Δ2
X2=
Δ
Δ3
Δn
X3=
…. Xn=
Δ
Δ
Asi:
Ejemplo:
1. Calcular el valor de X, Y , Z por el método de
Cramer en el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y + z = 1
x – 2y + 3z = 2
x
+
z
= 5
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
utilizando la regla de Cramer:
x – y + 2z = 5
2x – 4y + 3z = 11
3x + 3y – z = 2
Teoría de Logaritmos
DEFINICIÓN
Si a>0 y a1, se define el logaritmo en base a de un
número N de la siguiente manera:
Ejemplos:
Observación:
Los
logaritmos
más
utilizados
son
los
logaritmos decimales (de base 10) y los
logaritmos neperianos(de base el número e
2'71828182....). Ambos tienen una notación
especial
PROPIEDADES.
a) loga1=0
b) logaa=1
c) loga (N·M)=loga N + loga M
d) loga (N:M)=loga N - loga M
e) loga (NM)= M . loga N
f) *
Ecuaciones logarítmicas
Las
ecuaciones
logarítmicas
son
aquellas
ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada
por un logaritmo. Tener en cuenta:
Las propiedades de los logaritmos.
Resolver:
Ecuación exponencial
Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la
que la incógnita aparece en el exponente.
Para resolver una ecuación exponencial vamos a
tener en cuenta:
1.
a> 0 , a ≠ 1
2.
𝑎 𝑥1 = 𝑎 𝑥2
3. Las propiedades de las potencias:
Propiedades
Propiedades
Ejemplos:
Resolver las siguientes ecuaciones Exponenciales
5x + 52 ·5x + 54 ·5x = 651
Resolver las siguientes ecuaciones Exponenciales