Transcript Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

1.Las cuatro operaciones fundamentales
2.Productos notables y factorización
3.Fracciones
4.Ecuaciones de primer grado
5.Funciones y gráficas
6.Ecuaciones simultaneas de primer grado
7.Exponentes radicales
8.Ecuaciones de segundo grado
9.Razones, proporciones y variaciones
10.Logaritmos
1. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
2. Resolución gráfica de dos ecuaciones de primer
grado con dos incógnitas
3. Eliminación de una variable por adición o
sustracción
4. Eliminación de una variable por sustitución
5. Solución de dos ecuaciones de primer grado con
dos incógnitas por medio de determinantes
6. Problemas cuyas soluciones implican sistemas de
ecuaciones de primer grado
7. Determinantes de tercer orden
8. Solución de un sistema de tres ecuaciones de
primer grado por medio de determinantes
y  mx  b
y  mx  b
6 y  3x 
2  x3 y
7 a  5 b  3  17 a  b
3 s  5t  0
y  mx  b
Podem os darle valores a x y encontrar valores
para y .
E s decir, para cualquier valor de x tenem os
una solución diferente de la ecuación.
5 y  3x  7  7 x  8
5 y  3x  7  7 x  8
5 y  7 x  8  3x  7
5 y  3x  7  7 x  8
5 y  7 x  8  3x  7
5 y  10 x  15
5 y  3x  7  7 x  8
5 y  7 x  8  3x  7
5 y  10 x  15
y  2x  3
y  2x  3
x
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
-3
-5
-7
-9
-11
-13
-15
-17
-19
-21
y  2x  3
y
6
4
2
-5
-4
-3
-2
-1
1
-2
-4
-6
-8
-1 0
-1 2
2
3
4
5
x
y  7 x  6
y
40
30
20
10
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1 0
-2 0
-3 0
2
3
4
5
x
y  mx  b
E s una recta con pendiente m
y con ordenada al origen b .
La pendiente es m  tan 
1. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
2. Resolución gráfica de dos ecuaciones de primer
grado con dos incógnitas
3. Eliminación de una variable por adición o
sustracción
4. Eliminación de una variable por sustitución
5. Solución de dos ecuaciones de primer grado con
dos incógnitas por medio de determinantes
6. Problemas cuyas soluciones implican sistemas de
ecuaciones de primer grado
7. Determinantes de tercer orden
8. Solución de un sistema de tres ecuaciones de
primer grado por medio de determinantes
ax  by  m
cx  d y  n
x  2 y  3
3x  y  5
x  2 y  3
x  2 y  3
x  2y  3
x  2 y  3
x  2y  3
2y  3 x
x  2 y  3
x  2y  3
2y  3 x
y 
3
2

x
2
y 
3
2
y

x
2
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
2
3
4
5
x
x  2 y  3
3x  y  5
3x  y  5
3x  y  5
y  3 x  5
y  3 x  5
y
20
10
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1 0
2
3
4
5
x
y
20
x  2 y  3
18
16
3x  y  5
14
12
10
8
6
4
2
-5
-4
-3
-2
-1
-2
-4
-6
-8
-10
1
2
3
4
5
x
x  2 y  3
3x  y  5
x 1
y2
x  2 y  3
x 1
3x  y  5
y2
x  2 y  1  2  2  1  4  3  3
3x  y  31  2  3  2  5  5
1. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
2. Resolución gráfica de dos ecuaciones de primer
grado con dos incógnitas
3. Eliminación de una variable por adición o
sustracción
4. Eliminación de una variable por sustitución
5. Solución de dos ecuaciones de primer grado con
dos incógnitas por medio de determinantes
6. Problemas cuyas soluciones implican sistemas de
ecuaciones de primer grado
7. Determinantes de tercer orden
8. Solución de un sistema de tres ecuaciones de
primer grado por medio de determinantes
x  2 y  3
3x  y  5
x  2y  8
2x  y  7
3x  3 y  3
4x  y  5
2
x
1
y  6
3
2
1
x y  7
2
1. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
2. Resolución gráfica de dos ecuaciones de primer
grado con dos incógnitas
3. Eliminación de una variable por adición o
sustracción
4. Eliminación de una variable por sustitución
5. Solución de dos ecuaciones de primer grado con
dos incógnitas por medio de determinantes
6. Problemas cuyas soluciones implican sistemas de
ecuaciones de primer grado
7. Determinantes de tercer orden
8. Solución de un sistema de tres ecuaciones de
primer grado por medio de determinantes
3x  2 y  4
4x  9 y  1
x  4y  4
3x  6 y  7
5
3
x 
1
y 
4
x  5 y  2
19
4
1. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
2. Resolución gráfica de dos ecuaciones de primer
grado con dos incógnitas
3. Eliminación de una variable por adición o
sustracción
4. Eliminación de una variable por sustitución
5. Solución de dos ecuaciones de primer grado con
dos incógnitas por medio de determinantes
6. Problemas cuyas soluciones implican sistemas de
ecuaciones de primer grado
7. Determinantes de tercer orden
8. Solución de un sistema de tres ecuaciones de
primer grado por medio de determinantes
2x  y  4
3x  4 y  1
2x  y  4
3x  4 y  1
2
1
3
4
2x  y  4
3x  4 y  1
2
1
3
4
  2     4    3     1   8    3    8  3   5
2x  y  4
3x  4 y  1
2
1
3
4
 5
2x  y  4
3x  4 y  1
4
1
1
4
2x  y  4
3x  4 y  1
2
4
3
1
2x  y  4
3x  4 y  1
4
1
2
4
1
4
3
1
2x  y  4
3x  4 y  1
4
1
1
4
  4    4   1    1    16    1    16  1   15
2x  y  4
3x  4 y  1
2
4
3
1
  2  1    3   4   2  12   10
2x  y  4
3x  4 y  1
4
1
1
4
  15 ;
2
4
3
1
  10
2x  y  4
3x  4 y  1
x 
4
1
1
4
2
1
3
4

15
5
3
2x  y  4
3x  4 y  1
y 
2
4
3
1
2
1
3
4

10
5
 2
2x  y  4
3x  4 y  1
x 
4
1
1
4
2
1
3
4

15
5
 3; y 
2
4
3
1
2
1
3
4

10
5
 2
2x  y  4
3x  4 y  1
x  3;
y  2
4 x  3 y  2
x y  4  0
4 x  3 y  2
x  y  4
4 x  3 y  2
x  y  4
4
3
1
1
  4    1   1   3    4  3   7
4 x  3 y  2
x  y  4
2
3
4
1
   2    1     4   3   2  12  14
4 x  3 y  2
x  y  4
4
2
1
4
  4    4   1    2    16  2   14
4 x  3 y  2
x  y  4
x 
2
3
4
1
4
3
1
1

14
7
 2
4 x  3 y  2
x  y  4
y 
4
2
1
4
4
3
1
1

14
7
 2
4 x  3 y  2
x  y  4
x   2;
y  2
ax  by  m
cx  d y  n
ax  by  m
cx  dy  n
a
D 
c
b

d
m
Nx  
n
b

d
a
Ny  
c
m

n
a
det D  
c

b

ad

cb

d
ax  by  m
cx  dy  n
x
det N x
det D
a
D 
c
b

d
m
Nx  
n
y 
det N y
det D
b

d
a
Ny  
c
m

n
1. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
2. Resolución gráfica de dos ecuaciones de primer
grado con dos incógnitas
3. Eliminación de una variable por adición o
sustracción
4. Eliminación de una variable por sustitución
5. Solución de dos ecuaciones de primer grado con
dos incógnitas por medio de determinantes
6. Problemas cuyas soluciones implican sistemas
de ecuaciones de primer grado
7. Determinantes de tercer orden
8. Solución de un sistema de tres ecuaciones de
primer grado por medio de determinantes
U n problem a que se puede resolver m edian te
ecuaciones incluye varias cantidades de las
cuales unas son conocidas y otras descon ocidas.
Igualm ente contiene datos que perm iten
observar la igualdad entre dos com binaciones
de esas cantidades.
U n problem a que se puede resolver m edian te ecuaciones incluye
varias cantidades de las cuales unas son conocidas y otras
desconocidas. Igualm ente contiene datos que perm iten observar
la igualdad entre do s com binaciones de esas cantidades.
S i el problem a se puede resolver m ediante
ecuaciones, entonces las cantidades
desconocidas deben expresarse en
térm inos de una sola letra.
E l p ro ced im ien to p ara reso lver u n
p ro b lem a m ed ian te el u so d e
ecu acio n es n o siem p re es fácil y
p ara lo g rar cierta ap titu d se req u iere
u n a p ráctica co n sid erab le.
E l procedim iento para resolver un proble m a
m ediante el uso ecuaciones no siem pre
es fácil y para lograr cierta aptitud se
requiere una práctica considerable.
P ara ello se sugiere el siguiente esquem a:
1. Leer cuidadosam ente el problem a y
estudiarlo hasta que quede
perfectam ente clara la situación que
plantea.
!!!!! Muy importante ¡¡¡¡¡
2. Identificar las cantidades com prendid as
en el problem a, tanto las conocidas com o
las desconocidas.
3. E legir las cantidades desconocidas
y representarlas m ediante letras,
generalm ente x , y , z ....
D espués expresar las otras cantidades
desconocidas en térm inos de estas letras .
4. B uscar en el problem a los datos que
indiquen qué cantidades o com binaciones
apropiadas, encontradas en el paso anter ior.
5. Form ular las ecuaciones, igualando
las cantidades o com binaciones
apropiadas encontradas en el paso
anterior.
6. R esolver las ecuaciones obtenidas
y com probar la solución.
x

2
2
3
x
1
2

3
y  2200
y  1600
x

2
2
3
x
1

2
y  2200
y  1600
3

3 x  4 y  13200
3 x  2 y  9600

2 y  3600
y  1800
x 
9600  2 y
3

9600  3600
3
 2000
10 x  6 y  50
y  2x  1
10 x  6 y  50
y  2x  1

1 0 x  6  2 x  1  5 0

10 x  12 x  6  50
22 x  44
x  2
y  5
1. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
2. Resolución gráfica de dos ecuaciones de primer
grado con dos incógnitas
3. Eliminación de una variable por adición o
sustracción
4. Eliminación de una variable por sustitución
5. Solución de dos ecuaciones de primer grado con
dos incógnitas por medio de determinantes
6. Problemas cuyas soluciones implican sistemas de
ecuaciones de primer grado
7. Determinantes de tercer orden
8. Solución de un sistema de tres ecuaciones de
primer grado por medio de determinantes
a1 x  b1 y  c1 z  d 1
a 2 x  b2 y  c 2 z  d 2
a 3 x  b3 y  c 3 z  d 3
1) S olución por sustitución
2) S olución por sum as y restas
3) S olución por determ inantes
a1 x  b1 y  c1 z  d 1
a 2 x  b2 y  c 2 z  d 2
a 3 x  b3 y  c 3 z  d 3
 a1

L a m atriz d el sistem a:   a 2

a
 3
b1
b2
b3
c1 

c2

c 3 
a1 x  b1 y  c1 z  d 1
a 2 x  b2 y  c 2 z  d 2
a 3 x  b3 y  c 3 z  d 3
L a m atriz d e x :  x
 d1

 d2

d
 3
b1
b2
b3
c1 

c2

c 3 
a1 x  b1 y  c1 z  d 1
a 2 x  b2 y  c 2 z  d 2
a 3 x  b3 y  c 3 z  d 3
L a m atriz d e y :  y
 a1

 a2

a
 3
d1
d2
d3
c1 

c2

c 3 
a1 x  b1 y  c1 z  d 1
a 2 x  b2 y  c 2 z  d 2
a 3 x  b3 y  c 3 z  d 3
L a m atriz d e z :
z
 a1

 a2

a
 3
b1
b2
b3
d1 

d2


d3 
a1 x  b1 y  c1 z  d 1
a 2 x  b2 y  c 2 z  d 2
a 3 x  b3 y  c 3 z  d 3
x
det  x
det 
y 
det  y
det 
z 
det  z
det 
5
3
3
3
1
0
4
2
3
T ru c o q u e s o lo s irv e p a ra m a tric e s 3 x 3
1 ) S e d u p lic a n lo s re n g lo n e s 1 y 2
5
3
3
3
1
0
4
2
3
5
3
3
3
1
0
2 ) S e m u ltip lica n d ia g o n a lm e n te h a cía a b a jo co n sig n o +
y d ia g o n a lm e n te h a cía a rrib a co n sig n o -
5
3
3
3
1
0
4
2
3
5
3
3
3
1
0
 5    1    3    3   2    3    4   3   0  15  18  0


 12
  3   3    3    5   2   0    4    1    3   27  0  1 2
1
0
2
4
1
 5  d et  4
2
3
2
1
0
2
4
1
5
2
3
1
0
2
4
1
5
2 
1
2
0
2
1
5
3
2
1  1   2     4    3    2    2   0    5 
   4   0   2   1    3    5    2  1    2 
 2  24  0  0  15  4 
33
3x  2 y  z  1
2x  3y  z  4
x  y  2z  7
3x  2 y  z  1
2x  3y  z  4
x  y  2z  7
3 2 1 1
2
3
1 1
1 4
2
7
1 0 0 2
, row echelon form:
0 1 0 1
0 0 1 3
3x  2 y  4z  1
4x  y  5z  2
2 x  3 y  z  6
3 2
4
1
4
1
5
2
2 3
1
6
1 0 0 1
, row echelon form:
0 1 0 3
0 0 1 1
3x  2 y  4z  1
4x  y  5z  2
2 x  3 y  z  6
3
2
4
4
1
5
2
3
1 
3
2
4
4
1
5
  3  1  1    4    3   4    2    2    5 
  4    2  1    3    3    5    2  1   4  
 3  48  20  8  45  8  101  31  70
5 x  2 y  7 z  30
 x  3 y  4 z  5
3x 
6
5
5
2
7
30
1
3
4
5
15 6 21 5
y 
21
z 1
5
, row echelon form:
1 0 29 0
13
0 1 27 0
13
0 0 0 1
5 x  2 y  7 z  30
 x  3 y  4 z  5
3x 
6
y 
5
21
z 1
5
5
2
7
det 1
3
4
15
6
21
0
5 x  2 y  7 z  30
 x  3 y  4 z  5
3x 
6
21
y
5
z 1
5

5 x  2 y  7 z  30
5 x  15 y  20 z  25
13 y  27 z  5

3 x  9 y  12 z  15
3x 
6
21
y
5
z 1
5
6
21 


 9   y  12 
 z  16
5
5




39
5
y 
81
z  16
5
39 y  81z  80
13 y  27 z 
80
3