Transcript ATT_1360334725186_ALJABAR VEKTOR
ALJABAR VEKTOR & MATRIKS (Vector Analysis & Matrices
Pendahuluan
Pada Fisika : a. Besaran Vektor b. Besaran Skalar .
Besaran
: sesuatu yg dapat diukur dan besarnya dinyatakan dengan angka .
.
.
* Definisi besaran
Vektor
: suatu besaran yg besarnya dapat diukur (mempunyai nilai) dan mempunyai arah Contoh : kecepatan, gaya, dsb .
.
* Definisi besaran
Skalar
: suatu besaran yg besarnya dapat diukur tapi tidak mempunyai arah Contoh : massa, panjang, dsb.
BAB 1. VEKTOR dan SKALAR
Operasi 2 .
penjumlahan, pengurangan
dan
perkalian
yg lazim dalam aljabar bilangan, dengan definisi yg sama, dapat di .
perluas kedalam aljabar Vektor
Definisi dasar Aljabar Vektor
1. Dua buah vektor
A
dan B sama jika memiliki besar dan .
arah yg sama, tanpa memperhatikan titik awalnya,
A
=
B
2. Sebuah vektor yg arahnya
berlawanan
dengan vektor
A
.
tapi memiliki besar yg sama dinyatakan oleh –
A
3. Jumlah (
resultan
) dari dua vektor,
A
dan
B
adalah vektor
C
, .
.
yg dibentuk dengan menempatkan titik awal
B
pada titik terminal
A
, lalu menghubungkan titik awal
A
ke terminal
B
, .
C
=
A
+
B
4.
Selisih
vektor
A
dan
B
, yg dinyatakan oleh
A
–
B
adalah
C
.
.
.
. yg bila ditambahkan
C
=
A
–
B B
menghasilkan vektor
A
. =
A
+ (-
B
) .
.
Bila
A
=
B, maka A – B
= 0 sebagai vektor
nol
. 5.
Hasil kali
vektor
A
dengan skalar m adalah vektor m
A
yg besarnya |m| kali besarnya
A
dan memiliki arah yg
sama
atau berlawanan A ,bergantung pada apakah m positif /negatif. Bila m = 0 maka m
A
adalah vektor
nol
.
Hukum-hukum Aljabar Vektor
Bila
A
,
B
dan
C
adalah vektor 2 , m dan n adalah skalar 2 , maka : 1.
A
+
B
=
B
+
A
⇨ hukum Komutatif penjumlahan 2. A + (B + C) = (A + B) + C ⇨ hukum Asosiatif penjumlahan 3. m
A
=
A
m ⇨ hukum Komutatif perkalian 4. m(nA) = (mn)A ⇨ hukum Asosiatif perkalian 5. (m + n)A = mA + nA ⇨ hukum Distributif 6. m(A + B) = mA + mB ⇨ hukum Distributif
VEKTOR SATUAN
Vektor Satuan adalah sebuah vektor yg besarnya 1(satu) Bila
A adalah
vektor yg besarnya
A
≠ 0 maka 𝐀 A adalah sebuah vektor satuan yg arahnya sama dengan
A
. - Setiap vektor
A
dapat dinyatakan oleh sebuah vektor satuan .
a dalam arah A, dikalikan dengan besarnya
A
. Jadi
A
= Aa -
Vektor satuan
merupakan vektor yg panjangnya satu satuan .
Setiap vektor
A
satuan : Ā = 𝑨 |𝐴| = | = 𝑎 𝑏 1 | yang bukan nol, mempunyai vektor 𝑎2+𝑏2 | 𝑎 𝑏 | .
.
-
Besar
(panjang)
vektor
Misalnya
A
= | 𝑎 𝑏 | adalah vektor di R 2 , maka besar vektor |
A
| = 𝑎 2 + 𝑏 2
A
:
Contoh soal
1. Sebutkan beberapa besaran vektor dan besaran skalar, ma .
sing-masing delapan macam ? .
2. Hitunglah besar (panjang) vektor dan vektor satuan dari vektor
A
= 〔 3 4 〕 ? 3. Buktikan bahwa penjumlahan vektor adalah komutatif, yaitu .
.
.
A
+
B
=
B
+
A
? Secara grafis ! .
4. Diketahui vektor 2 :
K
= 〔 2 3 〕 , L = 〔 3K – 2L = - M maka hitung nilai 𝑋 4 x 〕 dan M = 〔 2 −1 〕 bila ? 5. Tentukan resultan vektor 2 berikut : Vektor A, 15 m arah barat laut, B. 25 m. 30 o disebelah utara dari timur dan C, 40 m ke selatan ?
*
Jawaban contoh soal
.
.
1a. Vektor : percepatan, momentum, berat, energi, medan listrik, me dan magnet, medan gravitasi, kohesi, adhesi, arus listrik, pegas dll. .
1b. Skalar : waktu, suhu, kalor, kalor jenis, volume, luas, jarak, massa jenis, intensitas cahaya, perbesaran lensa, dll. .
.
2. Besar(panjang) vektor
A
= |A| = Vektor satuan, 3
A
2 + 4 2 = A |A|
A
= = 1 5 : A = 〔 〔 3 4 〕 25 3 4 〕 = 5 = 〔 0,6 0,8 〕 .
.
.
.
3. Hukum Komutatif penjumlahan :
A
bukti : Q +
B
=
B
+
A
OP + PQ = OQ ⇔ A + B = C P B OR + RQ = OR ⇔ A + B = C A C C A Jadi : A + B = B + A O B R
Jawaban contoh soal
.
.
.
.
.
4. 3K – 2L = - M 3 〔 〔 6 9 2 3 〕 〕 - 2 + 〔 〔 𝑥 4 −2𝑥 〕 −8 〕 = = 〔 〔 2 −1 −2 〕 1 〕 6 – 2x = -2 x = 6+2 2 x = 4 .
.
5. A = 15 m arah barat laut B = 25 m arah utara dari timur 30 o C = 40 m ke selatan
*
Jawaban contoh soal
U
.
.
30 o B D = A + B + C Secara grafis : .
.
A 45o C - pada ttk terminal A tempatkan ttk pangkal B .
B T -
pada ttk B tempatkan ttk pang
.
.
D kal C - resultan D dibentik dengan .
.
menghubungkan ttk pangkalA
. S
dengan ttk terminal C, jadi D = A+B+C Secara grafis, resultan mempunyai besar 4,5 satuan, jadi resultan D = 22,5 m dengan arah 60 o disebelah selatan dari timur.
Latihan soal/PR
1. a. Nyatakan vektor
A
secara aljabar ? 3 A(4,3) b. Hitunglah besar vektor
A
? c. Tentukan besar vektor satuan A ? 4 2. Hitunglah besar vektor dan vektor satuan dari vektor
B
= 〔 6 −8 〕 ?
.
3. Buktikan bahwa penjumlahan vektor adalah assosiatif yaitu
A
+
B
+
C
= (
A
+
B
) +
C
? .
.
.
4. Sebuah mobil sedan bergerak ke arah utara sejauh 4km, lalu 8km ke arah timur laut. Tentukan vektor perpindahan resultannya se cara grafis dan analitis, gambarkan perpindahan mobil secara grafis ?
BAB 2. VEKTOR
2
SATUAN TEGAK-LURUS i, j dan k
.
.
- Himpunan vektor 2 sumbu 2 satuan penting adalah yg arahnya menurut x, y dan z positif sistem koordinat tegak-lurus ruang 3-dimensi, dinyatakan oleh i, j dan k. z C k x
A
0 i j y B A
1. Vektor
2
Satuan Tegak-lurus. i, j, k
.
.
.
.
- Umumnya menggunakan sistem koordinat tegak-lurus aturan .
tangan kanan
, kecuali ada pernyataan lain. .
- Sistem ini dianalogikan dengan sebuah yg diputar 90 o dari Ox ke Oy akan
maju sekrup
berulir kanan dalam arah sb z pos. .
- Bila tiga buah vektor
A
,
B
dan
C
yg titik pangkalnya berhim pit dan tak
koplanar
(tidak terletak pada atau sejajar bidang yg sama)dikatakan membentuk sebuah sistem tangan kanan atau sistem
dekstral
. Analogi dengan sebuah
sekrup (baut)
kanan yg diputar dengan sudut kurang dari 180 o dari
A
berulir ke
B
maka akan menuju arah
C
.
2. KOMPONEN-KOMPONEN VEKTOR
Setiap vektor
A
dalam ruang 3-dimensi bisa digambarkan dgn titik pangkal pada titik asal O dari sistem koordinat - A 1 , A 2 , A 3
A
1 i,
A
2 : komponen j dan
A
3 2 dari vektor k : vektor 2
A
dalam arah x, y dan z komponen dari
A
dlm arah x, y, z .
Resultan dari
A A
1 i,
A
2 j dan
A
3 k adalah : =
A
1 i +
A
2 j +
A
3 k Besar vektor A = |
A
| = 𝐴 1 2 + 𝐴 2 2 + 𝐴 3 2 Khususnya,
vektor posisi
atau vektor jejari(radius vector)
r
dari O ke titik (x, y, z) :
r
= xi + yj + zk .
.
Besar vektor
r
: r = |
r
| = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2
3. MEDAN SKALAR dan MEDAN VEKTOR
Bila pada tiap 2 titik (x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang, dikaitkan sebuah skalar(bilangan) φ(x,y,z) maka φ disebut fungsi titik skalar (
scalar point function
), ⇨ medan skalar .
Contoh : 1. Temperatur dalam laboratorium komputer 2. φ(x,y,z) = x 3 y 2 + y 2 z– xz 2 Jika pada tiap 2 titik (x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang, dikaitkan dengan sebuah vektor
V
(x,y,z) maka
V
disebut .
fungsi titik vektor (
vector point function
) dan dikatakan sebuah
medan vektor
telah didefinisikan dalam R. Contoh : 1. Kecepatan fluida yg bergerak dalam pipa 2. V(x,y,z) = xy 2 i + 3yz 2 j – 2x 2 z 2 k Medan vektor
stationer
atau keadaan
steady state
adalah sebuah medan vektor yg tidak bergantung waktu.
4. Contoh soal
.
1. Diketahui vektor 2 berikut,
r
= 〔 𝑥 𝑦 〕, s = 〔 3r - 2s = -t, hitunglah nilai x dan y ?
3 2 〕 , t = 〔 3 −2 〕 Bila .
2. Diberikan beberapa vektor,
S
= 〔 2 𝑦
P
= 〔 −3 5 〕 .Tentukan nilai x dan y,bila 〕, Q = 〔
PQ
=
RS
1 −7 〕, R = 〔 𝑥 1 dan bila 〕 dan
PQ
=
SR
.
3. Koordinat titik
A
( 2,-5) dan vektor
AB
= 3i – 4j , hitunglah koordinat titik
B
? .
.
4. Diberikan beberapa vektor,
K
= i - 2j + 2k,
L
= 2i - 4j - 4k dan
M
= 3i - 2j + 6k. Tentukan besar : a. |
K
b. |
K
-
L
+
M
|, |
L
| c.
3K
–
L
+ |, |
M 2M
| .
5. Diketahui medan skalar yg didefinisikan φ(x,y,z)= 3x 2 y – xy 3 + 5z 2 Tentukan φ pada titik-titik :
Contoh soal – lanjutan
a. (0,0,0) b. (1, 2, -2) c. (1, 1, -2) d. (-1, -2, -3) ?
Jawaban contoh soal
.
.
.
.
1. 3r – 2s = - t 〔 3𝑥 3𝑦 〕 〔 6 4 〕 = 〔 −3 2 〕 3x – 6 = -3 3y - 4 = 2 3x = -3 + 6 3y = 4 + 2 x = 1 y = 2 2.
PQ
=
RS
〔 .
.
.
PQ RS
4 −12 〕 = q – p = 〔 = s – r = 〔 1 − (−3) −7 − 5 2 − 𝑥 𝑦 − 1 〕 = 〔 2 − 𝑥 𝑦 − 1 〕 4 = 2 - x 〕 -12 = y - 1 = 〔 4 −12 〕 x = - 2 y = -11
PQ
=
SR SR
= 〔 4 −12 〕 〔 4 −12 〕 = 〔 𝑥 − 2 1 − 𝑦 〕 4 = x - 2 - 12 = y - 1 x = 6 y = -13
Jawaban contoh soal – lanjutan
.
.
3.
AB
= b – a = 〔 𝑥 − 2) 𝑦 + 5 〕 = ⇨ 3i -4j = 〔 𝑥 − 2) 𝑦 + 5 〕 = 〔 3 4 〕 = 〔 𝑥 − 2) 𝑦 + 5 〕 3 = x-2 - 4 = y + 5 x = 5 y = - 9 Jadi koordinat titik B adalah B(5, -9) .
.
4a. |
K
| = | i – 2j + 2k | = |
L
| = | 2i – 4j - 4k | = |
M
| = | 3i – 2j + 6k | = 1 2 + −2 2 + 2 2 = 2 2 + −4 2 + (−4) 2 = 3 2 + −2 2 + (6) 2 = 9 = 3 36 = 6 49 = 7 .
4b.
K
–
L
+
M
= (i - 2j + 2k) – (2i - 4j - 4k) + (3i – 2j +6k) = 2i + 12k .
4c. 3 |
K K
– –
L L
+
M
+ 2
M
| = 2 2 + 12 2 = 148 = 2 37 = (3i – 6j + 6k) – (2i – 4j – 4k) + (6i – 4j + 12k) = 7i – 6j + 22k
Jawaban contoh soal – lanjutan
.
5. φ(x,y,z) = 3x 2 y – xy 3 + 5z 2 φ(0,0,0) = 0 φ(1, 2, -2) = 3(1) 2 (2) – (1)(2) 3 + 5(-2) 2 = 6 - 8 + 20 = 18 φ(1, 1, -2) = 3(1) 2 (1) – (1)(1) 3 + 5(-2) 2 = 3 – 1 + 20 = 22 φ(-1, -2, -3) = 3(-1) 2 (-2) - (-1)(-2) 3 + 5(-3) 2 = - 6 – 8 + 45 = = 31
5. Soal Latihan/PR
.
.
1. Diketahui beberapa koordinat vektor 2 :
A
pada (4,3),
B
pada( 2,-8),
C
(x,3) dan
D
(3,y). Tentukan nilai x dan y bila : a.
AB
=
CD
b.
AB
=
DC
? .
2. Koordinat vektor
K
(3,-5, 4) dan vektor
KL
= 2i – 3j + 5k Hitunglah koordinat L ? .
.
3. Diberikan beberapa vektor :
R
= 2i – 2j + k, S = 4i – 4j + 2k dan T = 6i -2j + 3k. Tentukan : a. |
R
| + |
S
| + |
T
| b. |
R
+
S
+
T
| c. | 3
R
- 2
S
-
T
| .
.
4. Tentukan sebuah vektor satuan yg sejajar resultan dari vek .
tor-vektor
A
= 5i + 4j + 2k dan
B
= 3i + 2j + k ? 5. Sebuah beban 50 kg digantungkan pada pertengahan sebuah tali seperti pada gambar di bawah.Tentukan tegangan T pada tali ?
Soal Latihan/PR – lanjutan
.
.
. T 1 60 0 60 0 50 kg T 2