Transcript Bab2Matrix.ppt

MATRIX
1
Definisi
• Matrix adalah himpunan skalar (Riil dan
Complex), yang disusun secara empat
persegi panjang (baris x kolom)
• Skalar – skalar disebut Elemen Matrix
• Batas-batas
[ ]
atau
atau
2
Contoh
Matrix Riil
2
4

 7
kolom
1
3
1
0
3
0
10
1
 3
1 
3
4
2
baris 1
baris 2
baris 3
3
Notasi Matrix
• Nama Matrix dengan huruf Besar A, B, C,
P, Q
• Secara lengkap Matrix A = (aij), artinya
matrix A dengan elemen (aij),
dimana : index i adalah baris ke-i,
index j adalah kolom ke-j
4
Matrix Secara Umum
 a11
a
 21
 .

A .
 .

 .
a
 m1
a12
a 22
.
.
.
.
a m2
a13
a 23
.
.
.
.
a m3
... a1n 
... a 2n 
.
. 
 Atau dapat ditulis
.
. 
:
.
.  A m  n   a ij .m  n 

.
. 
... a mn 

5
Operasi Matrix
a) Penjumlahan Matrix (Syarat ukuran sama)
b) Perkalian Skalar terhadap Matrix
c) Perkalian Matrix
6
Penjumlahan Matrix
DEFINISI:
• Jika A = (aij) dan B = (bij), (ukuran sama)
• Maka C = A + B, dimana
cij = aij + bij ; atau A + B = (aij + bij)
CONTOH
3 1 
0 2 
A
dan B  


 4 2
1 3
maka
7
Penjumlahan Matrix (1)
3 1 0 2 3  0 1  2
AB 





4 2 1 3  4  1 1  3
3 3


5 5
8
Perkalian Skalar terhadap Matrix
• Jika l suatu skalar dan A = (aij),
• Maka lA  (laij), Matrix lA diperoleh
dengan mengalikan elemen matrix A dengan
l
Contoh
3  4 3  3 3  7 
4 3 7 
maka
3A  
A


3  3 3  0 3  1
3 0  1
12 9 21 
3A  

 9 0  3
9
Perkalian Matrix
• Secara umum perkalian Matrix tidak
komutatif AB  BA
• Perkalian Matrix AB;
Matrix A = Matrix Pertama
Matrix B = Matrix Kedua
DEFINISI
• A = (aij) berukuran (p x q);
• B = (bij) berukuran (q x r)
Maka Perkalian AB adalah Matrix C = (cij)
berukuran (p x r)
1
0
Perkalian Matrix (1)
Kombinasi linear satu
vektor u
v=lu
• v = kelipatan u, yaitu
• v = lu, dengan arah
yang sama (sejajar)
• v dan u disebut koliner
(segaris)
Kombinasi linear dua
vektor l u
v
2 2
u2
u1
l1u1
• v dan u1, u2 disebut
koplanar (sebidang)
1
1
Perkalian Matrix (1)
• CONTOH
A 33
 3 1 4
3 2 0


 2 1 0 B23  

1 3 1

1 0 1
• BA ukuran (2 x 3)
 3 1 4
3 2 0 

BA 23  
 2 1 0

1 3 1 1 0 1


1
2
Perkalian Matrix (2)
3.3  2.2  0.1 3.1  2.1  0.0 3.4  2.0  0.1


1.3  3.2  1.1 1.1  3.1  1.0 1.4  3.0  1.1
13 5 12


10 4 5 
1
3
Tugas
Buat Algoritma untuk:
1. Penjumlahan Matrix
2. Perkalian Skalar terhadap Matrix
3. Perkalian Matrix
1
4
Transpose Matrix
DEFINISI:
• Jika A = (aij) dengan ukuran (m x n)
• maka Tranpose Matrix AT = (aji), dengan
ukuran (n x m)
CONTOH
11 12 13 
A

21 22 23
11 21


T
A  12 22
13 23
1
5
Sifat Matrix Transpose
1.
2.
3.
4.
(A + B)T = AT + BT
(AT)T = A
l(AT) = (lA)T
(AB)T = BT AT
1
6
Jenis Matrix Khusus
1. Matrix Bujur Sangkar,
• jumlah baris = jumlah kolom
Contoh
Matrix (2x2)
Matrix (3 x 3)
3 4
5 6


11 12 13 
21 22 23


31 32 33
1
7
Jenis Matrix Khusus (1)
2. Matrix Nol ( O )
Semua elemen = 0
CONTOH
Matrix (2x2)
Matrix (2 x 3)
0 0 
0 0 


0 0 0 
0 0 0 


Matrix (3 x 3)
0 0 0 
0 0 0 


0 0 0
Sifat-Sifat Matrix NOL:
a) A + O = A (ukuran A = ukuran O)
b) AO = 0; OA = 0 (bila syarat perkalian OK)
1
8
Jenis Matrix Khusus (2)
3. Matrix Diagonal
Matrix Bujur sangkar, dimana elemen diluar
diagonal utama = Nol
(aij) =Matrix Diagonal, bila aij = 0, untuk i  j
CONTOH :
1 0 0
0 2 0 


0 0 3
1
9
Jenis Matrix Khusus (3)
4. Matrix Identitas ( I )
Matrix Diagonal dimana diagonalnya bernilai
1 semuanya
CONTOH :
1 0 0
0 1 0 


0 0 1
2
0
Jenis Matrix Khusus (4)
5. Matrix Idempoten, Periodik, Nilpoten
• Idempoten :
AA = A2 = A (A = Matrix Bujur Sangkar)
• Periodik :
AAA….A = Ap = A (dengan periode p-1)
• Nilpoten :
Ar = 0 ; Nilpoten dengan Index r (Integer
terkecil)
2
1
Matrix Nilpoten
• Matrix A = Nilpoten dengan index = 3
1
3  1
1
3  1
1
3
1






=
5
2
6
5
2
6
5
2
6




 2  1  3  2  1  3  2  1  3
0 1
1
3
0 0
3 3



9  5
2
6=
=
 1  1  3  2  1  3
0 0 0 
0 0 0 

 =O
0 0 0
2
2
Transformasi Elementer
1. Penukaran tempat baris/kolom
a) baris ke-i dan baris ke-j, ditulis Hij(A)
b) kolom ke-i dan kolom ke-j, ditulis Kij(A)
2. Mengalikan baris/kolom dengan Skalar l
a) Baris ke-i dengan Skalar l  0  Hi(l)(A)
b) Kolom ke-i dengan Skalar l  0  Ki(l)(A)
3. Menambah baris/kolom dengan l kali
baris/kolom
a) Baris ke-i dng l kali baris ke-j, Hij(l)(A)
b) Kolom ke-i dng l kali kolom ke-j, Kij(l)(A)
2
3
Penukaran Baris/Kolom
CONTOH
1 2 3


A   4 5 6
7 8 9
 4 5 6


H12 A   1 2 3
7 8 9
1 3 2 


K 23 A   4 6 5
7 9 8
2
4
Mengalikan Baris/Kolom dng Skalar
CONTOH
1 2 3


A   4 5 6
7 8 9
2
3 
1
- 2 


H 2 (A)   8  10  12
 7
8
9 
 3 2 3
3 


K 1 (A)  12 5 6
21 8 9
2
5
Menambah Baris ke-i dengan
Skalar kali Baris ke-j
• CONTOH
2
3 
 1
2 


H 31 (A)   4
5
6 
7  2  1 8  2  2 9  2  3
1 2 3 
2 


H 31 (A)  4 5 6 
9 12 15
2
6
Menambah Kolom ke-i dengan
Skalar kali Kolom ke-j
 1 2  3  3 3
3 


K 23 (A)  4 5  3  6 6
7 8  3  9 9
1 11 3
3 


K 23 (A)  4 23 6
7 35 9
2
7
Contoh Lain
2
3 
 1
( 3) ( 2 )


H 3 1 (A)   4
5
6 
3  7  2  1 3  8  2  2 3  9  2  3
1 2 3
( 3) ( 2 )


H 3 1 (A)   4 5 6 
23 28 33
2
8
Matrix Ekivalen
• DEFINISI
• Dua Matrix dikatakan ekivalen (A~B), bila
salah satunya diperoleh dari yang lain
dengan transformasi2 elementer terhadap
baris/kolom
CONTOH
• Ekivalen Baris
11 12 13 
A

21 22 23
21 22 23
B

11 12 13 
2
9
Matrix Ekivalen (Contoh)
3 0 2 1 
A

 4 1 3 2
K 12
~
(1)
3 0 2 1
5 1 3 2


5 1 3 1
B

3 0 2 1
K 42
~
(-1)
3 0 2 1
5 1 3 1


5 1 3 1
H 21 

=
B
3 0 2 1
~
3
0
Matrix Elementer
 1 0 0
0 1 0 
k 




H12 I   1 0 0 H 31 (I)   0 1 0
k 0 1
0 0 1
0 1 0 
1 0 k 
k 




K 12 I   1 0 0 K 31 (I)  0 1 0 
0 0 1
0 0 1 
3
1