Transcript Document

Pertemuan 4
Vektor 2 dan 3 Dimensi
bilqis
1
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Setelah menyelesaikan
mahasiswa diharapkan :
–
–
pertemuan
ini
Mengetahui definisi Vektor Dimensi 2 dan
Vektor Dimensi 3
Dapat menghitung perkalian dan jarak
antara 2 vektor
bilqis
2
Vektor di Ruang-2
Vektor di Ruang-3
Bab 3.1
bilqis
3
3.1) Vektor -> Pengantar
Vektor :
• Besaran skalar yang mempunyai arah
• ex : gaya, ke kanan bernilai (+) , ke kiri bernilai (-)
• Secara geometris,
vektor v = AB
B
A disebut titik awal/inisial
B disebut titik akhir/terminal
v
Arah panah = arah vektor
A
Panjang panah = besar vektor
• Simbol vektor : v
• Skalar vektor : v
• Vektor :
2 dimensi
+
*
3 dimensi
+
*
bilqis
4
B
v
A
vektor v = AB
A disebut titik awal/inisial
Vektor-vektor ekivalen
B disebut titik akhir/terminal
Dianggap sama
Panjang dan arahnya sama
bilqis
5
Negasi sebuah vektor v  –v secara geometrik
v
–v
Penjumlahan dua vektor: w = u + v
Panjang sama, arah berlawanan
secara geometrik
w
v
u
Selisih dua vektor: w = u – v sama dengan w = u + (–v)
u
w
v
v
w
bilqis
u
6
Penjumlahan dua vektor: w = u + v
w
v
u
Cara analitik:
Vektor-vektor u, v, w di Ruang-2 atau Ruang-3
Ruang-2: u = (u1, u2); v = (v1, v2); w = (w1, w2)
w = (w1, w2) = (u1, u2) + (v1, v2)
= (u1 + v1, u2 + v2)
w1 = u1 + v1
w2 = u2 + v2
bilqis
7
Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata/real number)
w = k v ; k = skalar
secara geometrik:
v
v
3v
–2v
bilqis
8
Perkalian vektor dengan skalar (bilangan nyata/real number)
w = k v ; k = skalar
Cara analitik:
Di Ruang-2:
w = kv = (kv1, kv2)
(w1, w2) = (kv1, kv2)
w1= kv1
w2 = kv2
bilqis
9
Koordinat Cartesius:
P1 = (x1, y1) dan P2 = (x2, y2)
P1 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x1, y1)
atau sebagai vektor OP1 di Ruang-2 dengan komponen
pertama x1 dan komponen kedua y1
P2 dapat dianggap sebagai titik dengan koordinat (x2, y2)
atau sebagai vektor OP2 di Ruang-2 dengan komponen
pertama x2 dan komponen kedua y2
Vektor P1P2 = OP2 – OP1 = (x2 – x1, y2 – y1)
bilqis
10
Using Coordinat
y
v
( v1, v2 )
v1
& v2
komponen2 v
x
Mis: v = ( 1, -2 ) & w = ( 7, 6 )
(+)
v + w = ( 1, -2 ) + ( 7, 6 )
= ( 1 + 7, -2 + 6 )
= ( 8, 4 )
(-)
v – w = ( 1, -2 ) - ( 7, 6 )
= ( 1 - 7, -2 - 6 )
= ( -6, -8 )
(*)
4 v = 4 ( 1, -2 )
= ( 4, -8 )
w
V+w
v
V-w
4v
bilqis
11
Vektor 3 dimensi
z
v = ( v1, v2, v3 )
Misal:
v = ( 4, 5, 6 )
6
v
y
5
4
x
Mis : v = ( 1, -3, 2 )
w = ( 4, 2, 1 )
( + ) v + w = ( 5, -1, 3 )
( - ) v – w = ( -3, -5, 1 )
( * ) 2 v = ( 2, -3, 4 )
P2
v
P1
v = P1 P2 = P2 - P1 = ( x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1 )
bilqis
12
Ex 2 hal 124
Example 2: the component of the vector v = P1 P2 with the initial point
P1 ( 2, -1, 4 )
And terminal point P2 ( 7, 5, -8 ) are
v = ( 7 – 2, 5 – ( -1 ), ( -8 ) – 4 ) = ( 5, 6, -12 )
in 2-space, the vector with initial point P1 ( x1, y1 ) and terminal
point P2 ( x2, y2 ) is
P1 P2 = (x2 - x1 , y2 - y1 )
bilqis
13
Translasi
sumbu-y
sumbu-y’
y
y’
l
(0, 0)
(k, l)
(0, 0)
P
(x, y)
(x’, y’)
x’ sumbu-x’
k
x
x’ = x – k
bilqis
sumbu-x
y’ = y – k
14
Translasi
sumbu-y’
sumbu-y
y’
P (x, y)
(x’, y’)
(0, 0)
l
x’
sumbu-x’
(k, l)
x
(0, 0)
k
pers.Translasi :
x’ = x - k
y’ = y – l
x = x’ + k
y = y’ + p
sumbu-x
Ex: ( k, l ) = ( 4, 1 ), koordinat ( x, y ) titik P ( 2, 0 ). Berapakah
koordinat
( x’ , y’ )?
Jwb :
x’ = x – k
y’ = y – l
=2–4
=0-1
= -2
= -1
bilqis
15
Ex 3 hal 125
Suppose that an xy-coordinate system translated to obtain an x’y’coordinate system whose origin has xy-coordinates ( k, l ) = ( 4, 1)
(a) Find the x’y’-coordinates of the point with the xy-coordinate P ( 2,
0)
(b) Find the xy-coordinates of the point with the x’y’-coordinate Q ( -1,
5)
Solutions (a): the translations equations are
x’ = x – 4
y’ = y – 1
So the x’y’-coordinates of P ( 2, 0 ) are x’ = 2 – 4 = - 2 and y’ = 0 – 1 = 1
Solutions (b): the translations equations in (a) can be rewritten as
x = x’ + 4
y = y’ + 1
So the xy-coordinates of Q are x =bilqis
-1 + 4 = 3 and y = 5 + 1 = 6
16
Contoh soal
Carilah vektor yang mempunyai titik awal P ( 2, 3 ) yang mempunyai
arah yang sama dengan v = ( 4, 5 ) dari titik P
jwb :
y
y’
v
x’
v = ( 4, 5 ) dari titik P
so, x’ = 4
y’ = 5
P ( 2, 3 )
x
Maka P( 2, 3 ) dianggap sebagai titik pusat baru. k = 2 dan l = 3. yang
kita cari adalah keberadaan vektor v terhadap sumbu koordinat
mula-mula ( 0, 0 )
x = k + x’
y = l + y’
=2+4
=3+5
=6
=8
Jadi vektor lain yang mempunyai arah yang sama dengan v adalah Q (
bilqis
17
6, 8 )
Aritmatika vektor
Norma sebuah vektor
Bab 3.2
bilqis
18
Aritmatika vektor di Ruang-2 dan Ruang-3
Teorema 3.2.1.: u, v, w vektor-vektor di Ruang-2/Ruang-3
k, l adalah skalar (bilangan real)
•
u+v = v+u
•
(u+v)+w = u+(v+w)
•
u+0 = 0+u = u
•
u+(-u) = (-u)+u = 0
•
k(lu) = (kl)u
•
k(u+v) = ku + kv
•
(k+l)u = ku + lu
•
1u = u
bilqis
19
Bukti teorema 3.2.1.:
1. Secara geometrik (digambarkan)
2. Secara analitik (dijabarkan)
Bukti secara analitik untuk teorema 3.2.1. di Ruang-3
u = (u1, u2, u3);
v = (v1, v2, v3);
w = (w1, w2, w3)
u + v = (u1, u2, u3) + (v1, v2, v3)
u + 0 = (u1, u2, u3) + (0, 0, 0)
= (u1+ v1, u2 + v2, u3 + v3)
= (u1+ 0, u2 + 0, u3 + 0)
= (v1 + u1, v2 + u2, v3 + u3)
= (0 + u1, 0 + u2, 0 + u3)
=v+u
=0+u
= (u1, u2, u3)
=u
bilqis
20
k(lu) = k (lu1, lu2, lu3)
k(u + v) = k((u1, u2, u3) + (v1, v2, v3))
= (klu1, klu2, klu3)
= k(u1+ v1, u2 + v2, u3 + v3)
= kl(u1, u2, u3)
= (ku1+ kv1, ku2 + kv2, ku3 + kv3 )
= klu
= (ku1, ku2, ku3) + (kv1, kv2, kv3 )
= ku + kv
(k + l) u = ((k+l) u1, (k+l) u2, (k+l) u3)
= (ku1, ku2, ku3) + (lu1, lu2, lu3)
= k(u1, u2, u3) + l(u1, u2, u3)
= ku + lu
bilqis
21
Norma sebuah vektor:
(Untuk sementara norma bisa dianggap sebagai panjang vektor)
Ruang-2 : norma vektor u = ||u|| =  u12 + u22
Ruang-3 : norma vektor u = ||u|| =  u12 + u22 + u32
Vektor Satuan (unit Vector) : suatu vektor dengan norma 1
bilqis
22
Jarak antara dua titik:
Ruang-2: vektor P1 P2= (x2 – x1, y2 – y1)
jarak antara P1(x1, y1) dan P2(x2, y2)
d =  (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
Ruang-3: vektor P1 P2= (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)
jarak antara P1(x1, y1, z1) dan P2(x2, y2, z2)
d =  (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2
bilqis
23
Jika u adalah vektor dan k adalah skalar, maka
norma ku = | k | || u ||
bilqis
24
• Vektor bisa dinyatakan secara
grafik
analitik (diuraikan mjd
komponennya)
• Norma v = panjang vektor v
= || v || = v1 + v2
• v = P2 P1 = ( x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1 )
d = || v || =
( x2 – x1 )2 + ( y2 – y1 )2 + ( z2 – z1 )2
Ex:
• Norma v = ( -3, 2, 1 ) adalah || v || = ( -3) 2 + ( 2 ) 2 + ( 1 ) 2 = 14
• Jarak ( d ) antara titik P1 ( 2, -1, -5 ) dan P2 ( 4, -3, 1 ) adalah
d = ( 4 – 2 ) 2 + ( -3 + 1 ) 2 + ( 1 + 5 ) 2
=
44
= 2 11
bilqis
25
Contoh (1):
Cari norma dari v = (0, 6, 0)
Penyelesaian :
v 
0 6 0
2
2
2

36  6
Contoh (2):
Anggap v = (–1, 2, 5). Carilah semua skalar k sehingga norma kv = 4
Penyelesaian :
||kv|| = | k | [(–1)2 + 22 + 52 ]
= | k |30 = 4  | k | = 4 / 30  k =  4 / 30
bilqis
26
Contoh (3):
Carilah jarak antara
a)
b)
P1 = (3, 4) dan P2 = (5, 7)
P1 = (3, 3, 3) dan P2 = (6, 0, 3)
Penyelesaian :
a) d = (5 – 3)2 + (7 – 4)2 =  4 + 9 = 13
b) d = (6 – 3)2 + (0 – 3)2 + (3 – 3)2 =  9 + 9 + 0 = 18
bilqis
27
PR
• 3.1 3.f , 4, 6.f , 7, 8, 10, 11
• 3.2  2.b, 3.f , 4, 5, 6, 7
bilqis
28