Transcript Soustavy lineárních rovnic

Soustavy dvou lineárních
rovnic se dvěma neznámými
Matematika – 9. ročník
Metoda dosazovací
Soustavy dvou lineárních
rovnic se dvěma neznámými
Soustava rovnic
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
kde a1, b1, c1, a2, b2, c2, náleží množině reálných čísel,
se nazývá soustava dvou lineárních rovnic se dvěma
neznámými x, y.
Řešením této soustavy nazýváme
každou uspořádanou dvojici [x0; y0],
která je řešením obou jejích rovnic.
Soustavy dvou lineárních
rovnic se dvěma neznámými
1. Jsou dány dvě lineární rovnice se dvěma neznámými
x + 2y = 8
2x – 3y = - 5
a tři uspořádané dvojice: [4;2]; [-1;1]; [2;3].
Která z dvojic je řešením první a zároveň
i druhé rovnice?
Soustavy dvou lineárních
rovnic se dvěma neznámými
1. Uspořádaná dvojice: x + 2y = 8
[4;2]
2x – 3y = - 5
Dosadíme do první
rovnice:
x + 2y = 8
4 + 2·2 = 8
8=8
L=P
Dosadíme do druhé
rovnice:
2x – 3y = - 5
2·4 – 3·2 ≠ - 5
2≠-5
L≠P
Uspořádaná dvojice je řešením pouze první rovnice.
Soustavy dvou lineárních
rovnic se dvěma neznámými
2. Uspořádaná dvojice: x + 2y = 8
[-1;1]
2x – 3y = - 5
Dosadíme do první
rovnice:
x + 2y = 8
-1 + 2·1 ≠ 8
1≠8
L≠P
Dosadíme do druhé
rovnice:
2x – 3y = - 5
2·(-1) – 3·1= - 5
-5=-5
L=P
Uspořádaná dvojice je řešením pouze druhé rovnice.
Soustavy dvou lineárních
rovnic se dvěma neznámými
3. Uspořádaná dvojice: x + 2y = 8
[2;3]
2x – 3y = - 5
Dosadíme do první
rovnice:
x + 2y = 8
2 + 2·3 = 8
8=8
L=P
Dosadíme do druhé
rovnice:
2x – 3y = - 5
2·2 – 3·3 = - 5
-5=-5
L=P
Uspořádaná dvojice je řešením první i druhé rovnice.
Soustavy dvou lineárních
rovnic se dvěma neznámými
Dvě rovnice
x + 2y = 8
2x – 3y = - 5
nazýváme:
Soustava (dvou) lineárních rovnic se dvěma neznámými.
Uspořádaná dvojice [2;3] je řešením první i druhé rovnice.
Uspořádaná dvojice čísel, která je řešením první
i druhé rovnice této soustavy, se nazývá řešením
soustavy lineárních rovnic se dvěma neznámými.
Zapisujeme: [x;y]
= [2;3]
Soustavy dvou lineárních
rovnic se dvěma neznámými
Existují čtyři základní metody řešení soustav dvou
lineárních rovnic se dvěma neznámými.
- Dosazovací metoda
- Sčítací metoda
- Srovnávací metoda
- Grafická metoda
Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se
dvěma neznámými dosazovací metodou.
1. Vypočtěte, co je řešením soustavy lineárních rovnic:
2x – y = 4
x + 2y = - 3
a) Z jedné (libovolné) rovnice vyjádříme jednu (libovolnou)
neznámou, pomocí druhé neznámé.
2x – y = 4
/ +y
2x = 4 + y
/-4
y = 2x - 4
b) Získaný výraz dosadíme do druhé rovnice za neznámou y.
x + 2y = - 3
x + 2·(2x – 4) = - 3
c) Dostáváme lineární rovnici s jedinou neznámou, kterou již
řešit umíme.
Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se
dvěma neznámými dosazovací metodou.
x + 2·(2x – 4) = - 3
x + 4x – 8 = - 3
5x – 8 = - 3
5x = - 3 + 8
5x = 5
x=1
d) Nyní dosadíme x = 1 do výrazu vyjádřeného v prvním
kroku řešení:
y = 2x - 4
Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se
dvěma neznámými dosazovací metodou.
y = 2x - 4
y = 2·1 - 4
y=2-4
y=-2
e) V této chvíli máme dvojici čísel x = 1 a y = - 2, tedy
uspořádanou dvojici [1;-2].
Zda je naše řešení správné musíme ověřit zkouškou.
L1 = 2 · 1 – (- 2) = 2 + 2 = 4
L2 = 1 + 2·(- 2) = 1 – 4 = - 3
P1 = 4
P2 = - 3
L1 = P1
L2 = P2
f) Uspořádaná dvojice [x;y] = [1;-2] je řešením obou rovnic a
tudíž je i řešením dané soustavy lineárních rovnic.
Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se
dvěma neznámými dosazovací metodou.
Shrnutí:
1. Z jedné (libovolné) rovnice vyjádříme jednu (libovolnou)
neznámou pomocí druhé neznámé.
2. Získaný výraz dosadíme do druhé rovnice za tuto neznámou.
3.Dostáváme lineární rovnici s jedinou neznámou, kterou vyřešíme.
4. Kořen této rovnice dosadíme do výrazu vyjádřeného v prvním
kroku řešení a vypočítáme druhou neznámou.
5. Svoje řešení ověříme zkouškou.
6. Zapíšeme řešení soustavy lineárních rovnic.
Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se
dvěma neznámými dosazovací metodou.
2. Řešte soustavu lineárních rovnic:
4x – 3y = 8
x + 5y = 2
[x;y] = [2;0]
Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se
dvěma neznámými dosazovací metodou.
3. Řešte soustavu lineárních rovnic:
[u;v] = [-3;-2]
Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se
dvěma neznámými dosazovací metodou.
4. Řešte soustavu lineárních rovnic:
x + 15y = - 5
2,1x – 3,5y = 4,9
[x;y] = [1,6; - 0,44]
Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se
dvěma neznámými dosazovací metodou.
5. Řešte soustavu lineárních rovnic:
2u + 4v – 5 = 0
u – v - 1= 0
[u;v] = [1,5; 0,5]
Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se
dvěma neznámými dosazovací metodou.
6. Řešte soustavu lineárních rovnic:
[p;q] = [27,2; - 7,8]
Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se
dvěma neznámými dosazovací metodou.
7. Řešte soustavu lineárních rovnic:
[x;y] = [- 5; - 7]
Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se
dvěma neznámými dosazovací metodou.
8. Řešte soustavu lineárních rovnic:
[x;y] =
;x≠1ay≠1