Transcript Soustava lineárních rovnic

Soustava dvou lineárních
rovnic se dvěma neznámými
Řešení sčítací metodou
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se
dvěma neznámými sčítací metodou.
Př.: Najděte řešení soustavy lineárních rovnic: 2x - y = 3
3x + y = 7
1.) Rovnice vynásobíme takovými čísly (různými od nuly), abychom po sečtení
upravených rovnic dostali jednu lineární rovnici s jednou neznámou. Jinými
slovy, násobíme tak, aby členy s jednou z neznámých představovaly po násobení
opačné výrazy a jejich součet byl tedy nula. Ukážeme si to s neznámou x.
2x  y  3
3x  y  7
/  (3)
/ 2
 6x  3y  9
6x  2y  14
2.) Rovnice sečteme a vypočítáme neznámou (v našem případě y):
0  5y  5 / : 5
y  5 :5
y 1
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se
dvěma neznámými sčítací metodou.
3.) Nyní budeme se soustavou pracovat stejně jako v prvním kroku, jen s tím
rozdílem, že členy s neznámou, které budou představovat po násobení opačné
výrazy a jejich součet bude tedy nula, budou členy y.
2x  y  3
3x  y  7
Tentokrát je vidět, že násobit ani nemusíme, protože členy s neznámou y
jsou již v zadání opačné výrazy. Tudíž můžeme rovnice rovnou sečíst
a vypočítat neznámou x.
5x  0  10
/: 5
x  10 : 5
x 2
4.) Získali jsme dvojici čísel x = 2 a y = 1, tedy uspořádanou dvojici [2;1].
Přesvědčíme se ještě, zda je řešením první i druhé rovnice soustavy.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Řešení soustavy dvou lineárních rovnic se
dvěma neznámými sčítací metodou.
Přesvědčíme se, že uspořádaná dvojice [2;1] je řešením první i druhé rovnice
soustavy.
2x  y  3
2 2 1 3
3x  y  7
32 1 7
4 1 3
6 1 7
33
L1  P1
7 7
L2  P2
5.) Uspořádaná dvojice [2;1] je řešením první i druhé rovnice, je tedy řešením
dané soustavy lineárních rovnic.
[2;1]
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Shrnutí:
Podstatou sčítací metody je, že jednotlivé rovnice soustavy
nejprve násobíme takovými čísly (různými od nuly), aby členy
s jednou z neznámých představovaly po této úpravě opačné
výrazy a jejich součet byl nula, tudíž abychom po sečtení
upravených rovnic dostali jednu lineární rovnici s jednou jedinou
neznámou.
Při řešení soustavy sčítací metodou je tedy nejdůležitější najít
vhodná čísla, kterými budeme jednotlivé rovnice násobit.
A ještě jednu podstatnou věc bychom si měli říct a zapamatovat.
Rovnice soustavy nebudou vždy již v zadání ve tvaru ax+by=c.
V takovém případě je ještě před tím, než začneme hledat vhodná
čísla, kterými budeme jednotlivé rovnice násobit, do tohoto tvaru
upravíme.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Při řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými
obvykle kombinujeme dosazovací metodu s metodou sčítací.
1.) Rovnice nejdříve sečteme
a vypočítáme první neznámou.
2x  y  3
3x  y  7
5 x  10 / : 5
x  10 : 5
x 2
2.) Poté dosadíme vypočítanou
neznámou do kterékoliv z obou
rovnic a určíme druhou neznámou.
2x  y  3
22  y  3
4y 3
/ 4
y 34
 y  1 / .(1)
y 1
Zkouška : L1  2  2  1  4  1  3
L2  3  2  1  6  1  7
P1  3
L1  P1
P2  7
L2  P2
Řešením dané soustavy je uspořádaná dvojice [2;1].
A nyní už vzhůru a beze strachu na soustavy rovnic.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
A teď sami.
y 1

2 2
3x  y  2
x
Nebojte, nebudete-li si vědět rady jak dál, klikněte a odtajním vám další krok.
y 1

/ .2
2 2
3x  y  2
2x  y  1 / .(1)
x
3x  y  2
 2x  y  1
3x  y  2
x 1
Zkouška :
3x  y  2
3 1 y  2
3y 2
y  2 3
y  1
1 1

2
2
2 1 1
3  1  (1)  2
3 1 2
11
22
L1  P1
L2  P2
1
1;1
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
A teď sami.
Nebojte, nebudete-li si vědět rady jak dál, klikněte a odtajním vám další krok.
4(x  2)  3(y  2)
5(x  1)  2(y  4,5)
4( x  2)  3(y  2)
5(x  1)  2(y  4,5)
4 x  8  3y  6
5x  5  2y  9
4 x  3y  6  8
5x  2y  9  5
4 x  3y  14
5x  2y  14
/ .2
/ .(3)
8x  6y  28
 15 x  6y  42
 7 x  14
x  14 : (7)
x 2
4(x  2)  3(y  2)
4  (2  2)  3y  6
0  6  3y
3y  6
y  6 : 3
y  2
Zk :L1  4  (2  2)  4  0  0
P1  3  (2  2)  3  0  0 ...L1  P1
Zk :L2  5  (2  1)  5  1  5
P2  2  (2  4,5)  2  2,5  5 ...L2  P2
2;2
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
A teď sami.
Nebojte, nebudete-li si vědět rady jak dál, klikněte a odtajním vám další krok.
2( x  y )  10  3 x  17
2( x  y )  10  3 x  17
x  5 y  5( x  1)  16
x  5 y  5( x  1)  16
2 x  2y  10  3 x  17
x  5 y  5 x  5  16
2 x  3 x  2y  17  10
x  5 x  5 y  5  16
/ .(4 )
 x  2y  7
 4 x  5 y  11
4 x  8 y  28
 4 x  5 y  11
3y  39
y  39 : 3
y  13
 4 x  5 y  11
 4 x  5.(13)  11
 4 x  65  11
 4 x  11 65
 4 x  76
x  76 : (4)  19
Zk :L1  2  19  (13)  10  2.32  10  74
P1  3  19  17  57  17  74 ...L1  P1
Zk :L2  19  5  (13)  19  65  84
P2  5  (19  1)  16  5.20  16  84 ...L2  P2
19;13
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.
Přeji mnoho úspěchů při
řešení soustav lineárních
rovnic se dvěma neznámými.
Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu
ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.