Transcript ukuran tendensi sentral

FUNGSI STATISTIK.
• SEBAGAI ALAT PENYAJI DATA.
• Statistik sebagai alat penyaji data antara lain dapat diwujudkan dalam
bentuk ;
• 1. Diagram., Misalnya diagram garis, diagram batang, diagram lingkar,
diagram gambar, dan lain-lain
• 2. Tabel., Tabel sering disebut juga dengan istilah daftar. Macammacam tabel antara lain: tabel induk, tabel silang, tabel
distribusi frekuensi,
• 2.1). Tabel induk adalah tabel yang dibuat untuk memuat semua hasil
rekapan dari suatu instrumen/kuesioner. (Lihat analisis
pengolahan instrumen dari file excel)
• 2.2). Tabel silang adalah tabel yang memuat dua data dari dua variabel
atau lebih sekaligus atau secara bersama-sama.
• 2.3). Tabel distribusi (sering juga disebut distribusi frekuensi) adalah
tabel yang memuat besaran frekuensi serta persentase
dari suatu variabel tertentu. Tabel Distribusi ada dua
jenis yaitu tabel disribusi frekuensi tunggal dan tabel
disribusi frekuensi bergolong.
UNTUK DAPAT MEMBUAT TABEL DISTRIBUSI
BERGOLONG MAKA HARUS DIHITUNG TERLEBIH DAHULU
;
• Range (Disingkat R) Adalah skor tertinggi dikurangi skor
terendah ditambah 1, Misal suatu sebaran dengan jumlah (n) = 50
mempunyai nilai tertinggi 56 dan nilai terendah 11 maka Range
nya = 56 – 11 + 1 = 46
• Jarak Interval Kelas (K)
Menurut Stages rumusnya K= 1 + 3.3 log n
Misal anda mempunyai data dengan n = 50, maka jika ingin
membuat distribusi bergolong interval kelasnya = 1 + 3.3 Log 50
= 1 + 3.3 x 1.6989 = 6.6063 = 7
Jika menurut pendapat Guilford bahwa Interval Kelas itu berkisar
antara 10 sampai 15, dengan demikian jika kita ingin membuat
maka dapat memadukan dua pendapat tersebut yaitu menurut
struges dengan n = 50 ketemu 7 dan menurut Guilford berkisar
antara 10 sampai 15, untuk angka 7 lebih dekat ke 10 maka anda
dapat menggunakan interval kelas menjadi 10
• Lebar Klas Interval (I)
Rumusnya adalah I = R / K, dengan menggunakan data di atas
maka dapat dicari I nya yaitu = 46/7 = 6,571.(46/10 = 4,6)
Menurut Guilford I dapat menggunakan bilangan 1, 2, 3, 5, 10
dan 20. Karena hasil perhitungan menurut rumus Struges
diperoleh 6,6 dan menurut Guilford lebih dekat ke angka 5 dari
pada angka 10 maka interval kelasnya dapat menggunakan 5.
• Menentukan titik permulaan
Adalah angka yang digunakan untuk membuat dasar Interval
Kelas
Ada beberapa cara untuk menentukan titik permulaan yaitu
dengan menggunakan Nilai Terendah dan menggunakan
kelipatan besarnya I.
Aplikasi :
Misalnya setelah diadakan pengukuran hasil tes nilai Mata
kuliah statistik dari 50 mahasiswa Geografi diperoleh skor
sebagai berikut :
•
•
•
•
25
35
56
40
34
44
22
29
33 15
15 27
41 46
25 16
• 39 28 47
18
46
21
19
24
33
37
53
33
29
36
51
21
42
36
20
38
27
33
11
34
19
26
17
21
27
28 29 32 14 16
Jika sebaran nilai tersebut akan disusun menjadi
Distribusi bergolong maka dapat disusun dengan
cara ;
1. Memakai skor terendah (perhatikan tabel distribusi sebelah kiri):
Skor terendah = 11, (I) Lebar interval klas = 5 (K) Interval Klas = 10
2. Memakai kelipatan besarnya I (perhatikan tabel distribusi sebelah
kanan): Skor terendah = 11, (i) Lebar interval klas = 5 (K) Interval Klas = 10
•
NO
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Titik permulaan dg skor terrendah
INTERVAL KLAS
Titik permulaan dg kelipatan besarnya I
F
NO
56 – 60
51 – 55
46 – 50
41 – 45
36 – 40
31 – 35
26 – 30
21 – 25
16 – 20
11 - 15
1
2
3
3
6
8
9
7
7
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
N
50
INTERVAL KLAS
F
55 – 59
50 – 54
45 – 49
40 – 44
35 – 39
30 – 34
25 – 29
20 – 24
15 – 19
10 - 14
1
2
3
3
6
7
12
6
8
2
N
50
PENGUKURAN TENDENSI
SENTRAL
• adalah angka yang menjadi pusat suatu
distribusi.
• Ada tiga macam tendensi sentral yaitu;
Mean, median dan Mode
1). Mean, adalah jumlah nilai-nilai dibagi
dengan jumlah individu
Rumus :
X
M = ----------N
ADA BEBERAPA MACAM MEAN YAITU;
• a). Mean yang Ditimbang adalah mean
yang memperhitungkan frekuensi
tiap-tiap nilai variabel.
•
Rumus adalah:
•
 fx
•
M = ----------•
N
CONTOH :
JIKA DISTRIBUSINYA TUNGGAL
No
Penghasilan
Rp
Frekuensi
(f)
fx
1.
2.
3.
20
15
10
Jumlah
1
1
4
6
20
15
40
75
 fx
75
M = ----------- = ---------------- = 12,5
N
6
Contoh : Jika distribusinya Bergolong,
maka menggunakan titik tengah.
Titik tengah adalah angka yang
membatasi separo bagian atas dan separo
bagian bawah.
No
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Interval
nilai x
145 – 149
140 – 144
135 – 139
130 – 134
125 – 129
120 – 124
115 – 119
110 – 114
105 – 109
100 – 104
95 – 99
90 – 94
85 – 89
80 - 84
Titik
Tengah (x)
f
fx
147
142
137
132
127
122
117
112
107
102
97
92
87
82
1
3
5
8
11
17
21
22
24
20
15
12
6
2
147
426
685
1056
1397
2074
2457
2464
2563
2040
1455
1104
522
164
167
18559
Jumlah
 fx
1855
M = --------- = ------------- = 111,1317365
N
167
b). Mean Terkaan adalah mean yang
dicari dengan cara menerka
Rumus adalah:
 fx’
Maka M = MT + ( ------- ) i
N
M = Mean yg dicari
MT = Mean terkaan/mean kerja
 fx’ = Jml deviasi kesalahan krn terkaan
N = jml individu, jumlah frekuensi
i = Lebar interval
CARA PENGHITUNGAN :
1. Menerka mean (terkaan ini bisa sembarang, semau kita)
2. Mencari deviasi (deviasi diatas mean diberi
tanda plus & jika dibawah diberi tanda negatif)
3. Mengalikan deviasi setiap nilai dengan frekuensinya
4. Menjumlahkan deviasi yang sudah dikalikan dg frekuensi
5. Mensubstitusikan/memasukan ke rumus dan selanjutnya bisa
dihitung.
Kita menerka bhw meanya ada pada nilai 105 – 109
sehingga titik tengahnya = 107
i = lebar intervalnya 105 sampai 109 = 5
sehingga mean terkaannya dapat dihitung
Contoh Tabel untuk menghitung Mean
Terkaan
No
x
f
x’
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
145 – 149
140 – 144
135 – 139
130 – 134
125 – 129
120 – 124
115 – 119
110 – 114
105 – 109
100 – 104
95 – 99
90 – 94
85 – 89
80 - 84
1
3
5
8
11
17
21
22
-----24----20
15
12
6
2
+8
+7
+6
+5
+4
+3
+2
+1
---0---1
-2
-3
-4
-5
Jumlah
N = 167
fx’
+8
+21
+30
+40
+44
+51
+42
+22
---0---20
-30
-36
-24
-10
 fx’ =138
 fx
M = MT + ( ------- ) i
N
138
M = 107 + ( ------- ) 5
167
= 111,13
2). Median
• Median adalah suatu nilai yang membatasi 50
persen dari frekuensi distribusi sebelah atas dan 50
persen frekuensi distribusi sebelah bawah.
• Misal ada 7 orang dengan penghasilan berturut-turut
Rp. 10,- Rp. 12,- Rp. 13,- Rp. 14,- Rp. 16,- Rp.
16,- Rp,- 20,-.
• Maka Medianya adalah Rp. 14,- karena penghasilan
Rp 14,- membatasi 50 % diatas dan 50 %
dibawahnya. Dengan demikian median hanya
tergantung pada banyaknya frekuensi dan tidak
tergantung pada variasi nilai-nilainya.
• Namun jika suatu distribusi mempunyai
frekuensi yang genap maka mediannya dihitung
dengan kompromi yaitu membagi dua nilai variabel
yang ada di tengah-tengah distribusi.
• Misal ada 4 orang mahasiswa masing-masing
mempunyai tinggi badan; 162, 162, 164 dan 166
Cm, maka median tinggi badan ke empat
Mahasiswa tersebut adalah (162 + 164) : 2 = 163
Menghitung Median dari distribusi Bergolong,
rumus yang digunakan adalah :
•
•
•
½ N - cfb
Median = Bb + (-----------------) i
Fd
Dimana :
Bb = batas bawah (nyata) dari interval yg mengandung
media
cfb = frekuensi kumulatif (frekuensi meningkat) dibawah
interval yg mengandung media
fd = frekuensi dalam interval yg mengandung media
i = lebar interval
N = jumlah frekuensi dalam distribusi
PRA & PASCA MPMBS ?
Contoh
No
x
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
145 – 149
140 – 144
135 – 139
130 – 134
125 – 129
120 – 124
115 – 119
110 – 114
105 – 109
100 – 104
95 – 99
90 – 94
85 – 89
80 - 84
Jumlah
f
1
3
5
8
11
17
21
----22--- (fd)
24
20
15
12
6
2
N = 167
cf
167
166
163
158
150
139
122
-------101-----79  (cfb)
55
35
20
8
2
Langkah :
1. Cari ½ N = 83,5
2. Menentukan interval klas yg mengandung frekuensi
komulatif ½ N yaitu 110 - 114 (sebab 83,5 terkandung
dalam 101)
Dengan demikian telah dapat diketahui yaitu :
1. Batas bawah (Bb) interval yang mengandung median
adalah 109,5
2. cfb = 79
3. fd = 22
½ N - cfb
4. i = 5
Median = Bb + (-----------------) i
Fd
83,5 - 79
= 109,5 + ( -------------- ) 5 = 110,522727
22
3). Mode
• Dalam distribusi tunggal Mode adalah nilai
variabel yang mempunyai frekuensi tertinggi
dalam distribusi,
• sedangkan dalam distribusi bergolong Mode
adalah titik tengan interval kelas yang
mempunyai frekuensi tertinggi dalam
distribusi.
• Dengan demikian pada tabel bergolong
tersebut diatas modenya adalah 107, karena
107 merupakan titik tengah yang mempunyai
frekuensi tertinggi yaitu 24
• Rumus lain untuk mengetahui mode (hasilnya
mendekati) adalah : Mode = 3 median - 2
Mean Dengan syarat distribusinya simetri atau
setidak-tidaknya tidak terlalu juling baik kekiri
maupun kekanan.
• Sehingga jika dihitung berdasarkan hasil Mean
dan Median tersebut di atas maka modenya
dapat diketahui = 109,24 sehingga beda 2,24
• Mode = ((3 x 110,5) - (2 x 111,13))= 331,5
- 222,26 = 109,24
PENGUKURAN VARIABILITAS
Variabilitas adalah derajat penyebaran nilai-nilai
variabel dari suatu tendensi sentral dalam suatu
distribusi.
Ada beberapa macam cara untuk mengetahui
Variabilitas antara lain Range, Mean Deviation,
dan Standar Deviation.
Range.
Range adalah jarak nilai tertinggi dengan nilai yg terendah.
Range kurang bisa menggambarkan variabilitas dg baik krn
sangat tgt dari sebaran nilai variabelnya.
Jika sebaran ada variabel nilai sangat tinggi (misalnya adanya
Out of Layer) maka akan mempengaruhi Range, sehingga
kelemahannya adalah kurang bisa menggambarkan
variabilitas yang sesungguhnya.
Mean Deviasi (MD)
Secara statistik mean deviasi dapat didefinisikan
sebagai mean dari harga mutlak dari deviasi
nilai-nilai individu.
 (x)
Rumus : MD = -----------N
(1)
Nilai Variabel
(X)
Deviasi dr Mean dg
Nilai absolut (x)
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
154

 X = 154 dan N = 11
Maka Mean = 154 / 11 = 14,
sehingga deviasi dapat dihitung
:
= 30
 (x)
Rumus MD = ------- =
N
30
------- = 2,75
11
 f (x)
PERUBAHAN MENUJU MPMBS
Rumus : MD = -----------N
(2)
Tabel untuk mencari mean deviasi,
Mean =  fX/N = 80/7 = 11,43
X
13
12
11
10
total
f
1
3
1
2
7
fX
13
36
11
20
80
x
1,57
0,57
0,43
1,43
f(x)
1,57
1,71
0,43
2,86
6,57
6,57
Rumus : MD = ---------- = 0,94
7
STANDAR DEVIASI
 Secara statistik SD diartikan sebagi akar dari
jumlah deviasi kuadrat dibagi banyaknya
individu dalam sutau distribusi.
 Untuk apa SD ?
 SD digunakan untuk menggambarkan
variabilitas dalam suatu distribusi maupun
variabilitas beberapa distribusi.
 Varian adalah kuadrat dari standart deviasi,
Standar deviasi dapat dicari dengan beberapa
rumus yang antara lain;
  x2
Rumus I = SD =
---------N
Tabel Contoh Mencari SD
Untuk menggunakan
rumus tersebut dicari
terlebih dahulu Mean
nya untuk menentukan
deviasinya, maka
M = 154 / 11 = 14
 x2
Rumus I = SD =
--------- = 
N
110
------ = 3 ,162
11
X
(x)
( x2 )
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
+5
+4
+3
+2
+1
0
-1
-2
-3
-4
-5
25
16
9
4
1
0
1
4
9
16
25
154
110
Rumus II (Rumus Halus)
Rumus II = SD =

 fx2
(Mean) = 640/100 = 6,4
---------N
Tabel Contoh Menghitung SD Dengan Rumus Deviasi
X
f
fX
X’
fx2
10
9
8
7
6
5
4
3
3
9
13
23
24
13
10
5
30
91
104
161
144
65
40
15
+3,60
+2,60
+1,60
+0,60
-0,40
-1,40
-2,40
-3,40
38,88
60,84
33,28
8,28
3,84
25,48
57,60
57,80
total
100
640
286,00
SD =

286
---------- = 1,69
100
Rumus III (Rumus Kasar)
 fX2
•
Rumus :SD =  -----N
 fX
- ( -------)2
N
Penggunaan
Tabel Contoh Menghitung SD dg Rumus Kasar
X
f
fX
fX2
10
9
8
7
6
5
4
3
3
9
13
23
24
13
10
5
30
91
104
161
144
65
40
15
300
729
832
1127
864
325
160
45
total
100
640
4382
•
•
•
4382
640
Rumus :SD =  ------ - ( -------)2
100
100
=  43,82 – 40,96 = 1,69
Jika distribusinya bergolong maka nilai X nya
diambilkan dari nilai tengah
Interval
Ttk Tengah
(X)
f
fX
fX2
115 – 119
110 – 114
105 – 109
100 – 104
95 – 99
90 – 94
85 – 89
80 – 84
75 – 79
70 - 74
117
112
107
102
97
92
87
82
77
72
1
0
11
21
22
23
14
3
4
1
117
0
1117
2142
2134
2116
1218
246
308
72
13689
0
125939
218484
206998
194672
105966
20172
23716
5184
100
9530
914820
total
•
•
•
914820
9530
Rumus :SD =  --------- - (-------)2
100
100
=  9148,20 – 9082,09 = 8,13
Rumus IV ( Distribusi Bergolong Dengan
Rumus Deviasi Terkaan)
 fx’ 2
Rumus : SD = i  ---------N
 fx’
-
( ----------)2
N
Tabel Contoh Menghitung SD dg Rumus Berkode Dr Tabel Bergolong
Interval
f
x’
f x’
fx’ 2
115 – 119
110 – 114
105 – 109
100 – 104
95 – 99
90 – 94
85 – 89
80 – 84
75 – 79
70 - 74
1
0
11
21
22
23
14
3
4
1
+4
+3
+2
+1
0
-1
-2
-3
-4
-5
+4
0
22
21
0
-23
-28
-9
-16
-5
16
0
44
21
0
23
56
27
64
25
total
100
-34
276
276
- 34
Rumus :SD = 5  -------- - (-------)2
100
100
= 5  2,76 – 0,1156 = 8,13
PENGGUNAAN SD DALAM
PEMBENTUKAN KELOMPOK
Suatu distribusi normal akan mempunyai + 6 (enam) SD.
Diluar dari 6 SD tersebut persentase frekuensinya sangat
kecil yaitu kurang dari 0,3 persen sehingga dalam
perhitungan ilmu-ilmu sosial secara praktis tidak
diperhitungkan lagi. ---- S Hadi 1 hal 87
Untuk membagi atau untuk penempatan individu dalam
suatu kelompok maka batas pembuatan kelompok tersebut
dapat menggunakan pegangan pada M dan SD nya. Jika
kita akan membuat kelompok menjadi 4 (empat) maka
masing-masing mempunyai rentang atau jarak masingmasing 1, 5 SD (karena 6 : 4 = 1,5). Jika kita ingin
membuat 3 (tiga) kelompok maka masing-masing akan
berjarak 2 SD yang dihitung dari nilai M nya.
Suatu contoh,
Kita menggunakan nilai dari tes Geografi 50
mahasiswa seperti pada sebaran nilai diawal kuliah,
maka dapat dihitu M = 29,92 dan SD = 10,9. Coba
mahasiswa nomor urut 1 masuk kelompok apa jika
kita ingin mengelompokan menjadi 3 kelompok ?
Dst
Pengelompokan lain dengan cara bukan statistik dapat
digunakan dengan menghitung rentang dibagi berapa
kelompok yang kita inginkan. Misalnya diketahui
rentangnya (56-11= 45). Jika ingin membagi 3
kelompok maka masing-masing berjarak 15 sehingga
skor 11 s/d 26 kelompok 1, 27 s/d 42 kelompok 2 dan
43 s/d 58 kelompok 3 dsb
UJI HIPOTESA
• Apakah hipotesis itu ?
• Hipotesis adalah jawaban sementara yang
belum teruji kebenarannya.
• Ada dua macam kesalahan hipotesis yang
sering terjadi dalam analisis statistik yaitu :
1. Menolak hipotesis yang seharusnya
diterima
2.Menerima hipotesis yang seharusnya
ditolak
• Kapan menerima dan menolak hipotesis ?
• Menerima hipotesis nol (ho) jika harga/hasil
perhitungan lebih kecil dari harga tabel
• Menerima hipotesis alternatif (ha) jika
harga/hasil dari perhitungan lebih besar dari
harga tabel.
Ada dua jenis hipotesis yaitu :
• Hipotesis nol (ho) artinya tidak ada
perbedaan/hubungan, kriterianya jika t
hitung lebih kecil dari harga t tabel.
• Hipotesis alternatif (ha) artinya ada
perbedaan/hubungan, kriterianya jika t
hitung lebih besar dari harga t tabel.
UJI SIGNIFIKANSI
• Uji signifikansi digunakan untuk mengetahui
apakah harga t hitung tersebut signifikan
atau tidak.
• Untuk mengetahui siginifikan tidaknya
tergantung dari db (derajat kebebasan)
serta taraf kepercayaan yang digunakan
untuk mengujinya.
• Jika taraf siginifikan yang digunakan 5 %,
maka hasilnya nanti menunjukan ada
tidaknya perbedaan yang signifikan.
• Tetapi sebaliknya jika taraf kepercayaan
yang digunakan untuk menguji menggunakan taraf kepercayaan 1 % maka hasilnya
nanti menunjukan ada tidaknya perbedaan
yang sangat signifikan.
• Setelah diketahui harga atau hasil hitung
dan telah dikonsultasikan dengan harga
tabel yang didasarkan pada taraf
kepercayaan dan db, maka akan dapat
diketahui bagaimana posisi t hitung tersebut
apakah lebih kecil dari harga tabel atau
sebaliknya t hitung lebih besar dari harga t
tabel.
TEKNIK ANALISIS UJI t (T – TEST)
• Uji t (t test) adalah teknik uji statistik yg digunakan untuk menguji ada tidaknya perbedaan
mean dari dua variabel.
• Dalam menguji ada tidaknya perbedaan tsb
biasanya dirumuskan terlebih dahulu
hipotesis.
• Uji t yang dipergunakan untuk menguji hipotesis sutau penelitian, misalnya “Apakah ada
perbedaan prestasi belajar yang signifikan
dari dua kelas yang diajar dengan metode
yang berbeda”.
• Adapun rumus yang digunakan ada dua
jenis yaitu :
• Uji t yang berpasangan dan
• uji t yang tidak berpasangan.
• Rumus uji t (pasangan) rumus Panjang
• Rumus uji t (pasangan) rumus pendek
• Rumus t untuk yang bukan pasangan (uji
dua pihak) ------ Prof. Sudjana hal 238