Transcript Introducción - Cursos Investigación de Operaciones

Distribuciones Muestrales: Media y
Diferencia de Medias
Inferencia Estadística
Inferencia Estadística- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá
Distribuciones Muestrales
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Inferencia estadística: Proceso de sacar conclusiones
sobre las características de una población basado en
una muestra.
Los estadísticos obtenidos cambian de muestra en
muestra pero es posible obtener un patrón de
comportamiento.
Si conocemos la distribución muestral de nuestra
característica de interés podemos hacer inferencia.
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Teorema Central del Límite

La suma de n variables aleatorias independientes,
idénticamente distribuidas sigue una distribución normal si
n tiende a infinito. Se asume 30 como número
suficientemente grande.

Definición Formal:
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Experimento de lanzar un dado
Función de Probabilidad
Gráfico de Probabilidad
Muestra 1°
2°
3°
4°
Promedio
M1
1
3
3
1
2
M2
4
3
1
3
2.75
M3
6
6
1
1
3.5
M4
3
4
4
3
3.5
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Teorema Central del Límite
N=4
N=20
N=100
N=1000
N=5000
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Ley de los grandes números

Entre más grande sea la cantidad de muestras
aleatorias, la media aritmética tiende al valor esperado
de la distribución.

Definición Formal:
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Ley de los grandes números
N=5000
Ex  3.5
x  3 .5
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Ley de los grandes números

En cierto pueblo existen dos hospitales. En el más
grande de ellos nacen aproximadamente 45 bebés cada
día, mientras que en el hospital pequeño nacen sólo 15
bebés por día. A pesar de que la proporción general de
nacimientos corresponde 50% a niños y 50% a niñas,
usualmente se presenta que en cada día nacen más
niños que niñas, o viceversa. ¿Al final de un año, cuál
hospital va a tener más días en los cuales más del 60%
de los nacimientos correspondan a niños?
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Distribución Muestral del Promedio
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Si existe un número suficiente de datos el promedio sigue
una distribución normal aunque las variables aleatorias de
origen no.
Si las variables aleatorias de origen son normales, el
promedio sigue una distribución normal sin restricción de
variables.
Para tener detalles sobre la población, se puede contar con
los parámetros o con su distribución de probabilidad.
En la mayoría de ocasiones no es posible obtener la
desviación de la población , por lo que se debe usar la
desviación muestral S. Cuando ello sea necesario se debe
implementar la distribución t de student con n-1 grados de
libertad.
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Fórmulas
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Ejemplo

Una empresa de material eléctrico fabrica bombillas de luz que tienen
una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con
media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Encuentre la
probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 bombillas tenga una
vida promedio de menos de 775 horas.
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Ejercicios
1.
2.
En una planta de producción de productos comestibles empacados
debe asegurarse de que el contenido ofrecido es equiparable al
mencionado en la descripción. Por los análisis históricos, el producto
“SúperRico” tiene un peso que sigue una distribución normal con
media de 50g y desviación de 3g. ¿Cuál es la probabilidad de que un
producto tenga menos de 48g?, ¿Cuál es la probabilidad de que una
muestra de 20 productos tenga en promedio menos de 48 gramos?,
¿Por qué los resultados son diferentes?
El valor promedio de consumo en m3 de agua que tiene una planta de
producción es de 80, con una desviación estándar de 6 m3. Se
seleccionan aleatoriamente 41 días y se mide la cantidad de m3
consumidos. Según lo conversado con el Acueducto Distrital, si el
valor del promedio muestral es superior a 82,5 m3 se hará un
aumento fijo en el valor de la factura por 10.000, si es inferior a 78 m3
se hará un descuento de 5.000, en cualquier otro caso la tarifa no
cambiará. Cuál es el valor esperado de aumento de la tarifa?
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Ejercicios
3.
La cantidad de productos vendidos por una empresa de
manufactura en un día sigue una distribución normal con
media de 50 y desviación estándar de 10 unidades. De
cuántos días debe ser la muestra para que la probabilidad
de que el promedio muestral sea menor a 40 sea menos
del 1%.
4.
El tiempo de alistamiento de una máquina de inyección
de productos plásticos sigue aproximadamente una
distribución exponencial con β=4 minutos. Si se toman 40
tiempos de alistamiento de la misma máquina de forma
aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que el promedio
muestral esté entre 5 y 9 minutos?
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Ejercicios

Sabemos que el tiempo medio de espera en un
Banco ubicado en el centro de la ciudad de Bogotá
D.C. es de 15 minutos con una desviación estándar
de 5 minutos. Si se toma al azar un grupo de 35
clientes:



¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de
espera del grupo fuera entre 15 y 15,5 minutos?
¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de
espera del grupo sea de menos de 5 minutos?
Si se toman 10 grupos aleatorios cada uno de 35 clientes,
¿cuál es el valor esperado de grupos que esperarán en
promedio menos de 15,5 minutos?
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Ejercicios

En cierto proceso de producción de baterías ion-litio se
desea conocer cuál es la probabilidad de que una
muestra de 25 unidades dure en promedio más de 500
recargas. Sin embargo, en los reportes de calidad sólo
se tiene información sobre estimaciones del promedio
poblacional, el cual es de 485 recargas. Para poder
realizar este análisis se realiza una pre-muestra de 5
unidades en las que se obtienen los siguientes valores
(520, 400, 580, 490, 609).
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Ejercicios
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Ejercicio

Un importante proceso de fabricación produce partes de
componentes cilíndricos para la industria automotriz. Es
importante por seguridad para los usuarios de los vehículos
que el proceso fabrique partes que tengan un diámetro de
5mm. Por esta razón a la empresa acude una entidad del
gobierno para realizar un proceso de auditoría para
garantizar que en efecto se esté logrando un diámetro de
5mm. El ingeniero involucrado realiza una muestra de 100
partes al azar y les mide su diámetro. Los resultados
arrojan resultados muestrales para le media de 5.027 mm.
Si por análisis de calidad previos se conoce que la
desviación estándar poblacional es de 1.1 mm. ¿Basándose
únicamente en el promedio, qué conclusión tomaría usted
como auditor?
Distribución de muestreo de la diferencia de medias
de distribuciones independientes.
Varianzas
Conocidas
Varianzas Desconocidas
pero iguales
Varianzas desconocidas y
diferentes
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Ejercicios

Se prueba el rendimiento en km/L de 2 tipos de gasolina,
encontrándose una desviación estándar de 1.23km/L para
la primera gasolina y una desviación estándar de 1.37km/L
para la segunda gasolina; se prueba la primera gasolina en
35 autos y la segunda en 42 autos. Suponga las Varianzas y
Medias poblacionales como iguales.
¿Cuál es la probabilidad de que la primera gasolina dé un
rendimiento promedio mayor de 0.45km/L que la segunda
gasolina?
¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia en
rendimientos promedio se encuentre entre 0.65 y
0.83km/L a favor de la gasolina 1?
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Ejercicios

En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de
sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de
20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para
niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los
pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 100 libras
y su desviación estándar es de 14.142, mientras que el promedio de los
pesos de todas las niñas del sexto grado de esa escuela es de 85 libras y
su desviación estándar es de 12.247 libras. Si X1 representa el
promedio de los pesos de 20 niños y X2 es el promedio de
los pesos de una muestra de25 niñas, encuentre la probabilidad de que
el promedio de los pesos delos 20 niños sea al menos 20 libras más
grande que el de las 25 niñas.
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Ejercicios

Los hombres y mujeres adultos radicados en una ciudad
grande del norte difieren en sus opiniones sobre la
promulgación de la pena de muerte para personas
culpables de asesinato. Se cree que el 12% de los hombres
adultos están a favor de la pena de muerte, mientras que
sólo 10% de las mujeres adultas lo están. Si se pregunta a
dos muestras aleatorias de 100 hombres y 100 mujeres su
opinión sobre la promulgación de la pena de muerte,
determine la probabilidad de que el porcentaje de hombres
a favor sea al menos 3% mayor que el de las mujeres.
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Ejercicio
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Muestras Dependientes

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
Permiten controlar evolución de la aplicación de un
tratamiento a una Población.
Son útiles para establecer grupos de control dentro de
un experimento
Se basan en el estadístico D, dela diferencia a priori y a
posteriori
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Fórmula
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Ejercicio

Se selecciona un grupo de cajeros a nivel nacional, a los
cuales se ofreció un entrenamiento en técnicas
eficientes de operaciones bancarias. Se tomaron los
resultados antes y después del entrenamiento logrando
una diferencia que en promedio fue de 11.3 segundos,
con una desviación estándar de 24.1. Se puede afirmar
que el entrenamiento reduce el tiempo promedio de
ejecución de sus tareas en 5 segundos?
Ejercicio

Se desea comparar la calidad de dos nuevas clases de trigo.
Para ello, se toman 10 fincas al azar, plantando en cada una
de ellas ambas clases de trigo. La producción en las 10
fincas fue la siguiente:
Asumiendo que las variables de origen son normales. ¿Qué
se puede mencionar sobre la conjetura de que la clase A
produce en promedio 4 unidades más que la clase B?
Actividades


Investigar sobre el uso del factor de corrección para
pruebas finitas y muestreos sin reemplazo.
Factor de Corrección Aproximación Distribución
Binomial a Normal
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