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Probabilidad Condicional: Probabilidad Total
y Teorema de Bayes
Teoría de Probabilidades
Teoría de Probabilidades - Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá
Probabilidad Condicional
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Condiciona la probabilidad de ocurrencia de un evento
según los resultados de otro.
Permite tener en cuenta las interacciones entre variables
aleatorias.
Relación a tener en cuenta:
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Ejemplo
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En cierto país los porcentajes de ocupación de las
personas mayores de edad son los siguientes:
Hombres
Mujeres
Población activa
laboralmente.
18.000.000
15.000.000
Población total de
estudio
25.000.000
21.000.000
Si se elige a una persona cualquiera, ¿cuál es la
probabilidad de que esté laborando?
Si se elige a una persona que se conoce que es mujer
¿cuál es la probabilidad de que esté laborando?
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Ejercicio
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Cuál es la probabilidad de ganar el Baloto dado que se acertaron más de 3
números?
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Consideremos una población en la que cada individuo es clasificado según
dos criterios: es o no portador de VIH y pertenece o no a cierto grupo de
riesgo que denominaremos R. La correspondiente tabla de probabilidades
es:
Portador
No Portador
Pertenece a R
0.003
0.017
No pertenece a R
0.003
0.977
¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea portadora de VIH dado que
no pertenece al grupo de riesgo R?
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Ejercicios
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Un sistema eléctrico consiste de cuatro componentes como se indica en la
figura El sistema funciona si los componentes A y B funcionan, y cuando al
menos uno de los componentes C ó D funcionen. La probabilidad de que
un componente funcione se indica en la figura. a) ¿Cuál es la probabilidad
de que el sistema funcione?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que el
componente C no funcione, dado que el sistema completo funciona? Asuma
que los cuatro componentes funcionan de manera independiente.
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Principio de Multiplicación
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Permite calcular las interacciones entre eventos a través
del cálculo de probabilidades condicionales.
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Para una cantidad consecutiva de eventos dependientes.
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Ejercicios Generales
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Una caja contiene 25 tornillos, de los cuales 4 son defectuosos. Si se
extraen 3 tornillos al azar:
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Encontrar la probabilidad de que 2 tornillos sean defectuosos.
Encontrar la probabilidad de que sólo los 2 primeros tornillos sean defectuosos
Si lanzo dos monedas, y al menos una dio cara, ¿cuál es la probabilidad de
que ambas fueran cara?
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Probabilidad Total
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Permite calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento
que a su vez depende del resultado de una colección de
particiones de otro evento
A
Sea B1, B2… Br un sistema completo de sucesos. Entonces:
p(A) = p (A E) = p [A  (B1 U B2 U… Br)] pr. distributiva
= p [(A  B1) U (A  B2) U… (A  Br)]
eve. excluyentes
= p(A  B1) + p(A  B2) + … + p(A  Br) =
= p(B1) . p(A / B1) + p(B2) . p(A / B2) +… + p(Br) . p(A / Br)
B1
A  B1
B2
A  B2
B3
A  B3
..
.
..
.
Br
A  Br
E
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Ejercicio
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Suponga que tiene una urna con 3 monedas. La moneda i tiene
probabilidad i / 3 de caer cara, para i = 1,2,3. Suponga que
usted va a seleccionar una moneda y esta va a ser lanzada. La
probabilidad de sacar la moneda 3 es igual a sacar la moneda 2
y 1. ¿Cuál es la probabilidad de Obtener Sello?
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Ejercicio

En una empresa de manufactura hay cuatro máquinas A, B, C, D; las cuales
producen el 30%, 20%, 40% Y 10% de la totalidad de artículos
respectivamente. Luego de desarrollar un procedo de control de calidad se
encontraron las proporciones de artículos defectuosos producidos por
cada máquina así: 5%, 2%, 3% y 7%, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad
de obtener un artículo defectuoso si se obtiene al azar?

Hay 15 pelotas de tenis en una caja, de las cuales 9 nunca han sido usadas.
Un primer jugador saca 3 pelotas al azar y practica con ellas varias horas y
luego las devuelve a la caja. Después, un segundo jugador llega al mismo
campo a practicar y saca 3 pelotas de la misma caja. Calcular la probabilidad
de que estas 3 pelotas no hayan sido usadas.
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Teorema de Bayes


Permite calcular probabilidades posteriores a la
ocurrencia de un evento.
Permiten modificar probabilidades subjetivas cuando se
consigue información adicional del experimento.
Sean B1, B2, ... , Br un sistema completo de
sucesos. Se llama probabilidades a
posteriori a:
P(Bi / A ) =
P(A  Bi )
P(A)
P(Bi) · P(A / Bi)
P(Bi / A ) =
P(B1) · P(A / B1) + P(B2) · P(A / B2) +… + P(Br) · P(A / Br)
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Ejercicios

En una empresa de manufactura hay cuatro máquinas A, B, C, D; las
cuales producen el 30%, 20%, 40% Y 10% de la totalidad de artículos
respectivamente. Luego de desarrollar un procedo de control de
calidad se encontraron las proporciones de artículos defectuosos
producidos por cada máquina así: 5%, 2%, 3% y 7%, respectivamente.
Si se elige un artículo al azar y este resulta defectuoso, ¿Cuál es la
probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina A?
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Suponga que en la urna A tiene bolas numeradas del 1 al 8 y en la
urna B tiene bolas numeradas del 1 al 10. Una de las 2 urnas es
seleccionada, y de la urna se sacan aleatoriamente 4 bolas. La
probabilidad de escoger la urna A es el doble de la probabilidad de
escoger la urna B. Si el valor máximo de la muestra es 8, ¿Cuál es la
probabilidad que la urna seleccionada haya sido la A?
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Ejercicios
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El gobierno de cierto país aprobó una ley para hacer obligatorio que los
cerca de 200.000 empleados públicos se sometan a una prueba para
detectar si son usuarios de drogas. Se estima que el 1% de los empleados
públicos del país son usuarios de drogas. La prueba que se ofrece muestra
un resultado positivo en el 98% de los casos en que se le administra a una
persona que usa drogas, es decir, detecta el 98% de los usuarios de drogas.
De manera similar, si la persona no usa droga alguna, la prueba arroja un
resultado negativo en el 99% de los casos. Se selecciona un empleado al
azar, se le administra la prueba y se obtiene un resultado positivo. ¿Cuál es
la probabilidad que la persona sea usuario de drogas?
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Solución
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