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Repaso de Probabilidad Simulación Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Conceptos de Probabilidad Espacio Muestral Variable Aleatoria Función probabilística Probabilidad Complementaria Totalidad de Posibilidades de un Experimento Probabilidad de que no ocurra un evento Axiomas de Probabilidad Principios Básicos de Probabilidad Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Clases de Variables Aleatorias Discretas Interpretan eventos que tienen sentido sólo en unidades enteras. Continuas Interpretan eventos que tienen sentido en un rango continuo de valores Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Ejemplo Probabilidad de Obtener un 6 en un lanzamiento de un dado. R/= 1/6 Cuál es la probabilidad de obtener un valor menor a 0.5 si una variable aleatoria tiene la siguiente función de probabilidad. R/= 1/4 Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Ejercicio Suponga que X es la variable aleatoria que mide por año el número de veces que una máquina inyectora se avería en una empresa que produce elementos a base de polipropileno, esta variable aleatoria tiene la siguiente función de masa de probabilidad: Cuál es la probabilidad de que en 2 años seguidos no se averíe la máquina? Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Probabilidad Condicional Condiciona la probabilidad de ocurrencia de un evento según los resultados de otro. Permite tener en cuenta las interacciones entre variables aleatorias. Relación a tener en cuenta: Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Probabilidad Total Permite calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento que a su vez depende del resultado de una colección de eventos. A Sea B1, B2… Br un sistema completo de sucesos. Entonces: p(A) = p (A E) = p [A (B1 U B2 U… Br)] pr. distributiva = p [(A B1) U (A B2) U… (A Br)] suc. Incompatibles = p(A B1) + p(A B2) + … + p(A Br) = = p(B1) . p(A / B1) + p(B2) . p(A / B2) +… + p(Br) . p(A / Br) B1 A B1 B2 A B2 B3 A B3 .. . .. . Br A Br E Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Ejercicio En una empresa de manufactura hay cuatro máquinas A, B, C, D; las cuales producen el 30%, 20%, 40% Y 10% de la totalidad de artículos respectivamente. Luego de desarrollar un procedo de control de calidad se encontraron las proporciones de artículos defectuosos producidos por cada máquina así: 5%, 2%, 3% y 7%, respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un artículo defectuoso si éste se elige al azar? Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Valor Esperado y Desviación El valor esperado, también llamado media, esperanza es aquel que representa el valor medio de un fenómeno aleatorio. Para un fenómeno representado por variables discretas, su valor esperado será: Para un fenómeno representado por variables continuas, su valor esperado será: La desviación estándar o típica indica el nivel de dispersión de una variable en relación a su media Su valor está representado por Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Ejercicios Una variable aleatoria X, tiene la siguiente función de masa de probabilidad: Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Ejercicios En una feria una persona propone el siguiente juego: Lanzar un dado, si el resultado es par, puede lanzar un dado nuevamente con la opción de recibir los siguientes pagos. Resultado Pago 1y6 200 2y5 150 3y4 0 Sin embargo, si en el primer lanzamiento no obtiene un número par, usted debe pagar 100. ¿Según un juicio razonable, es recomendable jugar? Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Conceptos de Probabilidad Variable Aleatoria Es una función que asigna un valor real a cada uno de los puntos de un espacio muestral. Función Acumulada o de Distribución Para una variable aleatoria con función de probabilidad f(x). Si para cualquier real b la probabilidad P(X≤ b) existe, ésta define su función de distribución de X en b, F(b). Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Modelos de Probabilidad Discretos La distribución de probabilidad de una variable discreta, indica a través de un modelo matemático la P(X=x) para todo x. La distribución de probabilidad asigna valores mayores a 0 a cada uno de los posibles – y diferentes- valores de la variable aleatoria. Lista de distribuciones: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_probability_distributions Propiedades: Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Distribución Uniforme Discreta Cada uno de los valores de la variable aleatoria tiene una probabilidad idéntica. Ejemplo: Lanzamiento de un dado. Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Distribución Binomial Experimento con n ensayos independientes y repetidos, con dos (o más) posibles resultados, los cuales se pueden marcar como éxito o fracaso. Aplicación en muestreo y probabilidades asociadas a la extracción de artículos defectuosos. Ejemplo: Obtención de x caras en n lanzamientos de una moneda. Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Ejemplo Se lanza 10 veces una moneda que tiene asociada una probabilidad de 0.7 de salir cara. ¿Cuál es la probabilidad de que en 10 lanzamientos salgan más de 2 sellos? ¿Cuál es le valor esperado del número de sellos en los diez lanzamientos? Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Distribución Hipergeométrica Es similar al experimento relacionado a una distribución Binomial, pero con eventos dependientes. Esta distribución debe aplicarse en sistemas de muestreo sin reemplazo. Aplicaciones en muestreos de aceptación, pruebas electrónicas y de calidad. (POKER!) Para muestras grandes es posible hacer aproximación de la Hipergeométrica a la Binomial Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Ejemplo ¿Cuál es la probabilidad de acertar 5 números en el baloto? Qué relación hay entre los parámetros de la distribución Binomial e Hipergeométrica? Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Distribución Geométrica Experimento con ensayos independientes y repetidos con dos (o más) posibles resultados, los cuales se pueden marcar como éxito o fracaso. El experimento consiste en repetir el ensayo hasta encontrar el primer éxito. Aplicación en el cálculo de la ineficiencia de los servicios de comunicación. Ejemplo: Lanzar una moneda hasta que salga la primer cara Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Ejemplo ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado consecutivamente, el primer número par se dé en el 5 lanzamiento? ¿Cuántas veces en promedio deberá lanzarse el dado para obtener el primer número 1? Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Distribución de Poisson Representa el número de ocurrencias que se presentan en un intervalo determinado. Es importante tener en cuenta las unidades de cálculo. Depende sólo del parámetro lambda que representa la tasa de ocurrencias dentro del intervalo de longitud t. El intervalo puede estar definido por tiempo, segmento de línea, área, volumen, etc. Es de gran utilidad en el campo de la Ingeniería Industrial para el análisis y mejoramiento de procesos de servicio y producción. Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Ejemplo Si el número de personas que entran a la Biblioteca de la Universidad Javeriana en horas “Valle” es de 5 personas cada 3 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que en 2 minutos entren más de 2 personas? Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Distribuciones Continuas La distribución de probabilidad de una variable continua, indica a través de un modelo matemático la P(a≤X≤b) para todo intervalo que pertenezca al rango de f(x). La distribución de probabilidad asigna valores mayores a 0 a cada uno de los posibles – y diferentes- valores de la variable aleatoria. Los cálculos de las probabilidades son interpretados como el área bajo la curva y sólo tienen sentido dentro de un intervalo de valores pertenecientes al rango de f(x). Lista de distribuciones: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_probability_distributions Propiedades: Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Distribución Uniforme Continua La variable aleatoria tiene asociado una idéntica probabilidad sobre un intervalo definido. Existen grandes aplicaciones en la generación de números aleatorios. Gran utilidad dentro del campo de la probabilidad geométrica. Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Distribución Exponencial Tiene gran importancia dentro de la teoría de colas y simulación. Está estrechamente ligada con los tiempos de llegada de un proceso de Poisson. Juega un papel importante dentro de los problemas de confiabilidad. Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Ejemplo El tiempo de vida útil de cierto componente electrónico se puede modelar a través una distribución exponencial con media de 16 meses. ¿Cuál es la probabilidad de que un componente dure más de 2 años? Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Distribución Gamma Es la distribución de la suma de variables aleatorias exponenciales. (para alfa entero) Tiene una gran variedad de aplicaciones en campos como: Supervivencia, experimentos biomédicos, confiabilidad y teoría de colas. Debido a la ecuación asociada a su distribución, sólo es posible calcular el área bajo la curva de manera analítica si su parámetro alfa es entero. Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Distribución Beta El caso especial alfa = 1 y beta = 1, es una distribución uniforme. Una de sus aplicaciones es la estimación de las probabilidades asociadas a las frecuencias de aparición de los alelos en un cromosoma. Es de gran importancia dentro de la estadística bayesiana. Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Distribución Weibull Es la principal distribución dentro del análisis de confiabilidad de sistemas, y muy importante dentro del campo de la meteorología y análisis de seguros. Es de gran utilidad dentro del análisis de sistemas electrónicos que dependen del tiempo de vida útil de sus componentes. Para Beta=1, la distribución Weibull se reduce a una distribución exponencial. Es una distribución muy flexible que puede adoptar similitud con la distribución Exponencial, Gamma y Normal. Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Distribución Normal Es la distribución continua más importante en el campo de la estadística. Muchos grandes matemáticos trabajaron en su desarrollo, pero fue Gauss quién la definió. Gran variedad de experimentos físicos e industriales se rigen bajo esta distribución. En la estadística es de gran importancia ya que los errores asociado a un experimento tienden a una distribución normal. Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Gráfica Distribución Normal Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Ejercicio 1 El peso neto del producto empaquetado SuperRico se distribuye normal con media de 50gr y desviación estándar de 3gr. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un producto al azar que tenga menos de 47 gramos? Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá Ejercicio 2 El diámetro de los pernos fabricados en cierta planta de producción sigue una distribución normal con media de 25mm y desviación estándar de 3mm. ¿Cuál es la probabilidad de que el diámetro de un perno esté entre 22mm y 23mm? Si un lote de pernos contiene 85 unidades, ¿cuántos de ellos se esperaría que estén entre 22mm y 23mm? Simulación- Ing. Ricardo Fernando Otero - Pregrado Ingeniería Industrial – Pontificia Universidad Javeriana Sede Bogotá